x 10 ,10 ,10 , ,10
0 1 2
n
对x取对数变换，即令 y lg x ，则有为
x 10 0 ,10 1 ,10 2 , ,10 n
对数变换
y 0 ,1 ,2 , , n
• 利用对数变换，我们可以将正数的乘、除运算变 为对数的加、减运算。
•例：
lg ab lg a lg b
解：由拉氏变换定义式有：
st
(t 0 ) (t 0 )
A
0
st
f(t)
t
st 0
A F ( s ) f ( t )e dt Ae dt e d ( st ) s A A A e (0 1) s s s
0 0 st 0
氏变换，或称为象函数；
• Laplace变换为单值变换，即 f t 和F ( s ) 有一一
对应的关系。
二、常用时间函数的拉氏变换
(1) (2) (3) (4) (5) 指数函数 阶跃函数 斜坡函数 正弦函数 脉冲函数
X (s)
0 例1、求指数函数 f ( t ) at e
(t 0 ) (t 0 )
显然，直接求取并不明智。由尤拉定理有：
1 j t 1 j t j t j t sin t e e ,cos t e e 2j 2
1 1 1 1 s j s j L sin t 2 2 j s j s j 2 j s j s j s 2 1 1 1 1 s j s j s L cos t 2 2 s j s j 2 s j s j s 2
d L f t sF s f 0 dt
式中，f(0)是f(t)在t=0时刻的初始值。 二阶导：
d 2 f (t ) 2 L[ ] s F ( s) sf (0) f (0) 2 dt ……
dn n L n f t s F s s n1 f 0 sf ( n2) 0 f ( n1) 0 dt
n
j t a e n

——f(t)的傅氏变换
（2-6）
——F(ω)的傅氏反变换
数学工具 拉普拉氏变换及其应用
（Laplace）
1、拉氏变换的定义 2、常用时间函数的拉氏变换 3、拉氏变换的基本性质 4、拉氏反变换 5、用拉氏变换法求解微分方程

变换是数学中经常采用的技巧，比如，在初等数 学中的对数变换，已知
a lg lg a lg b b

拉普拉氏变换简称拉氏变换，它是一种函数变 换，可以将时域内的实变函数变换为一个以s变 量的复变函数。
拉氏变换
j
f(t )

F( s )

s

复变量：s j 其中： 和 为实变量，
复变量和复变函数

j 为虚单位，有 j 2 1

复变函数：F s F s 的函数值一般也是复数 自变量s为复变量；
一、拉氏变换的定义
• 设 f t 是分段连续的时间函数，当t<0时，有
st ，若无穷积分 f t 0 0 f ( t )e dt 收敛，则可得到 一个以s为变量的新函数，记为 F ( s ) ，即：
F ( s ) f ( t )e dt
上式称为Laplace变换的定义式，简记为：
的拉氏变换 F ( s ) 。
变量置换法
解：由拉氏变换的定义式有：
F ( s ) f ( t )e dt e e dt e
0

st
0
at st
0
( a s )t
1 lim e ( a s )t lim e ( a s )t t 0 a s t
n阶导：
当
f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 ) 0
即零初始条件下，有：
df ( t ) L[ ] sF ( s ) dt
d2 f (t ) 2 L[ ] s F( s ) 2 dt
……
dn f (t ) n L[ ] s F( s ) n dt
初始条件为零时，有：
F( s ) L [ f ( t )( dt ) ] n s
n
4、延迟定理 （时域平移定理）
时域函数平移：
f ( t 0 )
0 s
f(t )
f(t )
f ( t 0 )
L [ f ( t 0 )] e
t
F( s )
f(t)的拉氏变换
3、积分定理
f(t)先积分再取拉氏变换，由积分定理有：
F ( s) f ( 1) (0) L[ f (t )dt ] s s 1 f 式中， 0 f t dt在0时刻的初始值。
( 1) ( 2 ) F ( s ) f ( 0 ) f (0) 2 L[ f (t )( dt ) ] 2 2 s s s ……
L [ ( t )] 1
表2-3 常用函数的Laplace变换对照表
三、拉氏变换的基本定理
1、性线定理
（1）比例性
L[ af ( t )] aF( s )
（2）叠加性
L[ f1 ( t ) f 2 ( t )] F1 ( s ) F2 ( s )
2、微分定理
原函数的导数的拉氏变换为： 一阶导：
at
f(t)与衰减指数相乘后时行拉氏变换，相当于复域内 向左平移，即将F(s)中的所有s用(s+a)替代
6、终值定理

lim f t 假定f(t)和df(t)/dt都可以进行拉氏变换， t 存在，并且F(s)的无右半s平面的极点，则有：
lim f t lim sF s
f(t )
式中，
n
a e
n

jnt
1 T2 jnt an f ( t )e dt T T 2

注意，对于非周期函数，不能直接用傅氏级数展 开式。
d ，将式（2-7）代入式（2-6）可得： 2. 傅里叶积分和傅里叶变换 当T 时，

f ( t ) ，可将它视为周期T趋于无穷 对于非周期函数 1 jt e jt d f ( t ) f ( t ) e dt 2 T 趋于零的周期函数。 大，角频率 0 2 设两个相邻的谐波频率之差为 ，则
式中，若令 ( n 1 )0 n0 0

——非周期函数的傅氏积分
jt F ( ) f ( t ) e dt 令 n0 则非周期函数的傅氏级数可表示为：
则， f ( t )
1 jt f ( t ) F ( ) e dT 2 0 T 2 j t jt dt （2-7） 2 an f ( t ) e f ( t ) e dt 2 T 2 2 T 2
③ 积分

T 2
T 2
f ( t式中 )dt 存在， 2 T 称为角频率
则 f ( t )可展开为如下的傅氏级数：
1 f ( t ) a0 ( an cos nt bn sin nt ) 2 n 1
——周期函数的傅氏级数是由正弦和余弦项组成的三角级数。

周期函数 f ( t )的傅氏级数写为复数形式（或指数 形式）为：
L [ t ] te
0
st
1 dt 2 s
求斜坡函数的拉氏变换
由 可得 于是：
( uv ) uv uv
f ( t )dt f ( t ) c t t e dt e c
st st 0 0
( te

st
st st st st ) e tde e ste
注意：为使积分收敛，这里假设(a-s)的实部小于零
e at , t 0 同理可得指数函数 f ( t ) 的拉氏变换 F ( s ) 0 , t 0
F ( s ) L f t f ( t )e
0
st
dt
at st e e dt 0 0

s a t e dt 0
1 s a t e sa
1 sa
在复平面上 有一个极点
注意：为使积分收敛，这里假设(s+a)的实部大于零，但 求出F(s)后，除F(s)的极点外，在整个s平面上均成立
——复变函数的解析连续性
0 例2、 求阶跃函数 f ( t ) A 的拉氏变换。
0
0
时域内的平移相当于复域中乘以一个衰减指数 e s
0
5. 衰减定理（复域平移定理）
f t 与
e
at
相乘
at
取拉氏变换，由衰减定理有：
L f t e F s a
例6 、 L
e sin t s a 2 2
0
st
F ( s ) L [ f ( t )]
其中：
s j ，为复变量
F ( s ) f ( t )e dt
F ( s ) L [ f ( t )]
•
f t
0
st
为需要变换的函数，称为原函数；
• F ( s )为变换后所得的函数，称为 f t 的拉普拉
st
0 ( te )dt e dt s te dt