线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲第一章3.如果排列nx x x 21是奇排列,则排列11x xx n n的奇偶性如何？解：排列11x x x n n 可以通过对排列nx x x 21经过(1)(1)(2)212n n n nL 次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列11x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列11x xx n n为偶排列。
4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13a 且带负号的项.解：含元素13a 的乘积项共有13223144(1)taa a a，13223441(1)taa a a，13213244(1)t a a a a ，13213442(1)taa a a，13243241(1)taa a a，13243142(1)taa a a六项，各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ，(3241)4t ，(3124)2t ，(3142)3t ，(3421)5t ，(3412)4t ， 故所求为132231441aa a a，132134421a a a a，132432411a a a a。
5.按照行列式的定义,求行列式nn 0000100200100的值.解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有1,12,21,1(1)t n n n nna a a a L ，其中(1)(2)[(1)(2)21]2n n t n n n L ，故行列式的值等于：(1)(2)2(1)!n n n6. 根据行列式定义,分别写出行列式xx x x x111123111212 的展开式中含4x 的项和含3x 的项.解：展开式含4x 的乘积项为411223344(1)(1)22ta a a a x x x x x含3x 的乘积项为1312213344(1)(1)1taa a a x x x x8. 利用行列式的性质计算下列行列式： 解：(1) 4113112342112341111111141023412341012110310()3412341201212412341230321r r r r r r r r r r r4243321111111130121012110101011(4)(4)160004000410044004r r r r r r (2)2605232112131412 1231211241124113210562202132035005620562c c r r r r （第二行与第四行相同） (3)22231132222221111111222202221110a ab b r a r a a b b r r a a b b b ab a r ar a ab b ab a b a2332111111()()012()012()000b a b a r ar b a a b a b a b a(4)3421211111101111111111111111000011111111111111x xxr r x x x x r r x x x x x x41224432111110011011001100111100r r x x x r r x x r r x x9.若540030087654321x =0,求.x 解：12341500567826001544(512)003374263500454835x x x x 转置即有：124(512)05x x11. 利用行列式按行或列展开的方法计算下列行列式： 解： (2)12431010110(1)(1)01011011011a aa a a D a D a a a a aaa按第一行展开11323212(1)(1)(1)(1)(1)]n n n a D a D a D aD D a D aD [一般地有221221(1)[(1)](1)(1)a a D aD aD a a D a a D ，其中：2221(1)111a a D a a a a a，111D a a .带入上式即可。
12. 设4阶行列式cdb a ac bd a d b c d c b a D4，求44342414A A A A .解：显然，行列式1111a b c c b d db c a b d 按第四列展开，即得44342414A A A A 。
注意到该行列式的第四列与第一列元素成比例，其值为0，故142434440A A A A .14. 当、取何值时，齐次线性方程组200321321321x x x x x x x x x有非零解？ 解：当系数行列式1111201121100(1)00121121D时，齐次线性方程组有非零解，于是要求10 或B15.计算下列行列式: (1)11221111111011111101111110111nna a a a a a LLL L L L L L LL LL LL（加边法）111221111111111000001000001000ni inna a a a a a aL L L LL LL L L L L L LL（第二列的11a 倍……第1n 列的1na 倍都加到第一列）1211(1)nn i ia a a aL 按第一列展开(2)10000000000(1)0000000000n n x y x y y xy x xy D x y x yxyy xL L L LLLLL L L L L L LL L L LLL按第一列展开1(1)n n nx y(3)1212221222222222222223212232023222222022c c nn nL L L L L L L L L LL L L L L L L L L LLLL展开1121122122132012222(2)!122n r r n r r nn L L L L M L L L L LL(4)1111111111(1)()(1)(1)()()[(1)]1()[(1)]111n n nn n n n n n n n n na a a n a n a n a a a a n D a n a n a a a a na n a n a LLL L L L L L L LL LL L LL记121,(1),n x a n xa n x aL ，由范德蒙行列式的结论可知，11()n j i nDi j.第二章 矩阵1（本题为类似题）．设111111111A，123124,051B求32.T AB A A B 及解:32AB A 1111233111124111051 11121111110583056290 111211111121322217204292111123111124111051T A B 0580562902（部分原题，部分类似题）．计算下列乘积： (1)431712325701； (2)31,2,321； (3)211,23；(4)13121400121134131402；(5)111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x.解:(1)431712325701 47321117(2)231577201 35649(2) 31,2,321(132231)(10) (3)211,23 2(1)221(1)123(1)32 241236(4)131214001211341314026782056(5)111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x111122133121222233131232333a x a x a x a x a x a x a x a x a x 123x x x222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x(6)121010310101012100210023********12520124004300093．求,nA 其中n 为自然数，100010011A 解：2 n 时，1000100211000100111000100112A3n 时，1000100311000100111000100213A设k n 时，10001001k A k ；则1 k n 时，有100010011100010011100010011k k A k故：由数学归纳法知，对任意的自然数n ，有10001001n A n4．矩阵A 称为反对称矩阵，若TA A 。
已知A 为n阶反对称矩阵，B 为为n 阶对称矩阵，试问BA-AB是对称矩阵还是反对敌矩阵？试证明你的结论。
答：BA-AB 是一个对称矩阵。
证明如下： 因为： ABBA A B B A A B B A T T T T TT )(AB -BA AB -BA T所以：BA-AB 是对称矩阵。
5（部分原题，部分类似题）．求下列矩阵的逆矩阵（请注意伴随矩阵的计算公式）： (1)1225； (2)cos sin sin cos；(3)121342541； (4)12000000n a aaL L L L L L L12(0)na a aL解：(1) 10A Q，故1A 存在112112225,2(1),2(1),1A A A A Q112112225221A A A A A11A A A=5221(2) 10A Q，故1A 存在11211222cos ,sin ,sin ,cos A A A AQ11211222cos sin sin cos A A A A A11A A Acos sin sin cos(3) 20A Q，故1A 存在1121314,2,0A A A Q，12223213,6,1A A A ，13233332,14,2A A A11A A A210420113113613222321421671(4)由对角矩阵的性质知12110101n a a A aO6（部分原题，部分类似题）．解下列矩阵方程： (1)25461321X； (3)142031121101X；(2)211113210432111X； (4)010100143100001201001010120X.解：(1)125461321X 35461221 22308；(2)1211113210432111X10111312324323330 22182533；(3)11143120120111X 24311011101121266101301212 11104；(4)11010143100100201001001120010X010143100100201001001120010 2101341027．设k A O(k为正整数)，证明121()k E A E A A A L .（请注意证明过程的逻辑性要正确） 证明：由于kAO，于是有2231()()()()k k E E A A A A A A A L 21()()()()k E A A E A A E A A E A L21()()k E A A A E A L两端同时右乘1()E A 得 121()k E A E A A A L8．设矩阵111111*********1A ；（1）求2A ；（2）证明矩阵A 可逆，并求出1A ；（3）求 1* A 解：（1）4000040000400004111111111111111111111111111111112A（2）因为,04400004000040000442A A A 所以，0 A ，故A 可逆。