代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。

例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。

解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90,A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒B O P P AC 90 ∴∆∆B O PP A C ~ ∴=P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32B O a B O QC A Q O Q A Q B OC A//~,，∴∴=∆∆设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m=-2 ∴-=∴=m m m 223287， ∴Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。

关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。

练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分）(3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。

（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。

① 如图，将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，求点D 的坐标； ② 在①中，设BD 与CE 的交点为P ，若点P ，B 在抛物线2y x bx c =++上，求b ，c 的值；若将纸片沿直线l 对折，点B 落在坐标轴上的点F 处，l 与BF 的交点为Q ，若点Q 在②的抛物线上，求l 的解析式。

4、（2005年绍兴）一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。

①求直线AC 的解析式；②若M 为AC 与BO 的交点，点M 在抛物线285y x kx =-+上，求k 的值；③将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，试判断点D 是否在②的抛物线上，并说明理由。

5．已知：在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 边上的一点，沿直线DE 将矩形折叠，使C 点落在AB 边上的C 点处。

过C ′作C ′H ⊥DC ，C ′H 分别交DE 、DC 于点G 、H ，连结CG 、CC ′，CC ′交GE 于点F 。

（1） 求证：四边形CGC ′’E 为菱形；（2） 设x CDE =∠sin ，并设DEDGE C y +='，试将y 表示成x 的函数；（3） 当（2）中所求得的函数的图象达到最高点时，求BC 的长能力训练1、已知抛物线)0(22>--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。

（1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。

2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，其顶点为D ．注：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积；（3）试判断△BCD 与△COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．3、如图，Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P 是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合）设PC=x ，点P 到AB 的距离为y 。

（1）求y 与x 的函数关系式；（2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 的取值范围。

4、如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一点(点E 与点A ，D 不重合)．BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 于N ．(1)设AE=x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式； (2)当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大?最大值是多少?ABCP5、如图，在直角坐标系中，点M在y轴的正半轴上，⊙M与x轴交于A，B两点，AD是⊙M的直径，过点D作⊙M的切线，交x轴于点C. 已知点A的坐标为（－3，0），点C的坐标为（5，0）.（1）求点B的坐标和CD的长；（2）过点D作DE∥BA，交⊙M于点E，连结AE，求AE的长.6．如图，已知：AB是定圆的直径，O是圆心，点C在⊙O的半径AO上运动，PC⊥AB交⊙O于E，交AB于C，PC=5。

PT是⊙O的切线(T为切点)。

(1)当CE正好是⊙O的半径时，PT=3，求⊙O的半径；(2)当C点与A点重合时，求CT的长；(3)设PT2=y，AC=x，写出y关于x的函数关系式，并确定x的取值范围。

