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九年级 二次函数单元测试卷附答案

九年级二次函数单元测试卷附答案一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,其中A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,直线y=kx+b1经过点A,C,连接CD.(1)求抛物线和直线AC的解析式:(2)若抛物线上存在一点P,使△ACP的面积是△ACD面积的2倍,求点P的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1,且A1好落在抛物线上?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2y x2x3=-++;3y x=-+;(2)(﹣1,0)或(4,﹣5);(3)存在;(1,2)和(1,﹣3)【解析】【分析】(1)将点A,B坐标代入抛物线解析式中,求出b,c得出抛物线的解析式,进而求出点C 的坐标,再将点A,C坐标代入直线AC的解析式中,即可得出结论;(2)利用抛物线的对称性得出BD=AD,进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等,即可得出结论;(3)分点Q在x轴上方和在x轴下方,构造全等三角形即可得出结论.【详解】解:(1)把A(3,0),B(﹣1,0)代入y=﹣x2+bc+c中,得93010b cb c-++=⎧⎨--+=⎩,∴23bc=⎧⎨=⎩,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,当x=0时,y=3,∴点C的坐标是(0,3),把A(3,0)和C(0,3)代入y=kx+b1中,得11303k bb+=⎧⎨=⎩,∴113kb=-⎧⎨=⎩∴直线AC的解析式为y=﹣x+3;(2)如图,连接BC,∵点D是抛物线与x轴的交点,∴AD=BD,∴S△ABC=2S△ACD,∵S△ACP=2S△ACD,∴S△ACP=S△ABC,此时,点P与点B重合,即:P(﹣1,0),过B点作PB∥AC交抛物线于点P,则直线BP的解析式为y=﹣x﹣1①,∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3②,联立①②解得,1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩,∴P(4,﹣5),∴即点P的坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5);(3)如图,①当点Q在x轴上方时,设AC与对称轴交点为Q',由(1)知,直线AC的解析式为y=﹣x+3,当x=1时,y=2,∴Q'坐标为(1,2),∵Q'D=AD=BD=2,∴∠Q'AB=∠Q'BA=45°,∴∠AQ'B=90°,∴点Q'为所求,②当点Q在x轴下方时,设点Q(1,m),过点A1'作A1'E⊥DQ于E,∴∠A1'EQ=∠QDA=90°,∴∠DAQ+∠AQD=90°,由旋转知,AQ=A1'Q,∠AQA1'=90°,∴∠AQD+∠A1'QE=90°,∴∠DAQ=∠A1'QE,∴△ADQ≌△QEA1'(AAS),∴AD =QE =2,DQ =A 1'E =﹣m , ∴点A 1'的坐标为(﹣m +1,m ﹣2), 代入y =﹣x 2+2x +3中, 解得,m =﹣3或m =2(舍), ∴Q 的坐标为(1,﹣3),∴点Q 的坐标为(1,2)和(1,﹣3).【点睛】本题考查的是二次函数的综合题,涉及解析式的求解,与三角形面积有关的问题,三角形“k ”字型全等,解题的关键是利用数形结合的思想,设点坐标并结合几何图形的性质列式求解.2.如图,抛物线()250y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ,经过B C 、两点的直线为y x n =+.(1)求抛物线的解析式.(2)点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 秒,求t 为何值时,PBE △的面积最大并求出最大值.(3)过点A 作AM BC ⊥于点M ,过抛物线上一动点N (不与点B C 、重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q .若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形,求点N 的横坐标.【答案】(1)265y x x =-+- (2)2t =;(3或4【解析】 【分析】(1)先确定A 、B 、C 三点的坐标,然后用待定系数法解答即可;(2)先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形,再求出点P 到BC 的高d为)454d BP sin t =⋅︒=-,则12PBESBE d =⨯⨯)()1244222t t t =⨯⨯-=-,再根据二次函数的性质即可确定最大值;(3)先求出454AM AB sin =⋅︒==N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,再说明四边形AMNQ是平行四边形,得到NQ AM ==;再过点N 作NH x ⊥轴,交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角形,求得4NH ===;设()2,65N m m m -+-,则(),0G m ,(),5H m m -,最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可. 【详解】解:()1因为直线y x n =+经过B C 、两点,且点B 在x 轴上,点C 在y 轴上, ∵()(),,00,B n C n -∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ,点(),0B n -,点()0,C n ,∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩,解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为265y x x =-+-.()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形, ∴45,ABC ∠=由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE 的距离()4542d BP sin t =⋅︒=- 所以12PBESBE d =⨯⨯)()1244222t t t t =⨯⨯-=-;∵二次函数()()4f t t =-的函数图象开口向下,零点为0和4, ∴0422t +==时,∴()()()2242max f t f ==⨯-=即2t =时,PBE △的面积最大,且最大值为()3由题意得4542AM AB sin =⋅︒=⨯= 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形,∴NQ AM ==过点N 作NH x ⊥轴,交x 轴于点,G 交BC 于点,H ∵:5BC l y x =-,∴NQH 为等腰直角三角形,∴4,NH ===设()2,65N m m m -+-, 则(),0G m ,(),5H m m -,①点N 在x 轴上方时,此时()()2655,NH m m m =-+---∴()()26554m m m -+---=,即()()140,m m --=解得1m =(舍,因为此时点N 与点A 重合)或4m =;②点N 在x 轴下方且5m >时,此时()()2565,NH m m m =---+- ∴()()25654m m m ---+-=,即2540,m m --=解得552m -=<(舍)或52m =③点N 在x 轴下方且1m <时,此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=,即2540,m m --=解得5412m -=或5412m +=(舍)综上所述,5414,2m m +==,5412m -=符合题意, 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形, 点N 的横坐标为541-或4或541+.