人教版九年级上册第22章二次函数单元测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列函数中属于二次函数的是（ ） A ．(1)y x x =+ B ．21x y = C ．2222(1)y x x =-+D ．y =2．若y=（a 2+a ）221a a x --是二次函数，那么（ ）A ．a=﹣1或a=3B ．a≠﹣1且a ≠0C ．a=﹣1D ．a=33．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+c 在坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．某同学在用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A ．﹣11B ．﹣2C ．1D ．﹣55．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）A ．函数有最小值B ．0c <C ．当﹣1＜x ＜2时，y ＞0D ．当x ＜12时，y 随x 的增大而减小 6．如图：二次函数y=ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若AC ⊥BC ，则a 的值为（ ）A ．﹣12B ．﹣14C ．﹣1D ．﹣27．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( ) A ．k<4B ．k≤4C ．k<4且k≠3D ．k≤4且k≠38．对于二次函数21y x mx =++，当02x <≤时的函数值总是非负数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2m ≥-B ．42m -≤≤-C ．4m ≥-D ．4m ≤-或2m ≥-9．正实数x ，y 满足xy=1，那么44114x y +的最小值为（ ）A ．12B ．58C ．1D10．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图,图象过点（-1,0），对称轴为直线x =2,下列结论:①4a +b =0;②9a +c ＞3b ;③8a +7b +2c ＞0;④当x ＞-1时,y 的值随x 值的增大而增大.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 11．若22(2)32my m x x -=++-是二次函数，则m 的值是 ________.12．直线y=mx+n 和抛物线y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n ＜ax 2+bx+c ＜0的解集是_____．13．请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y 轴的交点在x 轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为________ ． 14．已知二次函数y=3（x ﹣1）2+k 的图象上三点A （2，y 1），B （3，y 2），C （﹣4，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系是_____．15．点A （2，y 1）、B （3，y 2）是二次函数y=﹣（x ﹣1）2+2的图象上两点，则y 1_____y 2． 16．已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：则当x ≥1时，y 的最小值是_____．三、解答题17．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象经过点()2,0A -，点()4,0B ，点()2,4D ，与y 轴交于点C ，作直线BC ，连接AC 、CD ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）E 是抛物线上的点，求满足ECD ACO ∠=∠的点E 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴上和y轴上，线段OA=24，OB=12；点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动．如果点P，点M同时出发，它们移动的速度相同都是1个单位/秒，设经过x 秒时（0≤x≤12），△POM的面积为y．（1）求直线AB的解析式；（2）求y与x的函数关系式；（3）连接矩形的对角线AB，当x为何值时，以M、O、P为顶点的三角形等于△AOB面积的18；（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点是否在直线AB上，请说明理由．19．平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2m2x+2交y轴于A点，交直线x=4于B点．（1）抛物线的对称轴为x=_____（用含m的代数式表示）；（2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（x p，y p），y p≤2，求m的取值范围．20．已知一条抛物线的对称轴是直线x=1；它与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），且线段AB 的长是4；它还与过点C （1，﹣2）的直线有一个交点是D （2，﹣3）． （1）求这条直线的函数解析式； （2）求这条抛物线的函数解析式；（3）若这条直线上有P 点，使S △PAB =12，求点P 的坐标．21．