第十四讲最优化问题我国著名大数学家华罗庚爷爷曾积极推广、普及的“统筹方法”和“优选法“华罗庚曾利用数学知识创造许多优化解决问题的方法。
我们所破到的最优化问题，是通过适当规划安排，在许多方案中，寻找一个最合理、最节约、最省事的方案。
典型例题例1妈妈让小明给客人烧开水切茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。
小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。
为了使客人早点和上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能切茶了？先决条件。
这1分钟不能省，而洗茶壶、洗开水杯、拿茶叶等切茶的准备工作都可以放在烧开水的15分钟里完成。
解最省时间的安排是：纤细开水壶（用1分钟），按着烧开水（用15分钟），在等待水烧开的时间里，可以洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就切茶。
这样一共用了16分钟。
例2在一条公路上，每隔100其千米有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10 吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两仓库是空的。
现在想把所有的货集中存在同一仓库里，如果每吨货物运输1千米需0.5元运费，那么最少要花多少运费才行？分析要做到所花运费最少，必须综合考虑两个因素：（1 ）运走的货物尽可能少；（2）要运货物运输的路程将可能短。
如果考虑第一因素，就要将货物集中在五仓库；如果考虑第二因素，就要将货物集中在四仓库。
比较这两种情况，选择运费最少的一种。
将货物集中到五号仓库。
解0.5 X （10 X400+20 X300 ）=5000 （元）例3 A、B两批发部分别有电视机70台与60台，甲乙丙三个商店分别需要电视机30台、40台和50台。
从A、B两批发部每运一台电视到三个销售店的运费如表所示。
如何调运才能使运费最少？分析该题中供应量70+60=130台，需求量为30+40+50=120台。
供求量不等，供大于求。
由表可知，由差价可知，A尽量供应给乙，即A给乙40台。
接着A应尽可能多地供应给丙，即A供应给丙70—40=30 （台）。
B供应30台给甲，供应50—30=20 （台）给丙。
按此调运方案运费最少。
解30X30+70 X40+ （30 X30+50 X20）=5600 （元）例4甲、乙两位沙漠探险者要到沙漠深处探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的事物和水，如果允许将部分事物存放于途中，那么其中1人最远可以深入沙漠多少千米？（要求二人都能安全返回出发点）分析甲、乙两人同时出发向沙漠腹地进发，若干天后，甲返回出发地，这时甲和乙的给养都消耗了相同部分，甲将余下的部分平均分成三成，一份补足乙刚才消耗的给养，另一份存放于甲的返回点，自己携带一份返回，可见甲的给养平均分成了4份，而乙的给养平均分成2份。
解24^4=6 （天）24-2=12 （天）6+12=18 （天）20X18=360 （天）例 5 有10 个村，坐落在从县城出发的一条公路（如图，距离单位都是千米），要安装水管，从县城输送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水。
粗管每千米用8000 元，细管每千米用2000 元。
把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用。
按你认为最节省的办法，费用应是多少？分析首先考虑全用粗管，因为8000 元是2000 元的 4 倍，所有G 之后粗管，费用将减少。
在F与G之间不论安装粗管还是细管，花的钱一样多。
在F之前如果不安装粗管，需要 5 条以上的细管，费用将增加。
因此，工程的设计是：从县城到G 安装一条粗管；G和H之间安装三条细管；H与I之间安装两条细管；I与J之间安装一条细管。
这样做，工程费用最少。
解8000X（30+5+2+4+2+3+2 ）+2000 X （2 X3+2 X3+5 ）=414000 （元）例6 仓库内有一批14米长的钢材，现要取出若干根，把它们切割成3米和5米长的50 根。
如果不计切割时的损耗，最少要从仓库最出多少根钢材？分析因为14=3X3+5，所有把每根14米的钢材切割成3根3米和1根5米的最少料。
但是这种“最优方案”会导致 3 米的大大多于 5 米的，不符合各50 根的要求，于是应该想到13=5+5+3 ，即把14米的钢材切割成2根多5米的和 1 根3米的，每用一根钢材仅浪费 1 米的“次优方案” ，这一方案中5米的多于3米的，因把“最优方案”与“次优方案” 切割了Y 根。
按“最优方案”可得3X根3米的，X根5米的；按“次优方案”可得Y根3米的，2Y 根5米的。
根据3米的与5米的根数相等，可得：3X+Y=X+2Y 得2X=Y因为3X+Y=50，所以3X+2X=5X，解之得X=10，这样Y=20，也就是说最少要从仓库取出10+20=30 （根）钢材。
在我国古代数学著作《孙子算经》中，记载了这样一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?" 这一问题及其解法，被中外数学家称之为”孙子定理“，也称为”中国剩余定理“。
例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求满足条件的最小整数” 。
分析这类问题的解题依据是：（ 1 ）如果被除数增加（或减少）除数的若干部，除数不变，那么余数仍然是 2.例如：17七=5……2那么17依次加上（或减去）3的倍数，余数仍然是 2.（2）如果被除数扩大（或缩小）若干部，除数不变，则余数也扩大（或缩小）相同的倍数。
