l3 X 1 q l a 3EI
l a X1 q 3EI l
第三种解法
4l a X 1 2(q ) 0 3EI l
一般来说，凡是与多余未知力相应的支座位移参数 都出现在力法典型方程的右边项中，而其它的支座 位移参数都出现在左边的自由项中。
(5)特例 1）若a = 0，则原体系如图示，相应的M图如图所示。 A 点的 M AB 3EI q ,若引入符号
一、支座移动时的内力计算
计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中 第 i个方程的一般形式可写为

j 1
n
ij
X j Δic C i
ij为柔度系数
Ci，表示原结构在Xi方向的实际位移
Dic，表示基本结构在支座移动作用下在Xi方向的位移
【例7-9】图示单跨超静定梁AB，已知EI为常数，左端支座转动角度为q ， 右端支座下沉位移为a，试求在梁中引起的自内力。
l
q
A
EI i l
q
EI l
B
称为杆件的线刚度则
3iq/3
A B 3iq/3
M AB 3iq
3iq
M图
2）若q = 0，并令DAB = a，则原体系如图7-26a所示，相应的 M图如图7-26b所示。A点的 M AB 3EI ΔAB ，若再引入符 l l 号 EI B ΔAB A 弦转角 DAB l 称为杆AB的弦转角，则

j 1
n
ij
X j Δit Δi
式中， Dit表示基本结构在温度变化作用下沿Xi方向 的位移；Di表示原结构沿Xi方向的位移（在温度变 化问题中，一般D i=0）。
例7-10】试作图示刚架在温度改变时所产生的M图。各杆 截面为矩形，高度h=l/10，线膨胀系数为a。设EI=常数 解 :此结构为一次超静定刚架，取基本体系 如图所示。力法方程为
X1=1
Dt Δ1t AM t 0 AFN h
M 1图
A
1
C
D
B
2 1 l l
AB段 BC段 CD段 AB段 BC段 CD段
t0=0℃ t0=2.5℃ t0=10℃ Dt=30℃ Dt=25℃ Dt=10℃
Δ1t
FN 1图
C
2 l
D
10 1 1 30 ( 1 l ) 10 ( 1 l ) l 2 2
q
X1
q
基本体系之三
a
q
q
q
FRA 2
a
4l 11 3EI
D1c
X1=1
力法方程为
4l a X 1 2(q ) 0 3EI l
2
M1 图
X1
1
FRB
由此可得
X1
2 l
3EI a (q ) 2l l
3EI a (q ) l l
M图
以上选取三种不同基本结构，得出三个不同的力法方程： 第一种解法 第二种解法
代之以杆件制作误差（或材料收缩与徐变）时的自由 项计算公式
ΔiZ FN Dl
可看出，周边的约束刚度对上述非荷载因素所引起 的结构的自内力有很大的影响。
11 X 1 Δ1t 0
A +15℃ -15℃ B A l +15℃ -15℃ B
-10℃ +15℃
+15℃ +5℃ l
-10℃ +15℃
X1 +15℃ +5℃
C l
D
C X1
D
基本体系
分别作 M 1图和 FN 1图，如图7-27c、d所示。
A B
1
11
2 EI
2 1 l 2 l 1 ( 1 l ) ( 1) ( 1 ) ( 1) 2 3 2 2 3 EI
1 2 2.5 ( l ) 10 ( l ) l l 100 22 .5 77 .5
代入典型方程，可得
X1 Δ1t
A
77.5EI/l B
77.5EI/l 77.5EI/l
11
77 .5 EI l
(
)
C
D
杆件的制作误差、材料的收缩和徐变所引起超静定结构 自内力的计算，其基本原理与上述温度变化时相同。
在计算自由项时，须注意将基本结构中因轴线平 均温度变化t0而引起的杆长变化量a t0l，代之以杆件制 作长度的误差或材料的收缩量Dl，亦即将温度变化时 的自由项计算公式
Δit t 0 AFN FNt 0 l
77.5EI/l
最后弯矩图 M M 1 X 1 ，如图所示。
M图
由计算结果可知，在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各 杆件刚度的绝对值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自内 力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降 温可能出现裂缝的情况（对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高 温一侧受压）。
1 X1
M 1图
FRB
1 l
与第一种解法所作M图完全相同。
3EI a (q ) l l
M图
(3)第三种解法
将梁AB中点截面C改为铰结，取该截面上的 弯矩作为多余未知力X1，其力法典型方程为 11 X 1 Δ1c 0
其中
2 a Δ1c FR c (2 q ) ( a) 2(q )（m） l l
M图
FRA 1
l
M1 图
X1=1பைடு நூலகம்
(2)第二种解法
X1
取支座A的反力偶作为多余未知力X1， 其力法方程为
q
基本体系之二
a
11 X 1 Δ1c q
其中
1 a Δ1c FR c ( a) l l l 11
3EI
X1=1
D1c
a
力法方程
l a X1 q 3EI l 3EI a X1 (q ) l l
1 l M 12 dx EI 3EI
3
FRA 1
l
M1 图
X1=1
q
得 由此求得
l X 1 q l a 3EI
3
A
q
l/2 l
C
B
a
l/2
X1
3EI a (q ) l l2
q
弯矩叠加公式为：
q
X1
a
M M1 X1
基本体系之一
q
q
X1
D1c
3EI a (q ) l l
第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。 当取有移动的支座约束力为基本未知力时，Di≠0，而是 Di=Ci 第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同。 由于基本结构（是静定结构）上支座移动、温度变化时 均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最 后弯矩叠加公式为
M M i xi
7.5
用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力
对于静定结构，在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下，可 发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于存在 多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称 为自内力。
用力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载 作用时相同，只是具体计算时，有以下三个特点： 第一，力法方程中的自由项不同。 这里的自由项，不再是荷载引起的DiP，而是由支座移 动或温度变化等因素引起基本结构多余未知力方向上 的位移Dic或Dit等。
此梁为一次超静定，以下分别采用 三种基本体系求解 。
q
A C B
q
l/2 l
a
l/2
(1)第一种解法 :
取支座B的竖向反力为多余未知力X1，其 力法方程为
q
q
11 X 1 Δ1c a
q
X1
a
基本体系之一
其中
q
D1c
Δ1c FR c (l q ) q l
11
M AB ΔAB 3i 3i l
l
(6)上述计算结果表明：在支 座位移时，超静定结构将产生 内力和反力，其内力和反力与 各杆件刚度的绝对值成正比。
3iD AB 3i l
B
A
3iD AB l2
M图
3iD AB l2
二、温度变化时的内力计算
在温度变化时，n次超静定结构的力法方程中，第i个 方程的一般形式为