2.常用函数的拉氏变换 (1)例1.求阶跃函数f(t)=A· 1(t)的拉氏变换。
1 单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
0
数学知识回顾
A F ( s) Ae dt e s
st 0
st
A s
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
F ( s ) (t )e st dt lim

sn
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 n 函数除以 s 。
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（4）终值定理
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s 0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 证：由微分定理，有
L[ f (t )] f (t )e st dt sF ( s) f (0)
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f ( t ) 注：若 t 时f(t)极限 lim 不存在， t 则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦 函数就不能应用终值定理。 (5)初值定理： lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
证明方法同上。只是要将 s 取极限。 (6)位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 s 迟 ，则其象函数应乘以 e
st st 0 0


st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)

L[ f (t )] e
s
F ( s)
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b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a， at 原函数应乘以 e 即： at L[e f (t )] F ( s a)
(7)时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍， 则象函数及其自变量都增加（或减小）同 样倍数。即：L[ f ( t )] aF ( as) a 证： L[ f ( t )] f ( t )e st dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
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证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
0
0

0

1
e st dt lim
0
1 st e s

0
lim
0
1 1 s 2s2 s (1 e ) lim (1 1 ) 1 s 1! 2! 0 s
1
（3）例3.求指数函数f(t)=
0
0 st 0
等式两边对s趋向于0取极限
st 左边 lim f ( t ) e dt lim f ( t ) e dt s 0 s 0
f (t ) dt f (t ) 0 lim f (t ) f (0) t
0

右边 lim [ sF ( s ) f (0)] lim sF ( s ) f (0) s 0 s 0 lim f (t ) lim sF ( s ) t s 0
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f n1 (0)
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(3)积分性质
若 L[ f (t )] F ( s )
1
则
式中 f
F ( s) f (0) L[ f (t )dt] s s
1
(0) 为积分 f (t )dt 当t=0时的值。 证：设 h(t ) f (t )dt 则有 h(t ) f (t )h(t )] h(0)
1 1 1 1 L[h(t )] L[h(t )] h(0) L[ f (t )] h(0) s s s s 1 1 1 F ( s ) f ( 0) s s
e
at
的拉氏变换

F ( s) e e dt e
at st 0 0


( a s ) t
1 ( s a ) t 1 dt e sa sa 0
F(s)
w (s 2 w2 )
几个重要的拉氏变换
f(t) δ (t) F(s) 1 f(t) sinwt
a

0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0

sa
ad aF (as)
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(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) F ( s)
0 1 2 1 2
5
即：
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为
1 1 L[ f (t ) dt ] 2 F ( s ) 2 f s s
2 ( 1)
F ( s) f (0) L[ f (t )dt] s s
1
1 (0) f s
( 2 )
(0)
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则有 L[ f (t )dt n ] 1 F ( s)
1(t)
t
1/s
coswt
2
s
(s 2 w2 )
1s
at
e sin wt
e cos wt
at
at
e
1/(s+a)
w ( s a) 2 w 2 sa ( s a) 2 w 2
2

3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]