l
m
β
α
α
b a
立体几何的八大定理
一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行
行，则这条
文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平直线与平面平行.
符号语言：//a b a b αα⊄⎫
⎪
⊂⎬⎪⎭
⇒//a α
关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行
文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．
这条直线的平面和这个平面行.
相交．．，那么这条直线就和交线．．
平符号语言：//l l m α
βαβ⎫
⎪
⊂⎬⎪⋂=⎭
⇒//l m
关键点：需要．．．．．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．，接着找交线。

．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行
文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行．
符号语言：//a b a b A a b αα
αβββ
⊂⎫⎪⊂⎪⎪
=
⇒⎬⎪⎪⎪⎭
∥∥ 关键点：．．．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．平行。

．．．
n
m
A
α
a
四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三个．．．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:
////a a b b αβαγβγ⎫
⎪
⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭
关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面．．．．．都相交，则交线平行．．．．．．．．．
文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.
符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直．．．．．．．．．．．．．．．线
就
行．
．
．
五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直
文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面.
符号语言：,a m a n a m n A m n ααα⊥⎫
⎪⊥⎪
⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭
关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．直．
六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直
文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线.
符号语言：l l a a αα⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直
B
A l β
αa
β
α
文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面
经过这条直线，那么这两个平面垂直） 符号表示：
a a ααββ⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直
文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．
的直线垂直于另一个平面.
符号语言：l AB AB AB l
αβαββα⊥⎫
⎪=⎪
⇒⊥⎬⊂⎪
⎪⊥⎭
关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．直的．．
线。

．．
一、线线、线面和面面的位置关系
两直线位置关系
a b
a b
a b
⎧⎧
⎨
⎪
⎨⎩
⎪
⎩
=A
共面
//
异面-----与异面
线面位置关系
//
l
l A
l l
l
α
α
αα
α
⊂
⎧
⎪
⎧⎧
⎪
=
⎪
⎨⎨
⊄⊥
⎨⎩
⎪
⎪
⎪
⎩
⎩
斜交
垂直:
面面的位置关系
a
αβ
αβ
αβ
⎧
⎪
⎧
⎨
⎨
⎪⊥
⎩
⎩
平行：//
斜交：=
相交
垂直：
二、有关平行的证明
线
∥
线
⑴
//
//
//
a
c
a
c
b
b⎫
⇒
⎬
⎭
线∥线⇒线∥
线
（都是直线）
⑵
//
//
a
a a b
b
α
β
αβ
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⊂⇒
=
线∥面⇒线∥
线
（相交平面）
⑶
//
//
a a b
b
αβ
αγ
βγ
=⇒
=
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
面∥面⇒线∥
线
（平行平面）
⑷//
a
a b
b
α
α
⎫
⎬⇒
⎭
⊥
⊥
同垂直于一个平
面
⇒线∥线
（线面垂直）
线
∥
面
⑴
//
//
a
b a
a b
α
αα
⎫
⎪
⎭
⇒
⎪
⎬
⊄
⊂
线∥线⇒线∥
面
⑵////
a
a
αβ
β
α
⎫
⇒
⎬
⎭
⊂
面∥面⇒线∥
面
面∥面
,
//
//,//
a b
a b O
a b
αα
αβ
ββ
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⊂⊂
=⇒
线∥面⇒面∥面
线
⊥
线
//
a c
b c
a b
⊥⎫
⇒⊥
⎬
⎭
线⊥线⇒线⊥线
a
a b
b
α
α
⊥⎫
⇒⊥
⎬
⊂⎭
线⊥面⇒线⊥线
线
⊥
面
,
,
l a l b
a b P l
a b
α
αα
⊥⊥⎫
⎪
=⇒⊥
⎬
⎪
⊂⊂⎭
线⊥线⇒线⊥面
l
a
a
a l
αβ
αβ
β
α
⊥⎫
⎪
=⎪
⇒⊥
⎬
⊂⎪
⎪
⊥⎭
面⊥面⇒线⊥面
面
⊥
面
a
a
β
αβ
α
⊥⎫
⇒⊥
⎬
⊂⎭
线⊥面⇒面⊥面
四、三种角的范围
异面直线所成角
(]
0,90
θ∈︒︒
直线与平面所成角
[0,90]
PAO
∠∈︒︒
二面角
[0,180]
AOB
∠∈︒︒
五、三角形的四心六、平面几何中结论
外心：中垂线的交点
外接圆的圆心
中位线定理——中位线平行且等于底边的一半内心：角平分线的交点
内切圆的圆心
线段对应成比例⇔线线平行
重心：中线的交点
（2比1）
两组对边平行或一组对边平行且相等的四边形
为平行四边形。