绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式： 棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．答案：{}1246,,,2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 答案：153. 设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 答案：84. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．（第4题）答案：55. 函数6()12log f x x =-的定义域为 ▲ ．答案：(06,⎤⎦6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 答案：357. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则四棱锥11A BB D D-的体积为 ▲ 3cm ． 答案：68. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ． 答案：29. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ． 答案：210. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 答案：10-11. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．答案：17250ABCEFD（第9题）（第7题）12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 答案：43k =13. 已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 答案：914. 已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ． 答案：[]7e,二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1） 求证：tan 3tan B A =；（2） 若cos C =求A 的值． 解： （1）∵3AB AC BA BC =∴3AB AC cos A BA BC cos B = ∴3AC cos A BC cos B =由正弦定理得：AC BC sin Bsin A=∴3sin B cos A sin A cos B = ∴3tan B tan A = （2）∵55cos C =，且0C π<< ∴255sinC =∴2tanC = ∴()2tan A B +=- 又∵3tan B tan A =∴23421113tan A tan B tan A tan A tan Atan Atan B tan A tan B tan A++-===--- ∴1tan A =或13-∵3tan B tan A =∴A ，B 必为锐角，否则A ，B 同时为钝角，这与三角形的内角和小于180矛盾 ∴0tan A > ∴1tan A = ∴4A π=16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2） 直线1//A F 平面ADE ． 证明： （1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱∴1CC ABC ⊥平面 ∵AD ABC ⊂平面 ∴1CC AD ⊥ ∵AD DE ⊥，且1DE CC E =∴11AD BCC B ⊥平面 ∵AD ABC ⊂平面∴11ADE BCC B ⊥平面平面 （2）∵11AD BCC B ⊥平面，11BC BCC B ⊂平面∴AD BC ⊥∵直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC = ∴AB AC = ∴D 是BC 的中点 ∵F 是11B C 的中点 ∴1DFAA ，且1DF AA =∴四边形1AA FD 是平行四边形 ∴1A FAD∵1D F A A E ⊄平面，1D F A A E ⊂平面 ∴1//A F 平面ADE17. （本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1） 求炮的最大射程；（2） 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解： （1）∵炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹方程为221(1)(0)20y kx k x k =-+>，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标∴令0y =，则炮的射程可表示为()21120k x k =+∴炮的最大射程即x 的最大值 由题意得0x >，0k > ∴()2202010112120k x km k k k==≤=++，当且仅当2k =时，等号成立 ∴炮的最大射程是10km 。

（2）∵飞行物在第一象限内，其飞行高度为3.2千米，横坐标为a ∴飞行物的坐标为()32a,.∴炮弹可以击中它，即飞行物的坐标满足炮弹的轨迹方程 ∴将飞行物坐标带入炮弹的轨迹方程得：2213.2(1)(0)20ka k a k =-+> ∴关于k 的方程在0k >上有解∴22220640a k ak a -++=有正根x （千米）y （千米）O（第17题）∴只需()()222204640a a a∆=--+≥∴6a ≤即a 只需要不超过6km 即可。

18. （本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1） 求a 和b 的值；（2） 设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3） 设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 解： （1）∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点 ∴1和1-是方程2'()320f x x ax b =++=的两个根 由韦达定理得()2113a +-=-，()113b⨯-= ∴0a =，3b =- （2）∵函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+∴令()()()()232()()23212120g x f x x x x x x x x '=+=-+=-+-=-+= 解得11x =，22x =-①当1x x <时，()0g'x >，当1x x >时，()0g'x >， ∴11x =不是()g x 的极值点②当2x x <时，()0g'x <，当2x x >时，()0g'x >， ∴12x =-是()g x 的极大值点令()f x t =，则()()h x f t c =-讨论关于x 的方程()[]22f x d,d ,=∈-的根的情况当2d =时，由（2）得()2f x =-的两个不同的根为1和2-，注意到()f x 是奇函数，所以()2f x =-的两个不同的根为1-和2。

当2d <时，因为()()1220f d f d d --=-=->，()()1220f d f d d -=--=--< 所以2112,,,--都不是()f x d =的根，由（1）知()()()311f 'x x x =+-① 当()2x ,∈+∞时，()0f 'x >，于是()f x 是单调递增函数，从而()()22f x f >=，此时()f x d =无实根，同理，()f x d =在()2,-∞-上无实根。

② 当()12x ,∈时，()0f 'x >，于是()f x 是单调递增函数，又()10f d -<，()20f d ->，()y f x d =-的图像不间断，所以()f x d =在()12,内有唯一实根，同理，()f x d =在()21,--内有唯一实根。

③ 当()11x ,∈-时，()0f 'x <，故()f x 是单调减函数，又()10f d -->，()10f d -<，()y f x d =-的图像不间断，所以()f x d =在()11,-内有唯一实根。

由上可知，当2d =时，()f x d =有两个不同的根1x ，2x 满足11x =，22x =； 当2d <时，()f x d =有三个不同的根3x ，4x ，5x 满足2345i x ,i ,,<=； 现考虑函数()y h x =的零点：（1） 当2c =时，()f t c =有两个根12t ,t 满足11t =，22t =，而()1f x t =有三个不同的根，()2f x t =有两个不同的根，故()y h x =有5个零点；（2） 当2c <时，()f t c =有三个不同的根345t ,t ,t 满足2345i t ,i ,,<=，而()()345i f x t i ,,==有三个不同的根，故()y h x =有9个零点；综上所述，当2c =时，函数()y h x =有5个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点。