例如25^3=4……3如果将23扩大3倍，余数也扩大3倍变成9 （实际余4）。
本题所求的最小的整数要满足三个条件，解答时可先求满足其中一个条件的数，再依次增加条件，最终找到满足所有条件的数。
解解法一：（1 ）先找出满足：“除以 3 余 2 ”的最小的数2，再依次加上 3 的倍数，余数不变：2+3=5,5+3=8 ........（2）从中找到满足“除以 5 余3”的最小的数是8，我们再依次加上 3 和 5 的公倍数，仍然能满足前两个条件。
8+15=23,23+15=38 ，（3）上利数中满足“除以7余2”的最小的数是23.这是同时满足三个条件的最小的整数，如果依次加上3、5、7 的公倍，仍然满足这三个条件。
因此，满足条件的最小整数是23解法二（1）先找出能不被3、5正处而被7除余1的数：15，能被3、7整除而被5除余 1 的数：21，能被5、7 整除而被 3 除余 1 的数：70 。
（2）题目中要求的数倍7、5、3 除得的余数分别是2、3、2，用它们分别去乘15 、21 、70,再把积加起来：15X2+21 X3+70X2=30+63+140=233、（3）233 是满足条件的数，但不是最小的，从中减去3、5、7 的公倍数，使得差小于他们的最小公倍数105 ,这个差就是满足条件的最小的数：233-105 X 2=23注解法一,小学生较易理解和掌握。
解法二更科学、简明,但理解起来有难度例8 篮子里有若干只鸡蛋,每次去处 5 只,最最后剩 3 只；每次去处6 只,最后剩下4 只；每次去处7 只,最后剩1 只。
篮子里至少有多少只鸡蛋？分析本题与例 1 类型相同, 鸡蛋的数量除以5余3,除以 6 余4,除以7 余 1.求篮子里至少有多少只鸡蛋,也就是求符合条件的最小的数。
解（1）“除以5余3”的最小的数是3，加上5的倍数：8 13、18、23、28……（2）从中找到满足“除以6余4”的最小的数是28,再一次加上5和6的公倍数30：58、88、118、148……（3）上列数中满足“除以7 余1”的最小数是148.因此, 148就是符合条件的最小的数,即篮子里至少 1 48只鸡蛋。
例9 一个数被7除余5,被4除余3,这个数被28除余几？分析先找出“被7 除余5、被 4 除余3”的最小数,用这个数除以28 的余数,就是所求的数。
解（1）“被7除余5”的数有：5、12、19、26……（2）从中找出满足“被4除余3”的最小的数是19,用19依次加上7和4的公倍数28,可以得到所有符合条件的数。
（3）因为19-28的余数是19,其他符合条件的数被28除的余数也是19. 因此,这个数被28 除余19.例10 再一次讨论会上,与会代表没3 人一组,则多 1 人；每 5 人一组,则多 2 人；每7 人一组,则多 3 人。
已知与会代表人数350—400 之间,就是与会代表的人数。
解：（1）“被除3余1”的数有：1、4、7……（2）从中找出满足“被5除余2”的最小的数是7,用7依次加上3和5的公倍数15：22、37、52、（3）上列数中满足“除以7 余3”的最小的数是52.（4）因为人数在350－400 之间,所以用52 依次加上3、 5 和7 的最小公倍数1 05;1 57/262/367 、.那么,与会代表共有367 人。
例11 在500以内的整数中,除以4余3,除以5余2,除以7余4的最大数是多少？分析先找出符合条件的最小的数,再加上4、 5 和7 的公倍数的若干倍,找到500以内最大的数。
解（ 1 ）“被除4 余3”的数有：3、7（ 2 ）从中找到满足“被5除余2"的最小的数是7,用7 依次加上4和5的公倍数20:27、47、67、（3）上列数中满足”除以7 余4“的最小的数是67.（4）4、5和7 的最小公倍数是140,67+140X 3=487. 因此,满足条件的最大的数是487.例12 在小于1000的整数中,除以3余2,除以5余2,除以7余4的数共有多少个？分析先找出符合条件的最小的数，再加上3、5和7的公倍数的若干倍，找出1000以内符合条件的最大的数，将若干倍加上1，也就是满足条件的数的个数。
解( 1)”被出3余2、被5除余2“的最小数，也就是3和5的最小公倍数加上2：3X 5+2=17(2)用17 依次加上 3 和 5 的公倍数15:32、47、 ....( 3)上列数中满足“除以7 余4”的最小的数是32.(4)[3,5和7]=105,32+105 X 9=9779+1=10，所以满足条件的数共有10 个“一堆草可供8 头牛吃 6 天，这堆草可供 1 0头牛吃几天?",这个问题分成简单，因为草的问题是固定不变的，于是可以得到，可供12头牛吃：8X 6十12=4 (天)但如果将“一堆草”改为“一片正在生长的草地” ，此时问题就复杂多了，因为草的总量是在不断变化的 (假设其均匀变化) 。
这类工作总量不固定但均匀变化的问题称为牛吃草问题，由于这类问题首先由牛顿提出的，因而也叫牛顿问题。
此类题，它的解题思路具有一定的规律和模式，只要认真学习，仔细分析，就能掌握方法，正确解答。
例13 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20 天，可供15 头牛吃10 天，如果要供18 头牛吃，可吃几天？分析如果我们将1 头牛 1 天的吃草量看作 1 份，则9头牛20天共吃了1X9X20=180 份草，而15头牛10天共吃了1 X 15X 10=150份草，同一片牧场原有草的份数相等，产生180－150=30 份草的差异是由( 20—10)天中长出的新草，因此可以先求每天新生的草是30*( 20—10) =3 (份)，再从吃草总量中减去一共新生的草，就是牧场上原有的草，由于每天都新生出3份的草量，可供3头牛吃，所以18头牛中只有( 18—3)头牛在吃原有草，原有草可供( 18—3)头牛吃几天，就是所求的问题。