• 课后作业
• 作业1：嘉定某只股票的年预期收益率为 16%，年波动率为30%。当股票的当前价格 为50美元时，问接下来一天
a) 该股票的预期价格是多少？
b) 该股票价格低于45美元的概率是多少？
• 作业2：令W(t)是维纳过程，利用伊藤引 理求d(W2(t))，d(tW2(t))和d(eW(t))
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 股价过程描述
• 描述股价的过程
– 描述股票价格的一个关键特性：投资者对股票的 预期百分比回报与股价独立
• 在无不确定性条件下的股票价格
SSt dS/Sdt ST S0eT
• 在有不确定性条件下的股票价格：连续情形
dS Sdt Sdz dS / S dt dz
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
• 其中，dz是一个标准布朗运动 （维纳过程），a、b是变量x 和t的函数，变量x的漂移率为 a，方差率为b2。
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 股价过程描述 l 股票价格应该如何变化呢？
图：标准普尔500指数月度价格指数收益率时序的自相关函数图， 1970.01-2014.01
第三部分：产 品 定 价
• 随机过程
• 随机过程概念
– 如果某一变量的取值以某种不确 定的方式随时间变化
• 随机过程的类型
– 离散时间、连续时间 – 离散取值、连续取值
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 随机过程
• 马氏过程
– 定义：设{X(t), t ∈T}是一个随机
过程，如果{X(t), t ∈T} 在 t0 时刻
衍生证券的价格G应遵循如下过程：
•
dG

(
G S
S

G t

1 2
2G S 2

2S
2
) dt

G S

Sdz
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 伊藤引理
• 例1：已知证券价格过程为dS=uSdt+σSdz， 证明对数价格过程lnS是一个广义维纳过程。
• 例2：假定股票的当前价格为50，其预期收益 率和波动率分别为每年12%和每年30%。股 票价格在2年后低于80美元的概率是多少？
• 离散化：
SSt S t S/S~ (t,2t)
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 伊藤引理
• 若变量x遵循伊藤过程，则变量x
和t的函数G将遵循如下过程：
• dG

(
G x
a
G t

1 2
2G x 2
b 2 )dt

G x
bdz
• 由于 dS Sdt Sdz 根据伊藤引理，
– After graduating from Ayer High School in 1906 at 11 years of age, Wiener entered Tufts College. He was awarded a BA in mathematics in 1909 at the age of 14, whereupon he began graduate studies of zoology at Harvard. In 1910 he transferred to Cornell to study philosophy.
率分布是多少？ – 现金头寸在1个月、6个月和1年时有负的
现金头寸的概率是多少？ – 在将来什么时候公司具有负的现金头寸的
概率最大？
产品定价
第三部分：产 品 定 价
伊藤过程与伊藤引理
• 伊藤过程
• 普通布朗运动假定漂移率和方 差率为常数，若把变量x的漂 移率和方差率当作变量x和时 间t的函数，我们则得到伊藤 过程（Ito Process）：
N
z T z 0 i t i1
N T t – 增量的均值等于0 – 增量的标准差等于 T
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• x是广义维纳运动，如果
dx adt bdz
– 漂移速度a是常数 – b是常数 – 单位时间内随机变量变化的期望值为漂移率，
方差称为波动率
课程小结及参考文献
第三部分：产 品 定 价
主要内容：连续时间的资产价格描述！
核心提要： 1. 马尔科夫过程 2. 维纳过程及伊藤过程 3. 伊藤引理
课程小结
参考资料：
1. 期权、期货及其他衍生产品 2. 网络资料 课后作业：请见下面的PPT！
下一讲内容：B-S期权定价公式
参考文献
第三部分：产 品 定 价
产品定价
第三部分：产 品 定 价
维纳过程与布朗运动பைடு நூலகம்
• 布朗运动与维纳过程
• 独立增量，在任意两个微小时间段内的改变量是独立的
• 每个区间上的增量满足正态分布
• Wiener过程是Markov过程
• 瞬时增量为 z t – 增量的均值等于 0 – 增量的标准差等于 t
• Wiener过程(长时间段内)的增量
其“将来”的条件分布不依赖于
“过去”，则称{X(t), t ∈T}具有
马尔可夫（Markov）性。
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 布朗运动:
图：花粉粒在水面上的运动——布朗运动
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 布朗运动与维纳过程
– Norbert Wiener (November 26, 1894 – March 18, 1964) was an American mathematician. He was Professor of Mathematics at MIT.
对外经济贸易大学金融学院 谢海滨 International Business School, UIBE
金融工程
电话：010-64492533 邮箱：hbxie@
产品定价
第三部分：产 品 定 价
•连续时间股价过程
I. 随机过程 II.描述股价的随机过程 III.伊藤引理
产品定价
所处的状态为已知时，它在时刻
P(X(tn) xn | X(t1) x1, X(t2) x2,L , X(tn1) xn1) t>t0 所处状态的条件分布与其在
P(X (tn) xn | X (tn1) xn1), xn R
t0 之前所处的状态无关. 通俗地说，
就是知道过程“现在”的条件下，
– A famous child prodigy, Wiener later became an early researcher in stochastic and noise processes, contributing work relevant to electronic engineering, electronic communication, and control systems.
• x是广义Wiener过程
– 增量 x T x0 为正态分布，均值等于aT
– 标准差为b T
维纳过程与布朗运动
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 广义维纳过程 • 例：假定一家公司现金头寸以百万计量，并
服从广义维纳过程，现金头寸的飘移率为每 月0.1，方差率为2.0，计算 – 现金头寸在1个月、6个月以及1年时的概