某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x （元），每天销售y （个），每天获得利润W （元）． （1）写出y 与x 的函数关系式_____；（2）求出W 与x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围）22．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC ，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=﹣2120x +c 且过顶点C （0，5）（长度单位：m ） （1）直接写出c 的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m 的地毯，地毯的价格为20元/m 2，求购买地毯需多少元？（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH （H 、G 分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG ．已知矩形EFGH 的周长为27.5m ，求斜面EG 的倾斜角∠GEF 的度数．（精确到0.1°）23．如图，抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A （﹣1，0），点C （0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．24．如图1，直线l：y=34x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线y=12x2+bx+c经过点B，与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2），设点D的横坐标为t（0＜t＜4），矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标．参考答案1．A 【分析】整理成一般形式后，利用二次函数的定义即可解答． 【详解】A 、y=x 2+x ，是二次函数；B 、y=21x ，不是二次函数； C 、y=﹣2，不是二次函数； D 、不是整式，不是二次函数； 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数的定义． 2．D 【解析】 【分析】根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答． 【详解】根据题意，得：a 2﹣2a ﹣1=2 解得a=3或﹣1又因为a 2+a≠0即a≠0或a≠﹣1 所以a=3． 故选D ． 【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义． 3．D 【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知a ＜0，根据对称轴x=﹣2ba＜0，可得b ＜0，再由函数图象经过原点可知c=0，进而得到一次函数y=bx+c 在坐标系中的大致图象． 【详解】∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴x=﹣2ba＜0， ∴b＜0，∵函数图象经过原点， ∴c=0，∴一次函数y=bx+c 在坐标系中的大致图象是经过原点且从左往右下降的直线， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了二次函数以及一次函数的图象，解题时注意：正比例函数的图象是经过原点的一条直线． 4．D 【解析】 【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案． 【详解】解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得212,a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=-⎩解得301,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩函数解析式为y ＝﹣3x 2+1 x ＝2时y ＝﹣11， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．5．C 【解析】解：A ．由图象可知函数有最小值，故正确； B ．由图象可知c ＜0，故正确；C ．由抛物线图象可知当﹣1＜x ＜2时，y ＜0，故错误；D ．由图象可知在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，故正确． 故选C ． 6．A 【解析】设A （x 1,0）（x 1＜0）,B （x 2,0）（x 2＞0）,C （0,t ）, ∵二次函数y =ax 2+bx +2的图象过点C （0,t ）, ∴t =2, ∵AC ⊥BC ,∴OC 2=OA •OB ,即4=|x 1x 2|=-x 1x 2, 根据韦达定理知x 1x 2=2a, ∴a =12-.故选A. 7．B 【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B. 考点：函数图像与x 轴交点的特点. 8．A 【分析】要满足0＜x ≤2时的函数值总是非负数，需要使得在这个范围内的函数值的最小值为非负数即可.需要根据对称轴与0＜x ≤2的三种位置关系进行分类，分别找到最小值令其为非负数求出a 的范围，最后将每种情况的范围合在一起即为最终的结果. 【详解】解：对称轴为：x =﹣2b a =﹣2m ，y=1﹣24m ，分三种情况：①当对称轴x ＜0时，即﹣2m＜0，m ＞0，此时y 随x 的增大而增大，x=0时，y=1，所以0＜x ≤2时都有y>1，所以符合题意.