第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。

（2）2.1节中的Q值方法。

（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。

你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。

将3种方法两次分配的结果列表比较。

（4）你能提出其他的方法吗。

用你的方法分配上面的名额。

2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。

比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。

试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。

解释实际意义是什么。

3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应多大（如图）。

若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。

如果管道是其他形状呢。

5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。

7.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。

下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。

第一部分 课后习题答案1. 按照题目所给方法（1），（2），（3）的席位分配结果如下表：2. （1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其它成本也包含与w 和s 成正比的部分，上述三种成本中都含有与w ，s 均无关的成分。

又因为形状一定时一般有3/2w s ∝，故商品的价格可表为γβα++=3/2w w C （γβα,,为大于0的常数）。

（2）单位重量价格13/1--++==w w wCc γβα，其简图如下： 显然c 是w 的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。

3. 对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长l 的立方成正比，即31l k w =，1k 为比例系数。

常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。

如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是l d k w 22=，2k 为比例系数。

利用数据估计模型中的系数可得1k =0.014，2k =0.0322，将实际数据与模型结果比较如下表：基本上满意。

4. 将管道展开如图：可得απcos d w =，若d 一定，w 趋于0，α趋于π/2；w 趋于πd ，α趋于0。

若管道长度为l ，不考虑两端的影响时布条长度显然为πd l /w ，若考虑两端影响，则应加上πdw/sin α。

对于其它形状管道，只需将πd 改为相应的周长即可。

5. 设圆盘半径为单位1，矩形板材长a ，宽b ；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。

方案一：圆盘中心按正方形排列，如下图1，圆盘总数为1N =[a/2][b/2] 方案二：圆盘中心按六角形排列，如下图2，行数m 满足2+（m-1）≤3a ，于是m=132+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a 图1 图2列数（按图2第1行计数）n 满足：若[b]为奇数，则各行圆盘数相同为（[b]-1）/2；若[b]为偶数，则奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1。

圆盘总数为⎩⎨⎧+--=)2(2/12/)1]([)1(2/)1]([2b m b m N其中（1）为：m 为偶数。

（2）为：m 为奇数，[b]为偶数。

两个方案的比较见下表(表中数字为1N /2N )：a当a，b较大时，方案二优于方案一。

其它方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。

6.假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸l之间的关系是2lw∝。

S∝，所以饲养食物量2l7.假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积2ls∝（l是某特征尺寸），体重3ly∝。

w∝，于是3/2w用举重总成绩检验这个模型，结果如下图3；如果用举重总成绩拟合αwy∝，可得α=0.57，结果如下图4。

图3 图4第二部分课后习题1.Malthus模型预测的优缺点。

2.阻滞增长模型预测的优缺点。

3.简述动态模型和微分方程建模。

4.按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。

5.叙述Leslie人口模型的特点。

并讨论稳定状况下种群的增长规律。

6.试比较连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型, 并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。

第二部分课后习题答案1.优点: 短期预报比较准确; 缺点: 不适合中长期预报; 原因: 预报时假设人口增长率为常数, 没有考虑环境对人口增长的制约作用。

2. 优点: 中期预报比较准确; 缺点: 理论上很好，实用性不强; 原因: 预报时假设固有人口增长率以及最大人口容量为定值。

实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。

3. 动态模型: 描述对象特征随时间(空间)的演变过程, 分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态, 研究控制对象特征的手段；微分方程建模: 模根据函数及其变化率之间的关系确定函数, 根据建模目的和问题分析作出简化假设, 按照内在规律或用类比法建立微分方程。

4. 描述传染病的传播过程, 分析受感染人数的变化规律, 预报传染病高潮到来的时刻, 预防传染病蔓延的手段, 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。

5. 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同, 以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1),是一种差分方程模型。

6. 连续形式: ()y t 表示某种群t 时刻的数量(人口)离散形式: n y 表示某种群第n 代的数量(人口) 若n m y N =, 则12,,n n m y y N ++=, *m y N =是平衡点; 1(1) nn n n my y y ry N +-=-的平衡点为*m y N =. 1(1)1(1)n n n m r y r y y r N +⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦的平衡点为*111r x r b ==-+, 其中1,/(1),()(1n n m b r x r y r N f x b x x =+=+=-, 此时的差分方程变为1(1)()1,2,n n n n x bx x f x n +=-==.由()(1)x f x bx x ==-可得平衡点**11,0x x b=-=.在平衡点*0x =处,由于(0)1f b '=>,因此, *0x =不稳定. 在在平衡点*11x b=-处, 因**()(12)2f x b x b '=-=-,所以(i) *()13f x b '>⇔> 当3b >时, 平衡点*11x b=-不稳定; (ii) *()1f x '<13b ⇔<< 当13b <<时, 平衡点*11x b=-不稳定.第三部分 课后习题1. 判断下列数学模型是否为线性规划模型。

（a,b,c 为常数，x,y 为变量）2. 将下述线性规划问题化为标准形式。

3. 用单纯形法求解线性规划问题。

4. 检验函数212212)1()(100)(x x x x f -+-=在T x )1,1(*=处有**,0G g =正定，从而*x 为极小点。

证明G 为奇异当且仅当005.0212=-x x ，从而证明对所有满足0025.0)(<x f 的x ，G 是正定的。

5. 求出函数4131212221222)(x x x x x x x f ++-+=的所有平稳点；问哪些是极小点？是否为全局极小点？6. 应用梯度法于函数,10)(2221x x x f +=取.)1,1.0()1(T x =迭代求.)2(x第三部分 课后习题答案1. 答案：（1）是 （2）不是 （3）是2. 答案：（1） （2）令引入松弛变量.,t s 可得到如下的标准形式： （3）解：''','33311x x x x x -=-=令 （4）解：''','44422x x x x x -=-=令3. 答案：在上述问题的约束条件中加入松弛变量543,,x x x ，将原问题化成标准形式如下：其现成可行基),,(543ααα对应的单纯形表如下：换基迭代，得T X )0,0,2,6,2(*=，函数的最优值为34.4. 证明：⎝⎛--++-=)(20022400400)(21213121x x x x x x x g ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++-=20040040021200400)(11212x x x x x G ，经检验，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==200400400802)(,0)(**x G x g 正定， )(x G 奇异当且仅当,0)(=x G 即005.0212=-x x 。

若⎩⎨⎧>+->++-04008000080000021200400221212x x x x ，即0005.0221>+-x x 时，)(x G 正定，所以若,0025.0)(<x f 则0025.0)(1002212<-x x ，即005.0212<-x x ，故)(x G 正定。

5. 解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-=)224624)(12312121x x x x x x x g ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++=22212124)(211x x x G ，故平稳点为),1,1(),5.0,5.0(),0,0(----极小点为),1,1(),0,0(--且是全局极小点。