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江南十校2019届高三第一次联考(理科)

2019年安徽省“江南十校”综合素质检测
数学(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、设集合}{2
,1,0,1,2--=U ,{}U x x x A ∈>=,12,则=A C U
{}2,2.-A {}1,1.-B {}2,0,2.-C {}1,0,1.-D
2、复数i
i
z -=1(i 为虚数单位),则=-z
22.
A 2.
B 2
1
.C 2.D 3、抛物线2
2x y =的焦点坐标是
⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛81,0.C ⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,81.D 4、在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若C B c b 2,3,72===,则C 2cos 的值为
37.
A 95.
B 9
4
.C 47.D 5、已知边长为1的菱形ABCD 中,︒
=∠60BAD ,点E 满足→→=EC BE 2,则→
→•BD AE 的值是
31.-A 21.-B 41.-C 6
1.-D
5、我国南北朝时期的科学家祖暅,提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.” 意思是:如果两个等高的几何体,在等高处的截面积恒等,则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积:曲线)0(2
L y x y ≤≤=绕y 轴旋转一周得几何体Z ,将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上,用平行于平面α,且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何
体Z ,的截面圆的面积为l l ππ=2
)(.由此构造右边的几何体1Z :其中⊥AC 平面α,
πα=⊂=11,,AA AA L AC ,它与Z 在等高处的截面面积都相等,图中EFPQ 为矩形,
且l FP PQ ==,π,则几何体Z 的体积为
2.L A π
3.L B π 221.L C π 321
.L D π
7、已知函数)0)(3
2cos()(>+=ωπ
ωx x f 的最小正周期为π4,则下面结论正确的是
.A 函数)(x f 在区间()π,0上单调递增 .B 函数)(x f 在区间()π,0上单调递减 .C 函数)(x f 的图像关于直线3

=
x 对称 .D 函数)(x f 的图像关于点⎪⎭

⎝⎛032,π对称 8、设函数1
31
3)(2
+-•=x x x x f ,则不等式0)log 1()log 3(22<-+x f x f 的解集是
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛22,0.A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,22.B ()2,0.C ()
+∞,2.D
9、已知双曲线1422
2=-b
y x 的左、右焦点分别为21,F F ,P 为右支上一点且直线2PF 与x 轴垂直,若21PF F ∠的角平分线恰好过点()0,1,则21F PF ∆的面积为
12.A 24.B 36.C 48.D
10. 已知函数()()x
eInx x x g x k x x f -=+-=4,11(e 是自然对数的底数),若对()[]3,1,1,021∈∃∈∀x x ,使得)()(21x g x f ≥成立,则正数k 的最小值为
2
1
.A 1.B 324.-C 324.+D
11. 如图,网格线上的小正方形的边长为1,粗线(实线、虚线)画出的某几何体的三视图, 其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一,则该几何体的表面积为
20.A 4
20.π
+
B 4320.π+
C 4
520.π+D
12. 计算机内部运算通常使用的是二进制,用1和0两个数字与电脑的通和断两种状态相对应。

现有一个2019位的二进制,其第一个数字位1,第二个数字为0,且在第k 个0和第k+1个0之间有2k+1个1)(*
∈N k ,即

2019101011101111,则该数的所有数字之和为 1973.A 1974.B 1975.C 1976.D
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置)
13. 设x ,y 满足约束条件⎪⎩

⎨⎧≥+-≤+-≥-+02201202y x y x y x ,则y x z +=3的最小值为
14. 已知
41cos 31cos sin 2
=+⋅ααα,且3
1
)tan(=+βα,则βtan 的值为 15. 在()6
z y x ++的展示式中,所有形如2z y x b a ),(*
∈N b a 的项的系数之和是 (用
数字作答)
16. 如图,三棱锥BCD A -中,,12,8,10======CD AB BD BC AD AB 点P 在侧面ACD 上,且到直线AB 的距离是21,则PB 的最大值是
17、已知数列{}n a 与{}n b 满足)(2.......*
321N n b a a a a n n ∈=++++,且{}n a 为正项等
比数列,21=a ,423+=b b . (1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (2)若数列{}n c 满足)(*1
N n b b a c n n n
n ∈=+,n T 为数列{}n c 的前n 项和,证明:1<n T .
二、简答题:共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
18、斜三棱柱111C B A ABC -中,底面是边长为2的正三角形,71=
B A ,
6011=∠=∠AC A AB A .
(1)证明:平面⊥BC A 1平面ABC ;
(2)求直线1BC 与平面11A ABB 所成角的正弦值.
19、某公司生产的某种产品,如果年返修率不超过千分之一,则其生产部门当年考核优秀,现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示:
注:年返修率=
年生产台数
年返修台数
(1)从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据,以ξ表示3年中生产部门获得考核优秀的次数,求ξ的分布列和数学期望;
(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大,如果去掉该年的数据,试用剩下的数据求出年利润y (百万元)关于年生产台数x (万台)的线性回归方程(精确到0.01).
附:线性回归方程∧∧+=a x b y 中,∑∑∑∑====∧
⋅-⋅⋅-=
---=
n
i i
n
i i
i n
i i
n
i i i
x
n x
y x n y
x x x
y y x x
b 1
2
_21
_
_2
1
_
_
1
_)()
)((,
._
_x b y a ⋅-=∧∧
20、设O 是坐标原点,圆O :)3(2
22≥=+r r y x ,椭圆C 的焦点在x 轴上,左、右顶点分
别为A ,B ,离心率为
3
5
,短轴长为4.平行x 轴的直线l 与椭圆C 和圆O 在y 轴右侧的交点分别为E ,F ,直线AE 与y 轴交于点M ,直线BE 与y 轴交于点N . (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)当1612≤•≤→

FN FM 时,求r 的取值范围.
21、已知定义在区间)2,0(上的函数R m x x
m
x f ∈+=,ln )(. (1)证明:当1=m 时,1)(≥x f ;
(2)若曲线)(x f y =过点)0,1(A 的切线有两条,求实数m 的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所作的第一题计分.
22、(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为
⎪⎩⎪⎨⎧+=+=α
αsin 104y cos 101x (α为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标为5cos =θρ.
(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程;
(2)点()n m P ,为曲线2C 上一点,若曲线1C 上存在两点B A ,,使得︒
=∠90APB ,求n 的
取值范围.
23、(选修4-5:不等式选讲)设函数)1212lg()(a x x x f -++-=. (1)当4=a 时,求函数()x f 的定义域; (2)若函数()x f 的定义域R 为,求a 的取值范围.。

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