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质,掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键3.如图1,抛物线2:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-,1C 与x 轴的正半轴交于点1A ,且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ,此时四边形111D OB A 恰为正方形;按上述类似方法,如图2,抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线()2222:C y a x x b =-,2C 与x 轴的正半轴交于点2A ,且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于点2B 、2D ,此时四边形222OB A D 也恰为正方形;按上述类似方法,如图3,可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ,请探究以下问题: (1)填空:1a = ,1b = ; (2)求出2C 与3C 的解析式;(3)按上述类似方法,可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D (1n ≥). ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式;②当x 取任意不为0的实数时,试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系,并说明理由.【答案】(1)11a =,12b =;(2)22132y x x =-,23126y x x =-;(3)①()2212123n n y x x n -=-≥⨯,②20182019y y >. 【解析】 【分析】(1)求与x 轴交点A 1坐标,根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标,代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值,写出D 1的坐标,代入y 1的解析式中可求得a 1的值; (2)求与x 轴交点A 2坐标,根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标,代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值,写出D 2的坐标,代入y 2的解析式中可求得a 2的值,写出抛物线C 2的解析式;再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式;(3)①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1,由B 1坐标(1,1)、B 2坐标(3,3)、B 3坐标(7,7)得B n 坐标(2n -1,2n -1),则b n =2(2n -1)=2n +1-2(n ≥1),写出抛物线C n 解析式.②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式,用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小. 【详解】解:(1)y 1=0时,a 1x (x -b 1)=0, x 1=0,x 2=b 1, ∴A 1(b 1,0),由正方形OB 1A 1D 1得:OA 1=B 1D 1=b 1, ∴B 1(12b ,12b ),D 1(12b ,12b-), ∵B 1在抛物线c 上,则12b =(12b )2, 解得:b 1=0(不符合题意),b 1=2, ∴D 1(1,-1),把D 1(1,-1)代入y 1=a 1x (x -b 1)中得:-1=-a 1,∴a 1=1, 故答案为1,2;(2)当20y =时,有()220a x x b -=, 解得2x b =或0x =,()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ,得2222B D OA b ==,222,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,222,22b b D ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 2B 在抛物线1C 上,2222222b b b ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭. 解得24b =或20b =(不合舍去),()22,2D ∴-2D 在抛物线2C 上,()22224a ∴-=-.解得212a =. 2C ∴的解析式是()2142y x x =-,即22122y x x =-. 同理,当30y =时,有()330a x x b -=, 解得3x b =,或0x =.()33,0A b ∴.由正方形333OB A D ,得3333B D OA b ==,333,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,333,22bb D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.3B 在抛物线2C 上,2333122222b b b⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭. 解得312b =或30b =(不合舍去),()36,6D ∴-3D 在抛物线3C 上,()366612a ∴-=-.解得316a =. 3C ∴的解析式是()31126y x x =-,即23126y x x =-.(3)解:①n C 的解析式是()2212123n n y x x n -=-≥⨯. ②由①可得2201820161223y x x =-⨯,2201920171223y x x =-⨯. 当0x ≠时,220182019201620171110233y y x >⎛⎫-=-⎪⎝⎭, 20182019y y ∴>.【点睛】本题是二次函数与方程、正方形的综合应用,将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.