②当0≤x ＜2时，0≤﹣2m ＜2，﹣4＜m ≤0，此时函数的最小值在顶点处取到，则只需当1﹣24m ≥0，即﹣2≤m ≤2，∴当﹣2≤m ≤0时，当0＜x ≤2时的函数值总是非负数， ③当对称轴﹣2m≥2时，即m ≤﹣4， x =2时，y 值最小．令y ≥0，即4+2m +1≥0， 解得：m ≥﹣52，又∵m ≤﹣4，此种情况m 无解； 综上所述：若0＜x ≤2时的函数值总是非负数，则m ≥-2. 9．C 【解析】 【分析】根据已知条件将所求式子消元，用配方法将式子配方，即可求出最小值． 【详解】 由已知，得x=1y， ∴42244421111()1442x x x y x x +=+=-+，当2212x x =，即 44114x y +的值最小，最小值为1． 故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数求最大（小）值的运用，关键是将所求式子消元，配方． 10．B 【分析】根据抛物线的对称轴即可判定①；观察图象可得，当x=-3时，y ＜0，由此即可判定②；观察图象可得，当x=1时，y ＞0，由此即可判定③；观察图象可得，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，即可判定④.【详解】由抛物线的对称轴为x=2可得2b a-=2，即4a+b=0，①正确； 观察图象可得，当x=-3时，y ＜0，即9a-3b+c ＜0，所以3a c b +＜，②错误；观察图象可得，当x=1时，y ＞0，即a+b+c ＞0，③正确；观察图象可得，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，④错误．综上，正确的结论有2个.故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．11．2【分析】根据二次函数的定义求解即可．【详解】由题意，得m 2﹣2=2，且m+2≠0，解得m=2，故答案为2．【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．12．1＜x ＜2．【解析】【详解】从图上可知，mx+n ＜ax 2+bx+c ，则有x ＞1或x ＜﹣32； 从图上可知，ax 2+bx+c ＜0，则有﹣1＜x ＜2；所以，不等式mx+n ＜ax 2+bx+c ＜0的解集是1＜x ＜2．【点睛】此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细．13．y=﹣x 2﹣2x ﹣1【解析】试题解析：设所求二次函数的解析式为2(0).y ax bx c a =++≠∵图象的开口向下，∴a <0，可取a =−1；∵对称轴是直线x =−1,12b a∴-=-， 得b =2a =−2； ∵与y 轴的交点在x 轴的下方，∴c <0，可取c =−1；∴函数解析式可以为：22 1.y x x =---故答案为22 1.y x x =---14．y 1＜y 2＜y 3【解析】试题分析：在二次函数y=3（x ﹣1）2+1，对称轴x=1，在图象上的三点A （4，y 1），B （2，y 2），C （﹣3，y 3），|2﹣1|＜|4﹣1|＜|﹣3﹣1|，则y 1、y 2、y 3的大小关系为y 2＜y 1＜y 3．考点：二次函数图象上点的坐标特征15．＞【解析】【分析】先确定对称轴是：x=1，由知a=﹣1，抛物线开口向下，当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，根据横坐标3＞2得：y 1＞y 2．【详解】∵二次函数对称轴为：x=1，a=﹣1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∵3＞2＞1，∴y 1＞y 2，故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，明确二次函数的增减性：①当a ＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向上，x ＜﹣2b a 时，y 随x 的增大而减小；x ＞﹣2b a时，y 随x 的增大而增大； ②当a ＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向下，x ＜﹣2b a时，y 随x 的增大而增大；x ＞﹣2b a 时，y 随x 的增大而减小． 16．1【解析】【分析】先用待定系数法求出二次函数的解析式，得出其对称轴的直线方程，进而可得出结论．【详解】∵由表可知，当x=﹣1时，y=10，当x=0时，y=5，当x=1时，y=2，∴1052a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得145a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为y=x 2﹣4x+5，∴其对称轴为直线x=﹣422b a -=-=2． ∵x≥1，∴当x=2时，y 最小=244ac b a -=20164-=1． 故答案为：1．【点睛】本题考查的是二次函数的最值，熟知用待定系数法求二次函数的解析式是解答此题的关键． 17．（1）y =﹣12x 2+x+4，(2) 点E 的坐标为（1，92），（3，52）．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），再把点代入即可得出解析式；（2）分两种情况：①当点E在直线CD的抛物线上方；②当点E在直线CD的抛物线下方；连接CE，过点E作EF⊥CD，再由三角函数得出点E的坐标．