2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷)数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差221111(),n n i ii i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上.1。

若复数12429,69z i z i =+=+,其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★.【答案】20-【解析】略2.已知向量a 和向量b 的夹角为30,||2,||==a b ，则向量a 和向量b 的数量积=a b ★。

【答案】3【解析】2332=⋅⋅=a b 。

3。

函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为★。

【答案】(1,11)-【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-.4。

函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω=★。

【答案】3【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=,5.现有5根竹竿，它们的长度（单位:m ）分别为2.5，2.6，2.7，2。

8，2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为★. 【答案】0。

2 【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次,学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班67679 则以上两组数据的方差中较小的一个为2s =★。

【答案】25【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W =★。

【答案】22 【解析】略8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为★。

【答案】1：8 【解析】略 9.在平面直角坐标系xoy 中,点P 在曲线3:103C y x x =-+上,且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为★. 【答案】(2,15)-【解析】略10.已知512a -=，函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为★.【答案】m n <【解析】略 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞,若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =★。

【答案】4 【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4.12。

设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；结束（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行,则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

上面命题中，真命题的序号★（写出所有真命题的序号）。

【答案】(1)（2) 【解析】略13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为★。

【答案】275e =-【解析】用,,a b c 表示交点T,得出M 坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率。

14．设{}n a 是公比为q的等比数列,||1q >,令1(1,2,)n n b a n =+=若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中,则6q =★。

【答案】9-【解析】将各数按照绝对值从小到大排列,各数减1，观察即可得解。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分) 设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c（1)若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||+b c 的最大值; （3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b 。

【解析】由a 与2-b c 垂直，(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ，即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=；xyA1 B2A2 O TM(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-,最大值为32,所以||+b c 的最大值为42.由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，所以a ∥b .16．（本小题满分14分) 如图，在直三棱柱111ABC A BC -中,E,F 分别是11A B,A C 的中点，点D 在11B C 上,11A D B C ⊥求证：（1）EF ∥ABC 平面 （2）111A FD BB C C⊥平面平面【解析】证明：（1)因为E,F 分别是11A B,A C 的中点，所以EF//BC ,又EF ⊄面ABC ,BC ⊂面ABC ，所以EF ∥ABC 平面；（2)因为直三棱柱111ABC A BC -，所以1111BBABC ⊥面，11BB A D ⊥，又ABCA1B1C1EFD11A D B C⊥，所以111AD BC C⊥面B ，又11AD AFD ⊂面，所以111A FD BB C C ⊥平面平面。

17．(本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+= （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2)试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.(1)设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所【解析】以430a a +=,即1250a d +=,又由77S =得176772a d ⨯+=,解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-,前n 项和26nS n n =-。

（2）12272523m m m a a (m )(m )a (m )++--=-，令23m t-=，1242m m m a a (t )(t )a t ++--=86t t =+-，w.w.w.k 。

s 。

5。

u 。

c.o 。

m因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =,2m =时，863t t +-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；1t =-，1m =时，8615t t +-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合。

所以满足条件的正整数2m =. 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中,已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=y1 ..(1)若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点,满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线12l l 和,它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。

【解析】(1)0y =或7(4)24y x =--,(2)P 在以C1C2的中垂线上,且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-。

19.（本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元,如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为m m a +;如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a +。

如果一个人对两种交易(卖出或买进）的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满12h h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B的综合满意度为h 甲,乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时,求证：h 甲=h 乙； 设35A Bm m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？记（2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立?试说明理由。

求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时,求证：h 甲=h 乙；设35A Bm m =,当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？记(2）中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值,使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立?试说明理由.【解析】(1)=,=,125320A B A BA B A B m m m m h h m m m m ⋅⋅++++乙甲([3,12],[5,20])A B m m ∈∈当35A Bm m =时， 235=,35(20)(5)125B B B B B B B m m m h m m m m ⋅=++++甲235=,320(5)(20)35BB B B B B B m m m h m m m m ⋅=++++乙显然=h h 乙甲(2)当35A Bm m =时,2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251B B B B B B Bm h m m m m m m ==++++++甲由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得，故当1120B m =即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为10520．（本小题满分16分) 设a 为实数,函数2()2()||f x x x a x a =+--。