就此题而言:①求出抛物线与x 轴交点坐标⇔把y =0代入计算,把函数问题转化为方程问题;②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标;③根据规律之间得到解析式是关键.4.已知函数222222(0)114(0)22x ax a x y x ax a x ⎧-+-<⎪=⎨---+≥⎪⎩(a 为常数). (1)若点()1,2在此函数图象上,求a 的值. (2)当1a =-时,①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标.②若此函数图象与直线y m =有三个交点,求m 的取值范围.(3)已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -,点()3,0B ,点()3,2C ,点()2,2D -,若此函数图象与矩形ABCD 无交点,直接写出a 的取值范围.【答案】(1)1a =或3a =-;(2)①1x =--1x =+;②724m ≤<或21m -<<-;(3)3a <--或1a ≤<-或a >【解析】 【分析】(1)本题根据点(1,2)横坐标大于零,故将点代入对应解析式即可求得a 的取值. (2)①本题将1a =-代入解析式,分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标;②本题可求得分段函数具体解析式,继而求得顶点坐标,最后平移直线y m =观察其与图像交点,即可得到答案.(3)本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论,第一种为当2a <-,将2222y x ax a =-+-函数值与2比大小,将2211422y x ax a =---+与0比大小;第二种为当20a -≤<,2222y x ax a =-+-函数值与0比大小,且该函数与y 轴的交点和0比大小,2211422y x ax a =---+函数值与2比大小,且该函数与y 轴交点与2比大小;第三种为2222y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小,2211422y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小. 【详解】(1)将()1,2代入2211422y x ax a =---+中,得2112422a a =---+,解得1a =或3a =-.(2)当1a =-时,函数为2221,(0)17(0)22x x x y x x x ⎧+-<⎪=⎨-++≥⎪⎩,①令2210x x +-=,解得1x =--1x =- 令217022x x -++=,解得1x =+或1x =-综上,1x =--1x =+.②对于函数()2210y x x x =+-<,其图象开口向上,顶点为()1,2--; 对于函数217(0)22y x x x =-++≥,其图象开口向下,顶点为()1,4,与y 轴交于点70,2⎛⎫⎪⎝⎭. 综上,若此函数图象与直线y m =有三个交点,则需满足724m ≤<或21m -<<-. (3)2222y x ax a =-+-对称轴为x a =;2211422y x ax a =---+对称轴为x a =-. ①当2a <-时,若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点,需满足当2x =-时,2222y x ax a =-+-24+422a a =->+,解不等式得0a >或4a ,在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点,需满足当3x =时,2221111493422220y x ax a a a =---+=⨯--+<-,解得3a >或3a <--,综上可得:3a <--.②当20a -≤<时,若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点,需满足2x =-时,2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<;当0x =时,22222=20y x ax a a =-+--≤;得2a ≤<,在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点,需满足0x =时,2221114=42222y x ax a a ---+->=;3x =时,2221111493422222y x ax a a a =---+=⨯--+>-;求得21a -<<-; 综上:21a -≤<-.③当0a ≥时,若使函数图像与矩形ABCD 无交点,需满足0x =时,22222=22y x ax a a =-+--≥且2221114+40222y x ax a a =---+=-<;求解上述不等式并可得公共解集为:22a >.综上:若使得函数与矩形ABCD 无交点,则322a <--或21a -≤<-或22a >. 【点睛】本题考查二次函数综合,求解函数解析式常用待定系数法,函数含参数讨论时,往往需要分类讨论,分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律,继而将规律一般化求解题目.5.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ,并与y 轴交于点()0, 3B ,点A 是对称轴与x 轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限,连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示,在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)21233y x x =-++;(2)当92n =时,PBA S ∆最大值为818;(3)存在,Q 点坐标为((0,-或,理由见解析【解析】 【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式;(2)求三角形面积的最值,先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭求出关于n 的函数式,从而求S △PAB 的最大值. (3) 求点D 的坐标,设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形,利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍,联想到同弧所对的圆周角和圆心角,所以以A 为圆心,AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点,就存在Q 点. 