湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷（解析版）一、选择题1．已知复数∈+=a ai z (21R ），i z 212-=，若21z z 为纯虚数，则=||1z （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 【答案】D 【解析】由于()()()5422521221221ia a i ai i ai z z ++-=++=-+=为纯虚数，则1=a ，则=1z 5，故选择D.考点：复数的概念，复数的代数运算，复数的模 2．如图给出的是计算11112462014++++L 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）A ．2013≤iB ．2015≤iC ．2017≤iD ．2019≤i 【答案】B【解析】由程序知道，2,4,6,2014i =L 都应该满足条件，2016=i 不满足条件，故应该选择B.考点：算法，程序框图3．设224a x dx πππ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则二项式6(展开式中含2x 项的系数是（ ） A ．192- B ．193 C ．6- D ．7【答案】A【解析】由于()22222222cos sin cos sin 24a x dx x x dx xdx xπππππππππ----⎛⎫=+=-=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰则6(含2x 项的系数为192)1(2516-=-C ，故选择A.考点：定积分，二项式定理4．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A ．314 B ．4 C ．310D ．3 【答案】B【解析】几何体如图，体积为：42213=⨯，故选择B考点：三视图，几何体的体积 5．“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件 【答案】D【解析】5≠a 且5-≠b 推不出0≠+b a ，例如2,2-==b a 时0=+b a0≠+b a 推不出5≠a 且5-≠b ，例如6,5-==b a ，故“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的既不充分又不必要条件，故选择D 考点：充要条件6．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的（ ） A ．若03>a ，则02013<a B ．若04>a ，则02014<a C ．若03>a ，则02013>SD ．若04>a ，则02014>S 【答案】C【解析】设11-=n n q a a ，因为02010>q 所以A ，B 不成立，对于C ，当03>a 时，01>a ，因为q -1与20131q -同号，所以02013>S ，选项C 正确，对于D ，取数列：－1，1，－1，1， ，不满足条件，D 错.故选C考点：等比数列的性质，前n 项和7．用)(A C 表示非空集合A 中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A ．若}2,1{=A ，}|32||{2a x x x B =-+=，且1||=-B A ，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C （S ）等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】由于a x x =-+|32|2的根可能是2个，3个，4个，而|A －B|＝1，故a x x =-+|32|2只有3个根，故4=a ，1C(S)=∴，故选A. 考点：集合的性质8．已知x ， y ， ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是（ ） A ．20 B ．25 C ．36 D ．47 【答案】C【解析】由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x 则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号）.故选C 考点：柯西不等式，最值9．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足)(21OQ OP OR +=，R 在抛物线准线上的射影为S ，设α，β是△PQS 中的两个锐角，则下列四个式子中一定正确的有（ ）①1tan tan =βα ②2sin sin ≤+βα ③1cos cos >+βα ④2tan|)tan(|βαβα+>-A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】由于△PQS 是直角三角形，则2πβα=+，故①②③都对，当PQ 垂直对称轴时|tan()|0tan2αβαβ+-=<，故选C考点：抛物线性质，平面向量，三角函数性质10．设定义在D 上的函数)(x h y =在点))(,(00x h x P 处的切线方程为)(:x g y l =，当0x x ≠时，若0)()(0>--x x x g x h 在D 内恒成立，则称P 为函数)(x h y =的“类对称点”，则x x x x f ln 46)(2+-=的“类对称点”的横坐标是A ．1B ．2C ．eD ．3 【答案】B【解析】由于4()26f x x x '=+-，则在点P 处切线的斜率=切k 642)(000/-+=x x x f . 所以切线方程为()20000004()2664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭200004264ln 4x x x x x ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭()()()()()22000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫=-=-+-+----+ ⎪⎝⎭， 则0()0x ϕ=，)2)((2)21)((2)642(642)('000000x x x x x x x x x x x x x x --=--=-+--+=ϕ.