线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB )3)=__________．12．设3阶矩阵A =12243311t--，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________． 13．设方阵A 满足A k=E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A -1=__________． 14．实向量空间R n的维数是__________．15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r ,则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________．17．设α是齐次线性方程组Ax =0的解，而β是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则(32)+A αβ=__________．18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________．20．二次型222123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数是__________． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式1112114124611242-----． 22．设矩阵A =235，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1，求矩阵B ．23．设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),===-=αααα求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．24．设三阶矩阵A =143253242----，求矩阵A 的特征值和特征向量．25．求下列齐次线性方程组的通解．26．求矩阵A =22420306110300111210----的秩．四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设三阶矩阵A =111213212223313233a a a a a a a a a 的行列式不等于0，证明： 131112121222323313233,,a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα线性无关．线性代数习题二说明：在本卷中，A T表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵。

A 表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1 B.14- C.14D.12.设212()222122,323235x x x f x x x x x x x ---=------则方程()0f x =的根的个数为（ ）A.0B.1C.2D.33.设A 为n 阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得到方阵B ，若,≠A B 则必有（ ）A.0=AB. 0+≠A BC.0A ≠D.0-≠A B4.设A ,B 是任意的n 阶方阵，下列命题中正确的是（ ） A.222()2+=++A B A AB BB.22()()+-=-A B A B A BC.()()()()-+=+-A E A E A E A ED.222()=AB A B5.设111213212223313233,a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 其中0,0,1,2,3,i i a b i ≠≠=则矩阵A 的秩为（ ） A.0 B.1 C.2D.36.设6阶方阵A 的秩为4，则A 的伴随矩阵A *的秩为（ ） A.0 B.2 C.3D.47.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k ，6）正交，则数k 为（ ） A.-10 B.-4 C.3D.108.已知线性方程组1231231243224x x x x ax x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩无解，则数a =( )A.12- B.0 C.12D.19.设3阶方阵A 的特征多项式为2(2)(3),λλλ-=++E A 则=A ( )A.-18B.-6C.6D.1810.若3阶实对称矩阵()ij a =A 是正定矩阵，则A 的3个特征值可能为（ ）A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.设行列式304222,532D=-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.12.设,,a a b b a a b b -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A B 则=AB __________.13.设A 是4×3矩阵且103()2,020,103r ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B 则()r =AB __________.14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr 可由向量组β1，β2，…,βs 线性表示，则r 与s 的关系为__________.16.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.17.设4元线性方程组x=A b 的三个解α1，α2，α3，已知T 1(1,2,3,4),=αT 23(3,5,7,9),r() 3.+==A αα则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A 的秩为2，且250,+=AA 则A 的全部特征值为__________.19.设矩阵21100413a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 有一个特征值2,λ=对应的特征向量为12,2x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则数a =__________.20.设实二次型T 123(,,),f x x x x x =A 已知A 的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21.设矩阵2323(,2,3),(,,),αγγβγγ==A B其中23,,,αβγγ均为3维列向量，且18, 2.==A B 求.-A B22.解矩阵方程11101110221011.1104321--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭X 23.设向量组α1=（1，1，1，3）T，α2=（-1，-3，5，1）T，α3=（3，2，-1，p+2）T，α4=（3，2，-1，p+2）T问p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组1231231232124551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩,（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）. 25.已知2阶方阵A 的特征值为11λ=及21,3λ=-方阵2.=B A（1）求B 的特征值； （2）求B 的行列式. 26.用配方法化二次型2221231231223(,,)22412f x x x x x x x x x x =---+为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分) 27.设A 是3阶反对称矩阵，证明0.=A习题一答案习题二答案线性代数习题三说明:在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。