【详解】解:()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得396a =+ 13a ∴=-∴抛物线()21363y x =--+,即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==,PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+-设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 22231991919813222222228PBAS n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当92n =时,PBA S ∆最大值为818()3存在,设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭过D 作对称轴的垂线,垂足为G ,则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴=在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-=)21336233t t t ⎛⎫-=--++ ⎪⎝⎭化简得(1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭13t ∴=(舍去),2333t =+∴点D(333+3,33AG GD ∴==连接AD ,在Rt ADG ∆中229276AD AG GD ++=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心,AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m +=∴1233,33m m ==-综上所述,Q 点坐标为()()0,330,33-或 故存在点Q ,且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式,根据已知条件选用顶点式较方便; (2)本题是三角形面积的最值问题,解决这个问题应该在分析图形的基础上,引出自变量,再根据图形的特征列出面积的计算公式,用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在,再根据已知条件求出这个点.6.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -. (1)若点(2,0)-也在该抛物线上,请用含a 的关系式表示b ;(2)若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足:当120x x <<时,()()12120x x y y --<;当120x x <<时,()()12120x x y y -->;若以原点O 为圆心,OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C (点B 在点C 左侧),且ABC ∆有一个内角为60,求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,若点P 与点O 关于点A 对称,且O 、M 、N 三点共线,求证:PA 平分MPN ∠.【答案】(1)21b a =-;(2)22y x =-;(3)见解析.【解析】 【分析】(1)把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式,然后整理函数式即可得到答案. (2)根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上,进而可得出0b =,由抛物线的对称性可得出ABC ∆为等腰三角形,结合其有一个60︒的内角可得出ABC ∆为等边三角形,设线段BC 与y 轴交于点D ,根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标,再利用待定系数法可求出a 值,此题得解;(3)由(1)的结论可得出点M的坐标为1(x,212)x-+、点N的坐标为2(x,222)x-+,由O、M、N三点共线可得出212xx=-,进而可得出点N及点'N的坐标,由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N在直线PM上,进而即可证出PA平分MPN∠.【详解】解:(1)把点()0,2-、()2,0-分别代入,得2420ca b c=-⎧⎨-+=⎩.所以21b a=-.(2),如图1,当120x x<<时,()()1212x x y y--<,12x x∴-<,12y y->,∴当0x<时,y随x的增大而减小;同理:当0x>时,y随x的增大而增大,∴抛物线的对称轴为y轴,开口向上,b∴=.OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C,ABC∴∆为等腰三角形,又ABC∆有一个内角为60︒,ABC∴∆为等边三角形.设线段BC与y轴交于点D,则BD CD=,且30OCD∠=︒,又2OB OC OA===,·303CD OC cos∴=︒=,·301OD OC sin=︒=.不妨设点C在y轴右侧,则点C的坐标为(3,1).点C在抛物线上,且2c=-,0b=,321a∴-=,1a∴=,∴抛物线的解析式为22y x=-.(3)证明:由(1)可知,点M的坐标为1(x,212)x-,点N的坐标为2(x,222)x-.如图2,直线OM的解析式为()11y k x k=≠.O、M、N三点共线,1x∴≠,2x≠,且22121222x xx x--=,121222x xx x∴-=-,()1212122x xx xx x-∴-=-,122x x∴=-,即212xx=-,∴点N的坐标为12(x-,2142)x-.设点N关于y轴的对称点为点'N,则点'N的坐标为12(x,2142)x-.点P是点O关于点A的对称点,24OP OA∴==,∴点P的坐标为()0,4-.设直线PM的解析式为24y k x=-,点M的坐标为1(x,212)x-,212124x k x ∴-=-,21212x k x +∴=,∴直线PM 的解析式为21124x y x x +=-.()222111221111224224·42x x x x x x x +-+-==-, ∴点'N 在直线PM 上,PA ∴平分MPN ∠. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次(二次)函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出a 、b 满足的关系式;(2)①利用等边三角形的性质找出点C 的坐标;②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N 在直线PM 上.7.如图,抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(−1,0),B(4,0),交y 轴于点C ; (1)求抛物线的解析式(用一般式表示);(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D 使S △ABC =23S △ABD ?若存在,请求出点D 坐标;若不存在,请说明理由;(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点E ,求BE 的长.【答案】(1)213222y x x =-++(2)存在,D (1,3)或(2,3)或(5,3-)(3)10 【解析】 【分析】(1)由A 、B 的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由条件可求得点D 到x 轴的距离,即可求得D 点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得D 点坐标;(3)由条件可证得BC ⊥AC ,设直线AC 和BE 交于点F ,过F 作FM ⊥x 轴于点M ,则可得BF=BC ,利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标,利用待定系数法可求得直线BE解析式,联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标,则可求得BE 的长. 