当0x <()x ϕ在002,x x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()()0.x x ϕϕ<= 从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0)(0<-x x x ϕ；当0x >()x ϕ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当002,x x x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()()0.x x ϕϕ>= 从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x ϕ<-；所以在(2,)+∞上不存在“类对称点”. 当0x =(22()x x xϕ'=-，所以()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，故0()0.x x x ϕ>-所以x =是一个类对称点的横坐标. （可以利用二阶导函数为0，求出24()20f x x''=-=，则2=x ）故选择B考点：函数性质，新定义问题 二、填空题11．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是____． 【答案】241π-【解析】分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即241462112112ππ-=⨯⨯⨯⨯-=P 考点：几何概型12．已知直线)0(:>+=n n my x l 过点)5,35(A ，若可行域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+≤003y y x n my x 的外接圆直径为20，则n ＝_____． 【答案】310【解析】如图，∠AOB ＝30°，要使得外接圆直径为20，根据正弦定理，有020sin 30AB=，即AB ＝10，而)5,35(A ，B 点在x 轴上，由可行域可知，B （n ，0）于是由|AB|＝10推出()10025352=+-n ，则=n 310（n ＝0舍去） 考点：简单线性规划，正弦定理13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<++-≤≤=31,3210,2)(2x x x x x x f ，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 【答案】203π 【解析】将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1， 所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 考点：函数图象，旋转体体积14．以（0， m ）间的整数∈>m m ,1(N ）为分子，以m 为分母组成分数集合A 1，其所有元素和为a 1；以),0(2m 间的整数∈>m m ,1(N ）为分子，以2m 为分母组成不属于集合A 1的分数集合A 2，其所有元素和为a 2； ，依次类推以),0(n m 间的整数∈>m m ,1(N ）为分子，以n m 为分母组成不属于A 1，A 2， ，1-n A 的分数集合A n ，其所有元素和为a n ；则12n a a a +++=L ＝________．【答案】12n m -【解析】由题意1a ＝1m ＋2m＋ ＋1m m -2a ＝21m ＋22m ＋ ＋21m m -＋21m m +＋ ＋221m m -＋221m m +＋ ＋21m m- ＝21m ＋22m ＋ ＋21m m -－（1m ＋2m ＋ ＋1m m -） ＝21m ＋22m ＋ ＋21m m -－a 1 a 3＝31m ＋32m ＋ ＋331m m -－a 2－a 1a n ＝1n m ＋2n m ＋ ＋1n nm m-－a n －1 －a 2－a 1所以12n a a a ⋅⋅⋅+++＝1n m ＋2n m ＋ ＋1n nm m -＝1n m ·[1＋2＋ ＋（m n－1）]＝12n m - 考点：整数性质，集合，求和15．（选修4－1：几何证明选讲）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上的一点，过C 的直线交直线AB 于E ，交过A 点的切线于D ，BC ∥OD .若AD ＝AB ＝ 2，则EB ＝_________．【答案】23【解析】连接OC ，则COD BCO CBO DOA ∠=∠=∠=∠， 于是COD AOD ∆≅∆，则CD OC ⊥，则CD 是半圆O 的切线 设x EB =，由BC ∥OD 得BOEBCD EC =， 则x EC 2=，所以()()222+⋅=x x x ，有32=x 考点：平面几何，全等三角形，圆的切线 16．（选修4－4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线C 1的方程为04)sin 2(cos 22=+--θθρρ，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧+=-=t y t x 3185415（t 为参数）．设点P 为曲线C 2上的动点，过点P 作曲线C 1的两条切线，则这两条切线所成角余弦的最小值是_______． 【答案】87【解析】曲线1C 的一般方程为044222=++-+y x y x 即()()12122=++-y x ，圆心为()2,1-，半径为1.曲线2C 的一般方程为01543=-+y x 点()2,1-到直线的距离是：451583=--=d ，则这两条切线所成角余弦的最小值是8741212=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-.考点：极坐标，参数方程三、解答题17．（本小题满分12分）已知△ABC 的三内角A ， B ， C 所对边的长依次为a ，b ，c ，若43c o s =A ，81cos =C ． （1）求c b a ::；（2）若46||=+BC AC ，求△ABC 的面积．【答案】（1）456；（2）4【解析】 试题分析：（1）由已知求出sinA 和sinC ，进而求出sinB ，再由正弦定理可得三边的比值；（2）根据（1），可设出三边的长，由46||=+BC AC 即可求出三边长，又知道夹角正弦值，可以求出三角形面积.