2019年北京市清华附中高考数学一模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合M={-1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}，则集合M∩N等于（）A. {-1，1}B. {1，2}C. {-1，1，3，5}D. {-1，0，1，2}2.为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一（1）班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（）①该班选择去甲景点游览；②乙景点的得票数可能会超过9；③丙景点的得票数不会比甲景点高；④三个景点的得票数可能会相等．A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④3.已知平面向量，，均为非零向量，则“（•）=（）”是“向量，同向”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.若x，y满足，则y-x的最大值为（）A. -2B. -1C. 2D. 45.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. 8B. 2C. 2D. 26.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|=8，则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为（）A. 2B. 4C. 8D. 167.正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，．动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A. 3B. 4C. 6D. 88.地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A，B B，C C，D D，E A，E疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A. AB. BC. DD. E二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.函数的最大值是______．10.A，B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活A小区B小区往返车费3元5元服务老人的人数5人3人根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过元，且小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人，则接受服务的老人最多有______人．11.已知圆C：x2+y2-2x-4y+1=0内有一点P（2，1），经过点P的直线l与圆C交于A，B两点，当弦AB恰被点P平分时，直线l的方程为______．12.在等差数列中，如果是与的等比中项，那么_________13.已知函数，给出下列结论：①f（x）在上是减函数；②f（x）在（0，π）上的最小值为；③f（x）在（0，2π）上至少有两个零点，其中正确结论的序号为______．（写出所有正确结论的序号）14.无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，S n∈{1，2}．①数列{a n}的前三项可以为______；②数列{a n}中不同的项最多有______个．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期，并画出f（x）在区间[0，π]上的图象．16.已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，a1=1，b1=2，a2+b2=7，a3+b3=13．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前2n项和S2n．17.已知某单位全体员工年龄频率分布表为：年龄（岁）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）合计人数（人）61850311916140经统计，该单位岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图和如图：（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求该单位男女职工的比例；（Ⅲ）若从年龄在[25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率．18.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．19.已知函数f（x）=ax2+（a-2）x-ln x．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）当0＜a＜1时，求f（x）零点的个数．20.已知椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），左顶点为A，右顶点B在直线l：x=2上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合M={-1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}={-1，1，3，5}，所以M∩N={-1，1}．故选：A．求出集合N，再根据交集的定义写出M∩N即可．本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题目．2.答案：D解析：【分析】本题考查了合情推理的问题，属于基础题.根据学生们对景点的喜好进行分类．【解答】解：因为该班学生对不同景点的喜好程度不一致，所以根据学生的喜好程度可以分为以下6类：甲＞乙＞丙，共a人；甲＞丙＞乙，共b人；乙＞丙＞甲，共c人；乙＞甲＞丙，共d人；丙＞甲＞乙，共e人；丙＞乙＞甲，共f人；所以当从甲、乙两地进行选择时，a+b+e=18,c+d+f=9;当从乙、丙两地进行选择时，a+c+d=18,b+e+f=9;所以去甲地的有a+b,去乙地的有c+d,因为c+d+f=9,所以c+d≤9，去丙地的有e+f,因为e+f+b=9,所以e+f≤9，又因为总共有27人，所以，a+b≥9，故①②分析错误，③④分析正确，故答案选D.3.答案：B解析：解：向量，同向⇒（•）=（），反之不成立，可能向量，反向．∴“（•）=（）”是“向量，同向”的必要不充分条件．故选：B．向量，同向⇒（•）=（），反之不成立，可能向量，反向．即可判断出结论．本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解解：由约束条件作可行域如图，设z=y-x化目标函数为y=x+z，由图可知，最优解为A（0，2），∴z的最大值为：2-0=2．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱锥，累加各个面的面积可得几何体的表面积．