【详解】解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A (-1,0),B (4,0),∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩,解得:1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴抛物线解析式为:213222y x x =-++; (2)由题意可知C (0,2),A (-1,0),B (4,0), ∴AB=5,OC=2,∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5, ∵S △ABC =23S △ABD ,∴S △ABD =315522⨯=,设D (x ,y ), ∴11155222AB y y •=⨯•=, 解得:3y =; 当3y =时,2132322y x x =-++=, 解得:1x =或2x =,∴点D 的坐标为:(1,3)或(2,3); 当3y =-时,2132322y x x =-++=-, 解得:5x =或2x =-(舍去), ∴点D 的坐标为:(5,-3);综合上述,点D 的坐标为:(1,3)或(2,3)或(5,-3); (3)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,∴AC ==BC == ∴222AC BC AB +=,∴△ABC 为直角三角形,即BC ⊥AC ,如图,设直线AC 与直线BE 交于点F ,过F 作FM ⊥x 轴于点M ,由题意可知∠FBC=45°, ∴∠CFB=45°, ∴25CF BC == ∴AO AC OM CF =,即1525OM = 解得:2OM =, ∴OC AC FM AF =,即2535FM = 解得:6FM =,∴点F 为(2,6),且B 为(4,0), 设直线BE 解析式为y=kx+m ,则2640k m k m +=⎧⎨+=⎩,解得312k m =-⎧⎨=⎩, ∴直线BE 解析式为:312y x =-+;联立直线BE 和抛物线解析式可得:231213222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩, 解得:40x y =⎧⎨=⎩或53x y =⎧⎨=-⎩,∴点E 坐标为:(5,3)-,∴22(54)(3)10BE =-+-= 【点睛】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)中求得D 点的纵坐标是解题的关键,在(3)中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,特别是最后一问,有一定的难度.8.如图,抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,点D 为抛物线的顶点.点A 坐标的为3,0,点C 的坐标为()0,3.(Ⅰ)求抛物线的解析式;(Ⅱ)点M 为线段AB 上一点(点M 不与点A 、B 重合),过点M 作i 轴的垂线,与直线AC 交于点E ,与抛物线交于点P ,过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ,过点Q 作QN x ⊥轴于点N .若点P 在点Q 左边,当矩形PMNQ 的周长最大时,求AEM △的面积;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当矩形PMNQ 的周长最大时,连接DQ ,过抛物线上一点F 作y 轴的平行线,与直线AC 交于点G (点G 在点F 的上方).若=22FG DQ ,求点F 的坐标.【答案】(Ⅰ)223y x x =--+;(Ⅱ)12;(Ⅲ)()4,5F --或()1,0 【解析】 【分析】(Ⅰ)将点A ,点C 坐标代入解析式可求解;(Ⅱ)设M (x ,0),P (x ,-x 2-2x+3),利用对称性可求点Q (-2-x ,-x 2-2x+3),可求MP=-x 2-2x+3,PQ=-2-x-x=-2-2x ,则可用x 表示矩形PMNQ 的周长,由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时,点P 的坐标,即可求点E ,点M 的坐标,由三角形面积公式可求解;(Ⅲ)先求出点D 坐标,即可求2FG=4,设F (m ,-m 2-2m+3),则G (m ,m+3),用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解. 【详解】解:(Ⅰ)依题意()()2330{3b c c --+⨯-+==解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+(Ⅱ)2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ,()2,23P x x x --+,其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+,222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时,d 取最大值,此时,(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则303k b b -+=⎧⎨=⎩,解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3yx 将2x =-代入3yx ,得1y = ∴(2,1)E -,∴1EM = ∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当矩形PMNQ 的周长最大时,2x =-此时点()0,3Q ,与点C 重合,∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ,则1DK =,4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形,2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+,则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=,解得14m =-,21m =当4m =-时,2235m m --+=-当1m =时,2230m m --+=.∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的性质,矩形的性质,等腰直角三角形的性质等,利用参数表示线段的长度是本题的关键.9.定义:函数l 与l '的图象关于y 轴对称,点(),0P t 是x 轴上一点,将函数l '的图象位于直线x t =左侧的部分,以x 轴为对称轴翻折,得到新的函数w 的图象,我们称函数w 是函数l 的对称折函数,函数w 的图象记作1F ,函数l 的图象位于直线x t =上以及右侧的部分记作2F ,图象1F 和2F 合起来记作图象F .