答案： 练习1、（1）连结BC 交OA 于点E 略（2）∵CD ∥AO ，∴∠3＝∠4. ∵AB 是⊙O 的切线，DB 是直径， ∴∠BCD ＝∠ABO ＝90°∴△BDC ∽△AOB. ∴BD DC AO OB ＝ ∴6x y 3＝ ∴18y x＝ ∴0＜x＜6（3）由已知和（2）知 x y 11xy 18⎧⎨⎩＋＝＝解这个方程组得：1212x 2x 9y 9 y 2⎧⎧⎨⎨⎩⎩＝＝（舍去）＝＝ ∴AB ＝22937262－＝＝.2．解：(1)由题意，得22-4(m-3)=16-m>0①x1x2=m-3<O．②①得m<4．解②得m<3．所以m的取值范围是m<3．(2)由题意可求得∠OCB=∠CAB=30°.所以BC=2BO，AB=2BC=4BO．所以A0=3BO(4分)从而得 x1=-3x2．③又因为 x1+x2=-2．④联合③、④解得x1=-3，x2=1．代入x1·x2=m-3，得m=O．(3)过D作DF⊥轴于F．从(2)可得到A、B两点坐标为A(-3，O)、B(1，O)．所以BC=2，AB=4，OC=3因为△DAB≌△CBA，所以DF=CO=3，AF=B0=1，OF=A0-AF=2．所以点D的坐标为(-2，3)．直线AD的函数解析式为y=3x=333．4、5．（1）根据题意，C 、C ′两点关于直线DE 成轴对称，DE 是线段CC ′的垂直平分线，故DC ＝DC ′，GC ＝EC ′，∠C ′EG ＝∠CEG 由C ′H ⊥DC ，BC ⊥DC 得：C ′G ∥CE ， ∴∠C ′GE ＝∠GEC ，∵∠C ′EG ＝∠CEG ， ∴∠C ′GE ＝∠C ′EG ，∴C ′G ＝C ′E ，∴C ′G ＝C ′E ＝EC ＝GC ， ∴四边形CGCE 为菱形（2）解法一：由题意知：在△RtDCE 中， sin ∠CDE ＝DECE＝x 由（1）得：CC ′⊥CE ，又DC ⊥CE ， ∴Rt △C ′EF ∽Rt △DEC ′， ∴''EC EFDE E C =， 即EF DE E C •=2'∴222222121,)('x DE EF DE GE DE DE DG x DE CE DEE C DE EF -=-=-==== ∴221''x x DEDGDE E C DE DG E C -+=+=+，即122++-=x x y解法二：设DE ＝a ，由sin ∠CDE=DE CE=x ，则CE=ax ，又DC ⊥CE ，CF ⊥DE ，∴△DCE ∽△CFE∴2)(22CE EF ,ax DECE DE FE CE aax ===∴=DG ＝DE -2EF ＝a-2ax 2，∴22212'x x aax a ax DE DG CE DE DG E C -+=-+=+=+∴y=-2x 2+x+1 （3）由（2）得：y=-2x 2+x+1＝89)41(22+--x可见，当x=41时，此函数的图象达到最高点，此时87811212=-=-=x DE DG∵GH ∥CE ，∴87==DE DG DC DH ，由DH ＝2，得DG ＝47在Rt △DHC ′中41516494''22=-=-=DH DC H C ∴BC ＝415能力训练1、（1）所求对称轴为直线x ＝1 C （0，-m ） C ′（2，-m ）（2）满足条件的P 、Q 坐标为P （-1，3-m ），Q （1，3-m ）；P ′（3，3-m ）。

Q （1，3—m ）；P ″（1，-1-m ），Q ′（1,1-m ）。

（3）所求平行四边形周长为1024+或24。

2、解：（1）322++-=x x y（2）由（1）可知4)1(2+--=x y∴顶点坐标为D （1,4），设其对称轴与x 轴的交点为E ∵OC AO S AOC •=∆213121⨯⨯=23= ()OE DE DC S OEDC ⨯+=21梯形 ()14321⨯+=27=DE EB S DEB ⋅=∆214221⨯⨯=4= DEB OEDC AOC ABDC S S S S ∆∆++=梯形四边形42723++=9= （3）△DCB 与△AOC 相似证明：过点D 作y 轴的垂线，垂足为F∵D （1,4），∴Rt △DFC 中，DC ＝2，且∠DCF ＝45° 在Rt △BOC 中，∠OCB ＝45°，BC ＝23 ∴∠AOC ＝∠DCB ＝90° 12==CO BC AO DC ∴△DCB ∽△AOC3、（1）过P 作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ=y ， 312(04)55y x x =-+<<（2）令x ≤y ，得：31255x x ≤-+，解得：32x ≤∴当302x <<时，圆P 与AB 所在直线相离；32x =时，圆P 与AB 所在直线相切；342x <<时，圆P 与AB 所在直线相交 4．解：(1)连接ME ，设MN 交BE 于P ，根据题意，得MB=ME ，MN ⊥BE ．过N 作AB 的垂线交AB 于F ， 在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°， ∴∠MBP=∠MNF ．又AB=FN ，∴RT △EBA ≌Rt △MNF ，故MF=AE=x在Rt △AME 中，AE=x ，ME=MB=2-AM ，∴(2-AM)2=x 2+AM 2．解得AM=2411x -所以四边形ADNM 的面积2212221224122AM DN AM AF S AD AM AE x x x x ++⎛⎫=⨯=⨯=+=-+ ⎪⎝⎭=-++ 即所求关系式为2212++-=x x s .(2) ()()22211515221122222S x x x x x =-++=--++=--+∴当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积s 5．解：（1）∵ MO ⊥AB ，∴ OA ＝OB.∵ A 点坐标为（－3，0），∴ B 点坐标为（3，0）∵ CD 是⊙O 的切线，∴ CD 2＝CB ·CA ＝2×8＝16. ∴ CD ＝4. （3）∵ AD 是直径，∴ DB ⊥AB ，∴ BD ＝DC 2－BC 2＝42－22＝2 3. ∵ DE ∥BA ，∴ AE ⌒＝DB ⌒. ∴ AD ＝DB, ∴ AE ＝2 3. 6．。