试题解析：（1）依题设：sinA ，sinC＝，故cosB ＝cos[π－（A ＋C ）]＝－cos （A ＋C ）＝－（cosAcosC －sinAsinC ）＝－（332－2132）＝916.则sinB所以==C B A c b a sin :sin :sin ::456 6分（2）由（1）知：==C B A c b a sin :sin :sin ::456，不妨设：a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k ，k ＞0.故知：|AC |＝b ＝5k ，|BC |＝a ＝4k. 依题设知：|AC |2＋|BC |2＋2|AC ||BC |cosC ＝46 ⇒ 46k 2＝46，又k ＞0⇒k ＝1.故△ABC 的三条边长依次为：a ＝4，b ＝5，c ＝6.△ABC 的面积是47158735421=⨯⨯⨯ 12分考点：同角三角函数关系式，正弦定理，三角形面积18．（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组组成.设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数. （1）求)2(=ξP ；（2）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望． 【答案】（1）18；（2）10132. 【解析】 试题分析：（1）先确定ξ＝2时，只能取1和2，然后分别找出所有的可能性和满足条件的情况数，即得概率；（2）仿（1），分别找出所有可能情况，再注意计算ξ＝2，3，4的概率，分布列和期望得解. 试题解析：（1）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码. 3321(2).48P ξ∴===4分（2）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.若3ξ=，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.2123332(221)19(3).324A C P ξ++∴=== 若12223232394,(4)432A A A A P ξξ+====则（或用)3()2(1=-=-ξξP P 求得）. 8分ξ∴的分布列为：.32101329432193812=⨯+⨯+⨯=∴ξE 12分考点：古典概型，概率分布列，期望19．（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，︒=∠60A ，︒=∠90C ，2=CD ，把△ABD 沿BD 折起，使二面角C BD A --为直二面角（如图2）．（1）求AD 与平面ABC 所成的角的余弦值； （2）求二面角D AC B --的大小的正弦值．【答案】（1）772；（2）734.【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，利用直线和平面法向量，直线与平面所成角和二面角都不难求得.试题解析：如图2所示，以BD 的中点O 为原点，OC 所在的直线为x 轴，OD 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()0,2,0D ()0,2,0-B()0,0,2C ()6,0,0A（1）设面ABC 的法向量为(),,n x y z =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BC n AB n 取1=z有()13,n =()6,2,0-=AD ， 721-= AD ∴与面ABC 所成角的余弦值是772. 6分 （2）同理求得面ACD的法向量为()13,n=，则71=则二面角D AC B --的正弦值为734. 12分 考点：空间几何体，空间直角坐标系，直线与平面所成角，二面角20．（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的公比1>q ，前n 项和为S n ，S 3＝7，且31+a ，23a ，43+a 成等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，2)13(6++=n n b n T ，其中∈n N *． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的通项公式；图2BDADC B A 图1（3）设1210{,,}A a a a =L ，1240{,,}B b b b =L ，C A B =U ，求集合C 中所有元素之和．【答案】（1）12-=n n a ；（2）32n b n =-；（3）3318.【解析】试题分析：（1）设a n ＝a 1q n －1，利用已知条件，可求得a 1和q ，从而得到{a n }的通项公式；（2）将2)13(6++=n n b n T 变更序号作差，可得b n ＋1与b n 的关系，再迭代（或叠乘）可得{b n }的通项公式；（3）分别求出两个集合中元素之和，再减去公共元素之和即可.试题解析：（1）∵73=S ，∴7321=++a a a ①∵31+a ，23a ，43+a 成等差数列，∴231643a a a =+++ ② 2分②－①得，22=a 即21=q a ③又由①得，5211=+q a a ④消去1a 得，02522=+-q q ，解得2=q 或21=q （舍去） ∴12-=n n a 4分（2）当∈n N *时，2)13(6++=n n b n T ，当2≥n 时，2)23(611+-=--n n b n T ∴当2≥n 时，1)23()13(6---+=n n n b n b n b ，即53231--=-n n b b n n 6分 ∴1412=b b ，4723=b b ，71034=b b ， ，53231--=-n n b b n n ∴324123147103214735n n b b b b n b b b b n --⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-L L ，即231-=n b b n ∵11=b ，∴)2(23≥-=n n b n ，故∈-=n n b n (23N *） 8分（3）1023122121101010=-=--=S ，23808024140340=-⨯⨯=T 10分 ∵A 与B 的公共元素有1，4，16，64，其和为85，∴集合C 中所有元素之和33188510232380851040=-+=-+=T S 12分 考点：等差数列，等比数列，递推数列，数列求和，容斥原理.21．