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），∴y=a（x+2）（x﹣4），∴﹣8a=4，∴a=﹣12，∴抛物线的解析式为y=﹣12（x+2）（x﹣4）=﹣12x2+x+4，（2）①当点E在直线CD的抛物线上方，记E′，连接CE′，过点E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，由（1）得OC=4，∵∠ACO=∠E′OF′，∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，∴12 AO E FCO CF''='=，设线段E′F′=h，则CF′=2h，∴点E′（2h，h+4），∵点E′在抛物线上，∴﹣12（2h）2+2h+4=h+4，∴h1=0（舍去），h2=12，∴E′（1，92）；②当点E在直线CD的抛物线下方；同①的方法得，E（3，52），综上，点E的坐标为（1，92），（3，52）．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的解析式三种不同的形式是解题的关键．18．（1）y=1122x-+；（2）y=2162x x-+；（3）6；（4）点D不在直线AB上．【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，用待定系数法即可求解；（2）根据S△OMP=1·2OM OP，即可求解；（3）根据面积之间关系列出等式即可求解；（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM，先求出D点坐标，看是否在直线y=1122x-+上即可判断.【详解】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，A点坐标为（24，0），B为（0，12），把A、B两点的坐标代入上式，得：24012k bb+=⎧⎨=⎩，解得1212kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y=112 2x-+；（2）∵S △OMP=1·2OM OP ， ∴y=112)?2x x -（,即y=2162x x -+； （3）∵S △AOB=11442OA OB ⨯⨯=， ∴18S △AOB=18，即y=18， 当2162x x -+=18时，解得：x=6； （4）当△POM 的面积最大时，将△POM 沿PM 据直线翻折后得到△PDM，当x=﹣612()2⨯-=6时，S △POM =y 有最大值． 此时OP=6，OM=12﹣x=6∴△OMP 是等腰直角三角形．∵将△POM 沿PM 所在直线翻折后得到△POM．∴四边形OPDM 是正方形∴D（6，6），把D （6，6）代入y=1122x -+ x=6时，y=﹣12×6+12=9≠6 ∴点D 不在直线AB 上．【点睛】本题考查了二次函数的最值及矩形的性质，难度较大，关键是正确理解与把握题中给出的已知信息．19．（1）m, （2）y=2x 2﹣8x+2．（3）m ＜0或m≥2．【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x=﹣2b a，代入数据即可得出结论； （2）由AB∥x 轴，可得出点B 的坐标，进而可得出抛物线的对称轴为x=2，结合（1）可得出m=2，将其代入抛物线表达式中即可；（3）分m ＞0及m ＜0两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出m 的取值范围．【详解】（1）抛物线的对称轴为x=2(2)2m m--=m ． 故答案为m ．（2）当x=0时，y=mx 2﹣2m 2x+2=2，∴点A （0，2）．∵AB∥x 轴，且点B 在直线x=4上，∴点B （4，2），抛物线的对称轴为直线x=2，∴m=2，∴抛物线的表达式为y=2x 2﹣8x+2．（3）当m ＞0时，如图1．∵A（0，2），∴要使0≤x p ≤4时，始终满足y p ≤2，只需使抛物线y=mx 2﹣2m 2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧．∴m≥2；当m ＜0时，如图2，在0≤x p ≤4中，y p ≤2恒成立．综上所述，m 的取值范围为m ＜0或m≥2．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）牢记抛物线的对称轴为直线x=﹣2b a；（2）根据二次函数的性质找出对称轴为x=2；（3）分m ＞0及m ＜0两种情况考虑．20．（1）y=﹣x﹣1；（2）y=x2﹣2x﹣3；（3）P点坐标为（﹣7，6）和（5，﹣6）．【解析】【分析】（1）由于所求直线经过点C（1，﹣2）和D（2，﹣3），利用待定系数法即可确定直线的解析式；（2）由于抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），且线段AB的长是4，由此可以确定A、B的坐标，还经过D（2，﹣3），利用待定系数法可以确定抛物线的函数解析式；（3）由于线段AB的长是4，利用三角形的面积公式可以求出P的纵坐标的绝对值，然后代入（1）中直线解析式即可确定P的坐标．【详解】（1）∵直线经过点：C（1，﹣2）、D（2，﹣3），设解析式为y=kx+b，∴2=32k bk b -+⎧⎨-=+⎩，解之得：k=﹣1，b=﹣1，∴这些的解析式为y=﹣x﹣1；（2）由抛物线的对称轴是：x=1，与x轴两交点A、B之间的距离是4，可推出：A（﹣1，0），B（3，0），设y=ax2+bx+c，由待定系数法得：930 423 a b ca b ca b c-+=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩，解之得：123 abc=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（3）设点P的坐标为（x，y），它到x轴的距离为|y|．∴1141222PABS AB y y∆==⨯=，解之得：y=±6，由点P在直线y=﹣x﹣1上，得P点坐标为（﹣7，6）和（5，﹣6）．【点睛】此题分别考查了抛物线与x轴的交点坐标与对称轴的关系、待定系数法确定函数的解析式即三角形的面积公式等知识，有一定的综合性，一起学生熟练掌握各个知识点才能很好解决问题．