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是棱长为2的正方体一部分，三棱锥A-BCD，三棱锥的表面积为：=2．故选：D．6.答案：B解析：解：如图，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线为x=-1，即x+1=0．分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8．过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC中位线，则，即M到准线x=-1的距离为4．故选：B．根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得MN为直角梯形ABDC中位线，由抛物线的定义分析可得答案．本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析．7.答案：C解析：解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，G在DA上，且DG=，第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH=，第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM=，第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN=，第六次回到E点，AE=．故需要碰撞6次即可．故选：C．根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，属于难题．8.答案：C解析：【分析】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果．【解答】解：同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．故选：C．9.答案：解析：解：函数是偶函数，x＜0时是增函数，x＞0时是减函数，所以x=0时函数取得最大值：．故答案为：．利用函数的奇偶性以及单调性求解函数的最大值即可．本题考查函数的最值的求法，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查计算能力．10.答案：35解析：解：设A，B两区参加活动同学的人数分别为：x，y．受到服务的老人人数为z，则：z=5x+3y．且作出可行域，当直线z=5x+3y过点M（4，5）时，z最大，∴当x=4，y=5时，z取得最大值为：35．故安排A，B两区参加活动同学的人数分别为4，5人，才能使受到服务的老人最多，受到服务老人最多的是35人．故答案为：35利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11.答案：y=x-1解析：解：根据直线与圆的位置关系．圆C：（x-1）2+（y-2）2=4，弦AB被P平分，故PC⊥AB，由P（2，1），C（1，2）得k pc•k l=-1，即：k l=1，所以直线方程为y=x-1．故答案为：y=x-1．直接利用直线和圆的位置关系，及直线垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：直线和圆的位置关系的应用．12.答案：9解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，是基础的计算题．由等差数列的通项公式分别写出a k、a6、a k+6，再由a k是a6与a k+6的等比中项列式求得k值．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3=0，得a k=a3+（k-3）d=（k-3）d，a6=a3+3d=3d，a k+6=a3+（k+3）d=（k+3）d，∵a k是a6与a k+6的等比中项，∴，即（k-3）2d2=3d•（k+3）d，∵d≠0，∴k2=9k，得k=9．故答案为9．13.答案：①③解析：解：∵y=和y=cos x在（0，）上都是减函数，∴f（x）在（0，）上是减函数，故①正确；同理可得f（x）在（0，π）上是减函数，故而f（x）在（0，π）上没有最小值，故②错误；令f（x）=0可得cos x=-，作出y=cos x与y=-在（0，2π）上的函数图象如图所示：由图象可知两函数在（0，2π）上有2个交点，故f（x）早（0，2π）上有2个零点，故而③正确．故答案为：①③．根据y=和y=cos x的单调性判断①，②，根据函数图象判断③．本题考查了函数单调性的判断，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．14.答案：1，1，0（答案不唯一） 4解析：解：①因为无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，S n∈{1，2}．数列{a n}的前三项，可以为：1，1，0；也可以是1，-1，0；2，0，0；故答案为：1，1，0（答案不唯一）②因为数列是无穷数列，若对任意n∈N*，S n∈{1，2}．所以如果数列中含有“2”，则2必须是首项；如果数列中有“-1；0”则，-1，0一定不是首项；所以数列中不同的项最多有4个；例如：2，-1，0，1，0，0…故答案为：4；①利用已知条件写出一个满足题意的数列即可；②利用已知条件，判断数列的元素即可．本题考查数列的应用，数列的判断，考查分析问题解决问题的能力．15.答案：解：（I）===-1．……………………………………………………．（3分）（Ⅱ）======．…………………………………………………………………..（9分）所以f（x）的最小正周期．…………………………………………………．（10分）因为x∈[0，π]，所以．列表如下：0πx0πf（x）-1020-2-1………………………..（13分）解析：（Ⅰ）根据公式直接代入求解即可．（Ⅱ）利用辅助角公式进行化简，结合五点法作图进行作图即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．16.答案：解：（1）数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，设公差为d，公比为q．由于：a1=1，b1=2，a2+b2=7，a3+b3=13．则：，解得：q=2，d=2．故：a n=a1+2（n-1）=2n-1．（2）由于：，则：．故：+（4n-3）+22n，=+，=．解析：（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用（1）的通项公式，直接利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．利用分组法求出数列的和．17.答案：解：（Ⅰ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：（a+0.01+0.04+0.08+0.025+0.025）×5=1．所以a=0.02．