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，23=+CD AB ．（1）求椭圆的方程；（2）求由A ，B ，C ，D 四点构成的四边形的面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,916四边形S . 【解析】试题分析：（1）利用已知离心率和直线AB 斜率为0时，23=+CD AB ，可求得a ，b ，c 的值，从而得到椭圆标准方程；（2）因为AB ⊥CD ，故1||||2S AB CD =⋅⋅四边形，将AB 和CD 所在直线方程分别与椭圆方程联立，用斜率表示出|AB|和|CD|，然后利用函数思想，结合均值不等式可求得S 的范围.试题解析：（1）由题意知，c e a =，则c b c a ==,2，且AB 斜率为0时，2||||22b AB CD a a+=+== 所以1c =．所以椭圆的方程为2212x y +=． 4分 （2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知22222121=⨯⨯=⋅=CD AB S 四边形； 5分 ②当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，且设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--． 将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，所以)21221|||12k AB x x k +=-==+． 8分同理，2212(1)||21k CD k+==+ 9分所以2242114(1)||||22225k S AB CD k k +=⋅⋅==++四边形 ()()()2221422112121k k k k +==-++++，22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝Q 当且仅当1±=k 时取等号 11分 ∴)2,916[∈四边形S 综合①与②可知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,916四边形S 13分 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，弦长公式，基本不等式. 22．（本小题满分14分）已知0>t ，设函数132)1(3)(23+++-=tx x t x x f ． （1）若)(x f 在（0， 2）上无极值，求t 的值；（2）若存在)2,0(0∈x ，使得)(0x f 是)(x f 在[0， 2]上的最大值，求t 的取值范围；（3）若e m xe x f x (2)(+-≤为自然对数的底数）对任意),0[+∞∈x 恒成立时m 的最大值为1，求t 的取值范围．【答案】（1）t ＝1；（2）5[,)3+∞；（3）⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0. 【解析】试题分析：（1）因为f '（x ）＝（x －1）（x －t ），要使得)(x f 在（0， 2）上无极值，只有t ＝1时，有f '（x ）≥0恒成立；（2）由（1）知t ＝1时，不满足条件，t ≠1时，因为x ＝1必定是极值点，对t 的范围分类探究，找出使得f （1）或f （t ）（t ∈（0，2）时）为最大值的t 的范围；（3）分离参数m ，找出使得不等式恒成立的m 的范围（与t 相关），注意m 的最大值为1，由此求出t 的取值范围.试题解析：（1）∵2()33(1)33(1)()f x x t x t x x t '=-++=--，又()f x 在（0， 2）无极值 1t ∴= 3分（2）①当01t <<时，()f x 在(0,)t 单调递增，在(,1)t 单调递减，在(1,2)单调递增， ∴()(2)f t f ≥由()(2)f t f ≥得：3234t t -+≥在01t <<时无解②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)t 单调递减，在(,2)t 单调递增，(1)(2)12f f t ≥⎧∴⎨<<⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩523t ∴≤< ④当2t ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，满足条件 综上所述：),35[+∞∈t 时，存在)2,0(0∈x ，使得)(0x f 是)(x f 在[0，2]上的最大值. 8分 （3）若323(1)3122x t x x tx xe m +-++≤-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立 即3223(1)3(1)313122x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意[)0,x ∈+∞恒成立 令()23(1)32x t g x e x x t +=-+-，[)0,x ∈+∞ 由于m 的最大值为1， 则()23(1)302x t g x e x x t +=-+-≥恒成立，否则存在()+∞∈,00x 使得()00g x < 则当0x x =，1=m 时，()2x f x xe m ≤-+不恒成立.由于()0310≥-=t g ，则310≤<t 10分 当310≤<t 时，()3(1)22x t g x e x +'=-+，则()2x g x e ''=-，若()20x g x e ''=-= 2ln =x 则()g x '在()2ln ,0上递减，在()+∞,2ln 上递增，则()()()02ln 212322ln min >-++=='t g x g ()x g ∴在[)+∞,0上是递增的函数()()0310≥-=≥∴t g x g ，满足条件∴t 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 14分 考点：利用导数研究函数性质，最值，范围，不等式恒成立问题，范围.。