21．（1）y=300+20x,（2）W=﹣20x2+100x+6000．【解析】【分析】（1）利用每天可卖出300个，每降价1元，每天可多卖出20个，进而得出y与x的函数关系式；（2）利用销量×每千克商品的利润=总利润，进而得出答案．【详解】（1）设每个降价x（元），每天销售y（个），y与x的函数关系式为：y=300+20x；故答案为：y=300+20x；（2）由题意可得，W与x的函数关系式为：W=（300+20x）（60﹣40﹣x）=﹣20x2+100x+6000．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确掌握销量与每千克利润与总利润的关系是解题关键．22．(1)5；（2）900元；（3）20.6°.【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上易求得c；（2）根据解析式求出A，B，C三点坐标，求出地毯的总长度，再根据地毯的价格求出购买地毯需要的钱；（3）由已知矩形EFGH的周长，求出GF，EF边的长度，再根据三角函数性质求出倾斜角∠GEF 的度数．【详解】（1）抛物线的解析式为y=﹣2120x +c ， ∵点（0，5）在抛物线上∴c=5；（2）由（1）知，OC=5，令y=0，即﹣2120x +5=0，解得x 1=10，x 2=﹣10； ∴地毯的总长度为：AB+2OC=20+2×5=30，∴30×1.5×20=900答：购买地毯需要900元．（3）可设G 的坐标为（m ，﹣2120m +5）其中m ＞0 则EF=2m ，GF=﹣2120m +5， 由已知得：2（EF+GF ）=27.5，即2（2m ﹣2120m +5）=27.5， 解得：m 1=5，m 2=35（不合题意，舍去）， 把m 1=5代入，﹣2120m +5=﹣120×52+5=3.75， ∴点G 的坐标是（5，3.75），∴EF=10，GF=3.75，在Rt△EFG 中，tan∠GEF=3.7510GF EF =0.375， ∴∠GEF≈20.6°．【点评】此题考查二次函数和三角函数的性质及其应用，要结合图形做题．23．(1) 抛物线的函数解析式为y=﹣12x 2+32x+2；(2)4；D （2，3）． 【分析】（1）把A 与C 坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值，确定出解析式即可；（2）连接OD ，设出D 坐标，四边形OCDB 的面积等于三角形OCD 面积+三角形OBD 面积，表示出三角形BCD 面积S 与m 的二次函数解析式，求出最大面积及D 坐标即可．【详解】（1）将点A （﹣1，0），点C （0，2）纵、横坐标分别代入y=﹣12x 2+bx+c 得： 1022b c c ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩ ， 解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则抛物线的函数解析式为y=﹣12x 2+32x+2； （2）连接OD ，则有B （4，0），设D （m ，﹣12m 2+32m+2）， ∵S 四边形OCDB =S △OCD +S △OBD =12×2m+12×4（﹣12m 2+32m+2）=﹣m 2+4m+4， ∴S △BCD =S 四边形OCDB ﹣S △OBC =﹣m 2+4m+4﹣12×4×2=﹣m 2+4m=﹣（m ﹣2）2+4， 当m=2时，S △BCD 取得最大值4，此时y D =﹣12×4+32×2+2=3，即D （2，3）． 【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．24．（1）n=2；y=12x 2﹣54x ﹣1；（2）p=272855t t -+；当t=2时，p 有最大值285；（3）6个，712或43； 【分析】（1）把点B 的坐标代入直线解析式求出m 的值，再把点C 的坐标代入直线求解即可得到n 的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）令y=0求出点A 的坐标，从而得到OA 、OB 的长度，利用勾股定理列式求出AB 的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF ，再解直角三角形用DE 表示出EF 、DF ，根据矩形的周长公式表示出p ，利用直线和抛物线的解析式表示DE 的长，整理即可得到P 与t 的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；（3）根据逆时针旋转角为90°可得A 1O 1∥y 轴时，B 1O 1∥x 轴，旋转角是180°判断出A 1O 1∥x 轴时，B 1A 1∥AB ，根据图3、图4两种情形即可解决．【详解】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直线l的解析式为y=x﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2，∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t=2时，p有最大值．（3）“落点”的个数有6个，如图1，图2中各有2个，图3，图4各有一个所示．如图3中，设A1的横坐标为m，则O1的横坐标为m+，∴m2﹣m﹣1=（m+）2﹣（m+）﹣1，解得m=，如图4中，设A1的横坐标为m，则B1的横坐标为m+，B1的纵坐标比例A1的纵坐标大1，∴m2﹣m﹣1+1=（m+）2﹣（m+）﹣1，解得m=，∴旋转180°时点A1的横坐标为或【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，旋转角是180°判断出A1O1∥x轴时，B1A1∥AB，解题时注意要分情况讨论．。