（Ⅱ）该单位[25，35）岁职工共24人，由于[25，35）岁男女职工人数相等，所以[25，35）岁的男职工共12人．由（Ⅰ）知，男职工年龄在[25，35）岁的频率为0.15，所以男职工共有人，所以女职工有140-80=60人，所以男女比例为4：3．（Ⅲ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在[25，30）岁的频率为0.05．由（Ⅱ）知，男职工共有80人，所以男职工年龄在[25，30）岁的有4人，分别记为A1，A2，A3，A4．又全体员工年龄在[25，30）岁的有6人，所以女职工年龄在[25，30）岁的有2人，分别记为B1，B2．从年龄在25～30岁的职工中随机抽取两人的结果共有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）15种情况，其中一男一女的有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）8种情况，所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为．解析：本题主要考查了频率分布直方图、古典概型的概率计算等知识，采用列举事件包含的基本事件的个数的方法时，要做到不重不漏．本题属于基础题．（Ⅰ）利用频率和为1可得，（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的a及频率分布直方图可以求出35岁以下男职工的数量，进而得到所有男职工的数量，即可求男女职工比例．（Ⅲ）求出该组男女职工的数量，然后代入古典概型计算可得．18.答案：解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．又因为DE⊄面PBC，PC⊂面PBC，所以DE∥平面PBC．…．（4分）（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA⊂平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，所以BC⊥面PAB．…．（9分）（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，连DF．由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC．又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因为DE∩EF=E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．…．（14分）解析：（Ⅰ）证明以DE∥平面PBC，只需证明DE∥PC；（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）当点F是线段AB中点时，证明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．本题考查线面平行，考查线面垂直，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理是关键．19.答案：（共14分）解：（I）f（x）定义域为（0，+∞）.．由已知，得f'（1）=0，解得a=1．当a=1时，．所以f'（x）＜0⇔0＜x＜1，f'（x）＞0⇔x＞1．所以f（x）减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．所以函数f（x）在x=1时取得极小值，其极小值为f（1）=0，符合题意所以a=1．……………………………………………………………………（5分）（II）令，由0＜a＜1，得．所以．所以f（x）减区间为，增区间为．所以函数f（x）在时取得极小值，其极小值为．因为0＜a＜1，所以．所以．所以．因为，又因为0＜a＜1，所以a-2+e＞0．所以．根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．因为x＞ln x，f（x）=ax2+（a-2）x-ln x＞ax2+（a-2）x-x=x（ax+a-3）．令ax+a-3＞0，得．又因为0＜a＜1，所以．所以当时，f（x）＞0．根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．所以，当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．………………………………（14分）解析：（I）求出函数的f（x）定义域为（0，+∞），导函数．通过导函数的符号判断函数的单调性然后求解函数的极值，推出a即可．（II）令，由0＜a＜1，得．求出函数的单调区间以及函数的极值，利用函数零点判断定理转化推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点的判断定理的应用，考查计算能力．20.答案：解：（Ⅰ）依题可知B（a，0），a=2因为，所以c=1，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）方法一：以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），直线方程代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0．设点P的坐标为（x0，y0），则-2x0=．所以x0=，y0=．因为点F坐标为（1，0），①当k=±时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x=1，D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x-2）2+（y-1）2=1与直线PF相切．②当k≠±时，则直线PF的斜率k PF==．所以直线PF的方程为y=（x-1），即．点E到直线PF的距离又因为|BD|=2R=4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．方法二：以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：设点P（x0，y0），则①当x0=1时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x=1，D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x-2）2+（y-1）2=1与直线PF相切．②当x°≠1时直线AP的方程为，点D的坐标为，BD中点E的坐标为，故直线PF的斜率为，故直线PF的方程为，即，所以点E到直线PF的距离故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．解析：（Ⅰ）依题可知a=2，根据离心率求出c，即可求出b，可得椭圆的方程（Ⅱ）方法一：设出直线方程，代入椭圆方程，确定P的坐标，求出PF的方程，验证圆心到直线的距离，即可得到结论．方法二，设点P（x0，y0），求出直线PF的方程，以及点到直线的距离，即可证明本题考查椭圆方程，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。