初一数学竞赛系列训练５（附答案）
一、选择题
1、若代数式2y 2+3y +7的值是2，则代数式4y 2+6y -9的值是( )
A 、1
B 、-19
C 、-9
D 、9
2、在代数式xy 2中，x 与 y 的值各减少25%，则代数式的值( )
A 、减少50%
B 、减少75%
C 、减少其值的6437
D 、减少其值的64
27 3、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是( )
A 、26
B 、28
C 、36
D 、38
4、在式子4321+++++++x x x x 中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
5、实数a 、b 、c 满足a +b +c ＝0，且abc ＝1则c
b a 111++的值( ) A 、是整数 B 、是零 C 、是负数 D 、正、负不定
6、如果11111=++=++z
y x z y x ，那么下列说法正确的是( ) A 、x 、y 、z 中至少有一个为1 B 、x 、y 、z 都等于1
C 、x 、y 、z 都不等于1
D 、以上说法都不对
二、填空题
7、某人上山、下山的路程都是S ，上山速度为v ，下山速度为u ，则此人上、下山的平均速度是 ．
8、已知032)-(2=-+y x ，则代数式x x +y y -x y -y x 的值是 ．
9、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m ＝a 2+b 2，n ＝c 2+d 2，mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是 ．
10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有 y
x y x y x -+=* 则()()31*191211**＝ ．
11、如果2x 2-3x -1与a (x -1)2+b (x -1)+c 是同一个多项式的不同形式，那么=+c
b a ． 12、如果(x -a ) (x -4)-1能够分解成两个多项式x +b 、x +
c 的乘积，且b 、c 均为整数，则a ＝ ．
三、解答题
13、已知()5
544332210512x a x a x a x a x a a x +++++=-， 求a 1+a 2+a 3+a 4+a 5．
14、a 、b 、c 互不相等，化简()()()()()()
b c a c b a c a b c b a c b c a b a c b a ----+----+----222 15、已知x -2y ＝2，求8
463---+y x y x 的值． 16、若abc ＝1，求1
11++++++++c ca c b bc b a ab a 的值 17、已知a +b +c ＝0，求3111111+⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a c a c b c b a 的值． 18、已知y
xy x y xy x y x ---+=-2232311，求的值 19、已知ax +by ＝7，ax 2+by 2＝49，ax 3+by 3＝133，ax 4+by 4＝406.
求1999(x +y )+6xy ()b a +-2
17的值 20、一个四位数，这个四位数与它的各项数字之和是1999，求这个四位数．
初一数学竞赛系列训练(5)答案
1、∵2y 2+3y +7＝2 ∴2y 2+3y ＝ -5 ∴4y 2+6y -9＝2(2y 2+3y )-9＝2⨯(-5)-9＝ -19 故选B
2、∵ x (1-25%)[y (1-25%)]2＝22
64274343xy y x ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅ ∴代数式的值减少1-64
376427= 故选C 3、 设两位数为10x +y ，则10x +y ＝3 (x +y )-2 得7x ＝2 (y -1)
∵x 、y 只能取0，1，2，…，9(x ≠0) 由上式知x 只能取偶数
∴x ＝2、4、6、8，经验证得 x ＝2,y ＝8 ∴这个两位数为28
4、式子4321+++++++x x x x 的值的几何意义是数轴上的点到定点-1、-2、-3、-4的距离和，由此得最小值为4 选D
5、∵abc ＝1 ∴c b a 111++＝ab ac bc c
abc b abc a abc ++=++ 又∵a +b +c ＝0 两边平方得a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝0 ∴ab +bc +ca ＝()
22221c b a ++-<0，即c b a 111++<0 ∴选C 6、由条件得xy +y z+z x ＝xy z ，x +y +z-1＝0, ∴(x -1)(y -1)(z-1)＝0
即x 、y 、z 中至少有一个为1，故选A
7、u
S v +S 2S 8、∵032)-(2=-+y x ，∴x ＝2且y ＝3， ∴x x +y y -x y -y x ＝22+33-23-32＝4+27-8-9＝14
9、mn ＝(a 2+b 2) (c 2+d 2)＝a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2＝ a 2c 2+2abcd +b 2d 2+a 2d 2-2abcd +b 2c 2 ＝(ac +bd )2+(ad -bc )2
10、()()31*191211**＝()()()1131636252362523625233119311912111211=⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*-=-+*-+ 11、a (x -1)2+b (x -1)+c ＝ax 2+(b -2a )x +a -b +c ，∴由题意得 a ＝2, b -2a ＝ -3, a -b +c ＝ -1 从而解得 a ＝2，b ＝1，c ＝ -2 ∴=+c b a 2
3- 12、由题意，(x -a ) (x -4)-1＝(x +b ) (x +c )，则x 2 –(a +4)x +4a -1＝x 2+(b +c )x +bc
∴b +c ＝ –(a +4) ① bc ＝4a -1 ② 由①得 a ＝ - (b +c )-4 代入②得
bc ＝ -4(b +c )-17 ∴ bc +4b +4c +17＝0 ∴(b +4)(c +4)＝-1
∵ b 、c 均为整数 ∴b +4＝1, c +4＝-1或b +4＝-1, c +4＝1
从而b ＝-3,c ＝-5或b ＝-5,c ＝-3 代入①得 a ＝4
13、在()5
544332210512x a x a x a x a x a a x +++++=-中 令x ＝1 得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝1
令x ＝0得a 0＝ -1
∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝2
14、原式＝0111111=-+-+-+-+-+-b
c a c a b c b c a b a 15、由x -2y ＝2得x ＝2y +2，将x ＝2y +2代入8
463---+y x y x 得 原式＝()()177********==--+-++y
y y y y y 16∵abc ＝1 ∴
1
11++++++++c ca c b bc b a ab a ＝b
bc bca bc b bc b abc a ab a ++++++++1 ＝11
11111=++++=++++++++b bc bc b b bc bc b bc b bc b 17、原式＝0=++++++++=++++++++c c b a b c b a a c b a c c b b a a b c a c a b c b c a b a 18、()()5323332211311212123222322232=--+⨯-=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---+=÷--÷-+=---+y x y x x y x y xy y xy x xy y xy x y xy x y xy x 19、∵(ax +by ) (x +y )＝( ax 2+by 2)+xy (a +b )
(ax 2+by 2) (x +y )＝( ax 3+by 3)+xy (ax +by )
(ax 3+by 3) (x +y )＝( ax 4+by 4)+ xy (ax 2+by 2)
∴由已知条件得，7 (x +y )＝49+ xy (a +b ) ①
49 (x +y )＝133+7 xy
② 133 (x +y )＝406+49 xy ③
由②、③解得x +y ＝2.5，xy ＝ -1.5，代入①得 a +b ＝21
∴原式＝1999⨯2.5+6⨯(-1.5)
217
21⨯
-＝4997.5-9-178.5＝4810
20、设这个数为abcd，由题意得1000a+100b+10c+d+a+b+c+d＝1999
即1001a+101b+11c+2d＝1999
(1) 显然a＝1，否则，1001a>2000 ∴101b+11c+2d＝998
(2)因为11c+2d的最大值为99+18＝117，故101b≥998-117＝881，有b＝9∴11c+2d＝89
(3)由于0≤2d≤18，则71≤11c≤89，故c＝7或8
当c＝7时，11c+2d＝77+2 d＝89，有d＝6
当c＝8时，11c+2d＝88+2 d＝89，有d＝0.5 (舍去)
∴这个四位数为1976。