统时，若无空闲服务台，则排队等待服务。
2、系统的状态转移速度图：
0
1
2
…… c-1
c
c+1 ……
2 3 (c-1) c c c
3、 状态转移速度矩阵：
( )
2 ( 2)
3 ( 3)
c ( c)
c
( c)
( )
2 ( 2)
3 ( 3)
（2）一条线被占用的概率：
p1 p0 3.75 0.029 0.109
（3）顾客损失的概率——
5条线全部被占用的概率
p损
p5
1 ( )5 5!
p0
1 3.755 0.029 5!
0.179
单队多服务台 课
堂 等待制系统
练 习
多个单队单服务台
6-3 等待制系统
比较
某织布车间有两个布机维修组，分别负责 该车间的两个织布组的布机维修工作。设每 组布机平均每天有4台布机需要维修，每个维 修组每天平均可修复5台布机。
Ls
4
(台)
4.4475 (台)
Ws
1
(天)
0.5560 (天)
第十五次作业
习题6：（P197）9； 补充题：
补充题：某厂医务室有2名同等医疗水平的大夫。
已知患病者按泊松流来医务室求诊，平均每小时到 达15人；诊病时间平均每人6min，且服从负指数分 布；医务室最多能容纳6位病人，若已有6位病人， 后来的病人会到别处就诊，问：
顾客到达系统时，若无空闲服务台，系 统中顾客数小于N，则排队等待服务；若系 统中顾客数等于N，则离开系统，另求服务。
2、系统状态转移速度图和状态转移速度矩阵：
λ
λ λλ λ λ λ λ
0
1Байду номын сангаас
2 …… c-1
c …… N-1 N
μ
2μ 3μ (c-1)μ cμ cμ cμ cμ
( )
2 ( 2)
（1）医务室空闲的概率；
（2）在医务室逗留的病人及排队等待就诊的病人 各为多少？
（3）每位病人平均在医务室等待的时间是多少？
稳态概率应满足的关系：
pn
1 ( )n n!
p0
cn n!
n p0
n=1，2, … , c；
c
p0 n0
1 n!
(
)
n
1
c n0
cn n!
n
1
4、系统的基本数量指标：
e (1 pc ), 损 e pc
Ls
e
,
Ws
1
,
Lq 0, Wq 0
例6-5 某电话总机系统有5条中继线，电话 呼叫服从参数为1.5的泊松分布，通话时间 为负指数分布，平均每次通话为2.5分钟。
试求：（1）系统空闲的概率；
（2）一条线被占用的概率；
（3）顾客损失的概率；
题意分析—— 顾客为电话呼叫，输入为Poisson流，平均到 达率λ=1.5次/分； 服务台为中继线，共5条，即为5个服务台， 平均服务率μ=1/平均服务时间=1/2.5=0.4次/分； 故该系统是M/M/5损失制排队系统。
e (1 pN ) 4 (1 0.0222 ) 3.9112 (辆 / h)
Wq
Lq
e
0.0256(h) 1.536(min)
Ws
Wq
1
0.2256(h)
13.536(min)
Ls Ws e 0.082 (辆)
二. M/M/C/∞/∞/FCFS多服务台等待制排队模型
1、系统意义： 顾客按泊松流输入，到达率为λ； 服务时间服从负指数分布，服务率为μ； 有C个服务台； 先到先服务，系统无容量限制，顾客到达系
3 ( 3)
(c 2) ( (c 2))
(c 1)
( (c 1))
c
c
( )
c+1阶矩阵
2 ( 2)
3 ( 3)
(c 2) ( (c 2))
(c 1)
( (c 1))
c c
3、稳态下的状态概率方程：
P ( p0 , p1, p2 ,, pc ) 0
1
0.4286
P1=2ρP0=0.34288 P2=0.13715 P3=0.05486 P4=0.02194 ┇
Lq
22
0.43 0.4286 2!(1 0.4)2
1.524(辆)
λe =4;
Wq
Lq
e
1.524 0.381(h) 4
Ws
Wq
1
0.381
0.2
0.581(h)
试比较维持现状好还是将两个维修组合并 共同负责全车间的布机维修工作效率高？
维持现状： 两个单队单服务台
合并维修组： 单队两服务台系统
维修组 维修组
=5
=5
=8
维修组 维修组
=5
=5
=4
=4
单队两个服务台
两个单队单服务台
对于两个单队单服务台系统,λ=4台/天,μ=5台/天，于
是：
P0=1-λ/μ=1-4/5=0.2；
3 ( 3)
c ( c)
c
( c)
c c
3、稳态下的状态概率方程：
P ( p0 , p1, p2 ,, pc , pc1,, pN ) 0
由此，可得稳态概率应满足的关系：
当n<c时,
p0
p1
0
p1
p0
p0 ( ) p1 2p2 0
2p2
p0
(
) p1
(1
)
1
2 0.8
22 2!
