2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）高等数学注意事项：全卷共10页，满分150分。
考试时间150分钟。
其中试题3页，用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上，答在试卷上的答案无效。
一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选好的答案填在答题纸上题号所在的位置上。
1. 0x =是函数11()12xf x =+的 【 B 】A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 振荡间断点D. 连续点 2．设函数0()(1)xf x t dt =-⎰, 则()f x 有 【 D 】A. 极大值12 B. 极大值12- C. 极小值12 D. 极小值12- 3. 设函数)(x f 的导函数为sin x , 则)(x f 有一个原函数为 【 A 】 A. 1sin x - B. 1sin x + C. 1cos x - D. 1cos x +4. 不定积分2(1)xxe dx x =+⎰【 A 】 A. 1xe C x ++ B. 1x e C x -++ C. 2(1)x e C x ++ D. 2(1)x e C x -++ 5. 无穷级数151(1)n p n n +∞=-∑ 【 B 】A. 当15p >时, 为条件收敛B. 当15p >时, 为绝对收敛 C. 当105p <≤时, 为绝对收敛 D. 当105p <≤时, 为发散的二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。
将答案填在答题 纸上题号所在的位置。
6. 设函数22,3()1,3x x x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩, 则((1))f f =3-.7. 极限5201sinlimsin x x x x→=0.8. 已知0a >，当0x →时, 1ax e ax --与1cos x -是等价无穷小, 则常数a =1.9. 321()x d f t dt dx-=⎰233(2)x f x -.10. 微分方程0y y ''+=的通解为y =12cos sin y C x C x=+.三、计算题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 计算题要有计算 过程.11．求极限220ln(1sin )lim1x x x e →+-.解：222200ln(1sin )sin limlim 11x x x x xxe →→+==- 12．设参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩确定了函数()y y x =，求22d ydx .解：因为sin sin (1cos )1cos dydy a t tdt dx dx a t t dt===-- (4分) 所以 222221cos (1cos )sin 11()(1cos )(1cos )(1cos )d y d dy t t t dx dx dt dx t a t a t dt---=⋅=⋅=--- (8分) 13.求函数()(f x x =+.解：132()(10)(5)3f x x x -'=+⋅-= (3分)当1x <-时，()0f x '>; 当15x -<<时，()0f x '<;当5x >时, ()0f x '>. 所以()f x 的单调增区间为(,1],[5,)-∞-+∞;单调减区间为[1,5]-; (6分)()f x 在1x =-处取得极大值23(1)96f -=⨯, 在5x =处取得极小值(5)0f = (8分)14. 求不定积分232(ln )1x x x dx x ++⎰. 解：232(ln )1x x x dx x++⎰ 4211ln (1)41xdx dx x =+-+⎰⎰ (2分) 4311ln arctan 44x x x dx x x =-+-⎰ (6分)4411ln arctan 416x x x x x C =-+-+ (8分)15. 设函数((),)z f xy xy ϕ=, 其中f 具有二阶连续偏导数, ϕ二阶可导, 求zx∂∂和2z x y ∂∂∂. 解：12()zf xy y f y xϕ∂'=⋅⋅+⋅∂ (4分) 211121(())()(()()zf xy x f x xy y f xy xy xy x yϕϕϕϕ∂'''''=⋅+⋅+⋅+∂∂21222(())f xy x f x y f ϕ'+⋅+⋅+ (8分)16. 求空间曲线21z x xyz ⎧=⎨=⎩在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程.解：曲线方程x t =，31y t=，2z t =，1t =对应点为(1,1,1) (2分) 因为 1dx dt =；43dy dt t -=；2dzt dt=所以 1|1t dx dt ==；1|3t dy dt ==-；1|2t dzdt == (4分)所求切线方程为111132x y z ---==- (6分) 法平面方程为 (1)3(1)2(1)0x y z ---+-=即 320x y z -+= (8分)17. 计算二重积分DI =, 其中积分区域22:9D x y +≤.解：法一2233DI d r rdr πθ==⎰⎰ (4分)25333300322|8r dr r ππ==⋅=⎰ (8分)法二：12332044DD I d r rdr πθ===⎰⎰83303272|84r π=⋅= 18. 计算对坐标的曲线积分232()(2)Lx xy dx y xy dy -+-⎰, 其中L 是四个顶点分别为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.解：设23(,)P x y x xy =-，2(,)2Q x y y xy =-，L 所围区域为D ，且D ：02x ≤≤，02y ≤≤由格林公式，得232()(2)()LDQ Px xy dx y xy dy dxdy x y∂∂-+-=-∂∂⎰⎰⎰ (4分) 2220(23)dx y xy dy =-+⎰⎰ (6分)222320()|(48)8y xy dx x dx =-+=-+=⎰⎰ (8分)19. 将函数2()4xf x x +=+展开为麦克劳林级数. 解：22()144x f x x x +==-++ (2分) 011111()1224414nn x xx ∞==-⋅=---<+∑ (6分) 111(1)4224n n nn x x +∞=-=+<⋅∑ (8分)20. 求微分方程256x y y y xe '''-+=的通解. 解：原微分方程所对应齐次方程为560y y y '''-+=，它的特征方程为2560r r -+=特征根为 12r =，23r =.于是所给方程对应的齐次方程的通解为2312()x x Y x C e C e =+ (3分) 设非齐次方程的特解为 *2()x y x ax b e =+ (5分) 代入方程，得22ax a b x -+-=解得 12a =-，1b =-所求特解为*21(1)2x y x x e =-- (6分)从而所求非齐次方程的通解为2322121()(2)2x x x y x C e C e x x e =+-+ (8分)四、证明题和应用题：本大题共2个小题, 每小题10分, 共20分。
计算题要有计算过程, 证明题要有证明过程。
21. 设函数()f x 在[,]a b 上的连续函数, 且()0f x >1()()()x x abF x f t dt dt f t =+⎰⎰, 求证: ① ()2F x '≥;② 方程()0F x =在(,)a b 内仅有一个实根.证明: ① 21()()22()F x f x f x '=+=+≥ (5分) ② 因为()F x 在[,]a b 上是单调增加函数, 所以方程()0F x =在(,)a b 内最多只有一个根. 又 1()0()a bF a dt f t =<⎰, ()()0b a F b f t dt =>⎰ (8分)根据零点定理, 方程()0F x =在(,)a b 内至少有一个根.综合以上可知, 方程()0F x =在(,)a b 内仅有一个实根. (10分)22. 求抛物线243y x x =-+-及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积.解：因为 24y x '=-+ (2分) 所以曲线在(0,3)-处切线方程为34(0)y x +=- 即43y x =-曲线在(3,0)处切线方程为02(3)y x -=--即26y x =-+ (5分)因为两切线交点为3(,3)2 (6分)所以，所求面积为33222302[(43)(43)][(26)(43)]S x x x dx x x x dx =---+-+-+--+-⎰⎰ (8分)33322302(43)(26)(43)x dx x dx x x dx =-+-+--+-⎰⎰⎰32232332030219(23)|(6)|(23)|34x x x x x x x =-+----= (10分)。