黄冈师范学院2011年“专升本”考试试题
科目：数学与应用数学（专业综合）
注意：答案一律书写在答题纸上，在试卷上答题一律无效
第一部分 数学分析
一、填空题（每空3分，共30分）
1、函数1
()f x x x
=+
的间断点是 2、设α为常数，且10
lim(1),x
x x e α→-=则α= 3、若 ，则称{}n a 为无穷小数列。
4、任何可积函数 有界，有界函数 可积。
（填“一定”或“不一定”）
5、幂级数22n
n x n ∑的收敛半径是 。
6、级数2
2
n n ∑是 的。
（填“收敛”或“发散”）
7、若(,)f x y 在点00(,)x y 存在重极限00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →与累次极限
00
00,lim
(,)x x y y f x y →→，则
他们
8、若'()()F x f x =，则()d
f x dx ⎰=
9、设{}
x x 为区间（0,1）内的有理数，则sup S =
二、计算题（1-3题每小题5分，共40分）
1、求下列极限
（1）01lim sin x x e x
→-
（2）0
sin lim
x
x tdt x
→⎰ （3
）x n
π
2、（1）求导数ln(ln )y x =
（2）设ln(),z u v =+而,,u xy v x y ==+求z x
∂∂ 3、求下列各式的积分 （1）ln xdx ⎰
（2
）
1
⎰
（3）计算
2
,D
xy d σ⎰⎰
其中D 由抛物线22y x =与直线1
2
x =所围成的区域。
三、证明题（1-2题每题8分，3-4题每题7分，共30分）
1、叙述定义 0
lim ()x x f x A →=，并证明224
lim
42x x x →-=- 2、证明{}n a
收敛并求其极限，其中12n n a a a =
==L 个根号
3、证明不等式 3tan ,(0,)33
x x x x π
>-∈ 4、证明曲线积分()()()L
y z dx z x dy x y dz +++++⎰与路径无关
第二部分 高等代数
一、填空题（每小题4分，共32分）
1、设多项式4
3
2
()61274f x x x x x =-+--，若()f x 按1x -的方幂展开，则其表达式 为
2、若n 级行列式cos 1000121000120
12cos n cos D cos α
ααα
=
L L L M M M M M L
，则n D =
3、当λ为 ,线性方程组123123123(21)(1)1(2)(1)(2)(21)(1)(21)x x x x x x x x x λλλλλλλλλλλλ
+-++=-⎧⎪
-+-+-=⎨⎪-+-+-=⎩
有唯一解？
4、设矩阵10
000.5 1.5,01 2.5A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
则矩阵A 的伴随矩阵A *的逆()1
A -*=
5、若二次型222
123123121323(,,)44224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+是正定的则t 应满足
6、数域P 上的线性空间n n P ⨯的维数 其一组基为
7、已知3P 的线性变换3
(,,)(2,4,3),(,,)a b c b c a b a a b c P σ=+-∀∈，求σ在基
123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ααα===下的矩阵为
8、在4
P 中，(1,2,2,3),(3,1,5,1)αβ==，若内积按数量积的形式来定义，则,αβ之间 的夹角为
二．选择题（每小题4分，共16分）
1、对任意实数,,a b c ，线性无关的向量组是
A ．(,1,2),(2,,3),(0,0,0)a b B. (,1,1),(1,,3),(2,3,),(,0,)b a c a c C. (1,,1,1),(1,,1,1),(1,,0,0)a b c D. (1,1,1,),(2,2,2,),(0,0,0,)a b c 2、设1
1
,,,A B A B A B --++均为n 级可逆矩阵，则1
11
()
A B ---+=
A .11
A B --+ B. A+B C. 1
()A A B B -+ D.1
()A B -+
3、与矩阵A=100012022⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭合同的矩阵是
A ．100010000⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
B.
100010001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
C . 100010001⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
D . 100010000-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
4、在n
R 中，设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==L L ，则如下定义了二元实函数： （1）()11,n n i j i j a b αβ==⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑ （2）()1,n i i i a b αβ==∑ （3）()1,n
i i i ia b αβ==∑
对于能构成内积说法正确的为
A.仅有（2）与（3）是 B 仅有（2）是 C 仅有（1）是 D 仅有（3）是
三、计算题（每题10分，共40分）
1、求下面的齐次线性方程组的一个基础解析：
123451234523451
234503230
226054330
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧++++=⎪
+++-=⎪⎨
+++=⎪⎪+++-=⎩ 2、已知矩阵11111111,11111111A ⎛⎫
⎪--
⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭
求1A - 3、设V 为复数域上的线性空间，σ为V 上的一个线性变换，若σ在某组下的矩阵
001010100A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，请求出线性变换σ的特征值与特征向量。
4、设(1,2,3,4,5)i i ε=是5维欧氏空间V 的一组标准正交基，1123(,,)V L ααα=，其中
11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的一组标准正交基。
生活
充满了色彩，但是蒙着一层雾需要你的拨开
四、证明题（一题，共12分）
1、设1V 与2V 分别是齐次方程组120n x x x +++=L 与121n n x x x x -====L 的解空间，
证明：12n
P V V =⊕。