0.82 1 0.8
1
0.1112
Lq
cc c1 p0 c!(1 )2
22 0.83 0.1112 2 0.22
2.8475 (台)
Ls
Lq
2.8475
1.6
4.4475（台）
Wq
Lq
2.8475 8
0.3560 (天)
Ws
Wq
1
0.3560
顾客按泊松流输入，到达率为λ；服务时间 服从负指数分布，服务率为μ；有C个服务台， 先到先服务，顾客源无限。
顾客到达系统时，若无空闲服务台，顾客则 离开系统，另求服务。
2、系统状态转移速度图和状态转移速度矩阵：
0
1
2
…… c-1
c
2 3 (c-1) c
( )
2 ( 2)
p0
(
)
p0
2 p2 2 2 p0;
令
c
，称为系统负荷强度，可得Pn的
一般表达式：
pn
n
pn1
c n
pn1;
pn
1 ( )n n!
p0
cn n!
n p0
当c<n≤N时，
pn1
cpn1
(
c) pn
pn
cc c!
n
p0
也可以根据“系统处于稳态时，每个状态的 转入率等于转出率”求得Pn的一般表达式。
Wq
Ws
1
(
)
4 5(5
4)
0.8(天)
e (1 p0 )
Ls
5
4
4
（4 台）
Lq
Wqe
2 ( )
42 5
3.2(台)
Ws
Ls
e
1
1 54
1(天)
单队2个服务台的系统 ——变成4×2=8
8 0.8 1 c 25
p0
c1 n0
cn n!
n
cc c!
c 1
4、系统的基本数量指标：(公式组（6-16））
c (c )n cc ( c N ) 1
p0 n0
n!
c!(1 )
pn
cn n!
n
p0
cc c!
n
p0
1 n c cnN
N
N 1
e n pn pn 0 pN (1 pN )
n0
n0
Ls
Lq
e
Lq
c(1 PN )
p1 2p0 0.348 p2 p1 0.1392 p3 p2 0.0556
p4 p3 0.0222
根据（6-16）的一组公式，可以计算出系统的 其他运行指标：
Lq
22 2!(1 0.4)2
0.43
0.4351 0.442
(4 2)0.442 (1 0.4)
22 0.43 0.4351 3 0.42 2 0.43 0.100224 2!(1 0.4)2
Ls Ws e 0.581 4 2.324 (辆)
课堂练习6-2 试画出M/M/2///FCFS 等待制系统的状态转移速度图
λ 0
μ
λ
1
2
2μ
λ
…… n-1
n
2μ
λ
… …
2μ
三、M/M/C损失制排队系统
M/M/C损失制排队系统可以看作M/M/C/N/∞ 混合制排队系统中N=C时的特例。 1、系统意义：
（例6-1将服务台改为2个）
该系统是M/M/2/4混合制排队系统，
其中λ=4(辆/h)，μ=5(辆/h)， ？
c=2，ρ=λ/cμ=0.4 ；
1 单位顾客服务时间
(12 /
1 60)小时
（5 辆/ 小时）
p0
[1
2
22 ( 2 5 ) ]1 2!(1 )
[1 0.8 2 0.42 0.45 ]1 0.435 1 0.4
c ( c)
c
( c)