例如:如图,函数l 的解析式为1y x =+,当1t =时,它的对称折函数w 的解析式为()11y x x =-<.(1)函数l 的解析式为21y x =-,当2t =-时,它的对称折函数w 的解析式为_______; (2)函数l 的解析式为1²12y x x =--,当42x -≤≤且0t =时,求图象F 上点的纵坐标的最大值和最小值;(3)函数l 的解析式为()2230y ax ax a a =--≠.若1a =,直线1y t =-与图象F 有两个公共点,求t 的取值范围.【答案】(1)()212y x x =+<-;(2)F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩;图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =,最小值为3y =-;(3)当3t =-,1t <≤,5t <<时,直线1y t =-与图象F 有两个公共点. 【解析】【分析】(1)根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可;(2)先根据题意确定F 的解析式,然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可;(3)先求出当a=1时图像F 的解析式,然后分14t -=-、点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上和点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上三种情况解答,最后根据图像即可解答.【详解】解:(1)()212y x x =+<-(2)F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩当4x =-时,3y =-,当1x =-时,32y =, 当1x =时,32y =-,当2x =时,1y =, ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =,最小值为3y =-. (3)当1a =时,图象F 的解析式为2223()23()y x x x t y x x x t ⎧=--≥⎨=--+<⎩∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4; a :当14t -=-时,3t =-,∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点;b :当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时,2123t t t -=--,解得1317t -=,2317t += c :当点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上时,2123t t t -=--+,解得34t =-(舍),41t =14t -=,∴55t =∴当3171t -<≤或3175t +<<时,直线1y t =-与图象F 有两个公共点; 综上所述:当3t =-,31712t -<≤,3175t +<<时,直线1y t =-与图象F 有两个公共点.【点睛】 本题属于二次函数综合题,考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识,弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键.10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -,交y 轴于点C ,且经过点(6,6)D --,连接,AD BD .(1)求该抛物线的函数关系式;(2)△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似,请求出此时点M 、点N 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合),过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ,以PQ 为直径作⊙E ,则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 .(直接写出答案)【答案】(1)2113442y x x =--+;(2)点M (0,32)、点N (34,0)或点M (0,32),N (-3,0)或点M (-1,32)、点N (-3,0)或N (14-,0)、M (-1,32);(3)QH 有最大值,当x=2-时,其最大值为125. 【解析】【分析】(1)用交点式函数表达式得:y=a (x-2)(x+3),将点D 坐标代入上式即可求解; (2)分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ,两种大情况、四种小情况,分别求解即可; (3)根据题意,利用二次函数的性质和三角函数,QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+,即可求解. 【详解】解:(1)用交点式函数表达式得:y=a (x-2)(x+3),将点D 坐标代入上式并解得:14a =-, 故函数的表达式为:2113442y x x =--+…①, 则点C (0,32);(2)由题意得:AB=5,AD=10,BD=,①∠MAN=∠ABD 时,(Ⅰ)当△ANM ∽△ABD 时,直线AD 所在直线的k 值为34,则直线AM 表达式中的k 值为34-, 则直线AM 的表达式为:3(2)4y x =--,故点M (0,32), AD AB AM AN =,则AN=54,则点N (34,0); (Ⅱ)当△AMN ∽△ABD 时,同理可得:点N (-3,0),点M (0,32), 故点M (0,32)、点N (34,0)或点M (0,32),N (-3,0); ②∠MAN=∠BDA 时,(Ⅰ)△ABD ∽△NMA 时, ∵AD ∥MN ,则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12,AM :y=12-(x-2),则点M (-1,32)、点N (-3,0); (Ⅱ)当△ABD ∽△MNA 时, AD BD AM AN =,即3535=, 解得:AN=94, 故点N (14-,0)、M (-1,32); 故:点M (-1,32)、点N (-3,0)或N (14-,0)、M (-1,32); 综上,点M (0,32)、点N (34,0)或点M (0,32),N (-3,0)或点M (-1,32)、点N (-3,0)或N (14-,0)、M (-1,32); (3)如图所示,连接PH ,由题意得:tan ∠PQH=43,则cos ∠PQH=35, 则直线AD 的表达式为:y=3342x -, 设点P (x ,2113442x x --+),则点Q (x ,3342x -), 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++, ∵3020-<,故QH有最大值,当x=2时,其最大值为125.【点睛】本题考查的是二次函数综合应用,涉及到一次函数、圆的基本知识,解直角三角形,相似三角形的判定和性质,其中(2)需要分类求解共四种情况,避免遗漏.。

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