单摆运动规律的研究 摘要 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。受各种 因素的影响， 其运动规律较为复杂。 本文建立了理想模式下单摆的数学模型， 现 实情况下单摆的数学模型 .等对单摆的运动进行了探究。 首先，本文从理想情况出发， 由牛顿第二定律进行推理， 建立了无阻尼小角 度单摆运动模型，对单摆的运动进行了初步探究。 然后，本文又建立了无阻尼大角度单摆运动模型， 进一步完善了理想模式下 单摆的数学模型。 最后，本文从实际出发， 考虑单摆运动中受到的阻力因素， 以理想模式下单 摆的数学模型为基础， 建立了现实情况下单摆的运动模型， 深度的对单摆运动进 行了探索。 关键词 简谐运动 角度 阻尼运动 单摆运动
目录 一、问题的描述 二、 模型假设 三、模型建立及求解 1 理想模式下单摆的数学模型 1.1 小角度单摆运动模型 1.1.1 模型建立 1.1.2 模型求解 1.1.3 结果分析 1.2 大角度单摆运动模型 1.2.1 模型建立 1.2.2 模型求解 1.2.3 结果分析 2 现实模式下单摆的数学模型 2.1 小、大阻尼单摆运动模型 2.1.1 模型建立 2.1.2 模型求解 2.1.3 结果分析 四 模型分析
问题的描述 根据平常接触到的摆钟、 秋千等实物中， 我们可以抽象出单摆的模型。 细线一 端固定在悬点 ,另一端系一个小球 ,如果细线的质量与小球相比可以忽略 ,球的直 接与线的长度相比也可以忽略 ,这样的装置就叫做单摆 .我们从理想情况出发进行 分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。 二模型假设 1悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多; 2. 装置严格水平； 3. 无驱动力。
三模型建立及求解 1理想模式下单摆的数学模型
mg 图1简单单摆模型 在t时刻，摆锤所受切向力ft(t)是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即 f(t) =mg si n(t) 完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为： a(t) = g sin (t) 因此得到单摆的运动微分方程组：
dv(f) ------- =gain ff (r)
+ —sin(9 = 0 (1) 打 I
1.1小角度单摆运动模型 1.1.1模型建立 当摆角B很小时,sinB〜,B故方程1可简化为：
—+-^(9=0 (2) 护 I
1.1.2模型求解 利用matlab软件在［0, 5o］分别作出方程（1）和方程（2）的解得图像 小角度单摆摆动规律 （—方程（1）的解，**方程（2）的解）
1.1.3结果分析 由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合， 可以说明当 较小时（（X5）, 两方程的解几乎相等，单摆运动可看为简谐运动。
1.2大角度单摆运动模型 1.2.1模型建立 当摆角很大时，方程sin -9不 再成立，方程（1）和方程（2）的解不再相近,
1.2.2模型求解 此时利用MATLAB计算软件,得到2000个不同摆角的的精确解.然后以摆角 为横轴，利用绘图函数polt （ x , y ）绘制出任意摆角下单摆周期的精确解的曲线
%单摆周期与摆角的关系 a= 0; b= pi/ 2; n= 1000; s1= 1: n; h= ( b-a) / n; h1= pi/ ( 2* n) c= 0: h1: pi/ 2 x= a; s= 0; for i1= 1: ( n+ 1) f0= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) A2* ( sin( x ) ) A2) / pi; for i2= 1: n
水角度单窒摆动规律 -0 02 0 02
*0 01 4) 03 - -0 04 - 0
—方程（1）的解 叶”彷程（2）的解 x= x+ h; f1= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) A2* ( sin( x ) ) A2) / pi; s= s+ ( f0+ f1) * h/ 2; f0= f1; end disp( 1/ s) s1( i1) = s; s= 0; end plot( c, s1) xlabel( ‘theta0/rad') ylabel( ‘T/T0') 大摆角单摆的运动规律 程序如下： %建立方程(1) Fun cti on xdot= per( t,x) xdot= [-9. 8* sin( x ( 2) ) x( 1)] %建立方程(2) Fun cti on xdot= per1( t,x) xdot= [ -9. 8* x( 2) x( 1)] %利用ode45求解微分方程 t0= 0; tf= 10; [t, x] = ode45( 'per' , [ tO, t f] , [ pi/ 2, 0]) [t1, x1 ] = ode45 ( ' per1' , [ t0, tf ] ,[ pi/ 2, 0]) plot( t, x( : , 2),'-') holdo n plot( t1, x1( : , 2) , ' ') | 时闾t;，
s
123结果分析 如图所示，随着单摆摆角的增大，单摆的周期也会增加图中两根曲线表明： 大摆角振动时，单摆的运动轨迹并不是简单的正、余弦曲线 (虽然很相似)，而且, 最大摆角越小，两根曲线越相似；摆角越大，分离越明显
2现实模式下单摆的数学模型 2.1.1模型建立 现实情况下，绳子的质量，摆球的半径，空气的阻力等等都对单摆的摆动有影 响,这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动 ，为简单起见，可设单摆在摆动中受 到阻力fz,显然阻力与摆锤的运动速度有关，即阻力是单摆线速度的函数： fz = f(v)，fz (t) =kv(t) 上式中，k>0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。 切向加速度由切向合力ft fz产生，根据牛顿第二运动定律，有 a (T) off) = (0- --------- m
因此得到修正后的单摆运动微分方程组 X、 •八八心⑴ ---- 二 gwm 9 (r) --------
di m
羽⑴ v(t)
di I 仍然使用欧拉算法求解=v(r+(k)-v(r)f[]d^⑵=0G + dr)—0 ©代入 式(§)及式(6)中，并以仿真步进量A惟为血的近似，得到基于时间的递推方程:
v (f+A > v (『X竽血& (/) --- ) A m v(r) ^(r+A)=^(r)_^ A I
2.1.2模型求解 据此编写仿真程序： subplot(2,1,1) dt=0.0001; %仿真步进 T=16; %仿真时间长度 t=0:dt:T;%仿真计算时间序列
g=9.8； L=1.5; m=8; k=3; th0=1.5; %初始摆角设置,不能超过n /2 v0=0; %初始摆速设置 v=zeros(size(t)); %程序存储变量预先初始化，可提高执行速度 th=zeros(size(t)); v(1)=v0; th(1)=th0; for i=1:le ngth(t) %仿真求解开始 v(i+1)=v(i)+(g*s in (th(i))-k./m.*v(i)).*dt; th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt; end %使用双坐标系统来作图 [AX,B1,B2]=plotyy(t,v(1:le ngth(t)),t,th(1:le ngth(t)),'plot'); set(B1,'L in eStyle','-'); % 设置图线型 set(B2,'Li neStyle',':'); set(get(AX(1),'Ylabel'),'Stri ng','线速度 v(t)m/s');% 作标注 set(get(AX (2),'Ylabel'),'Stri ng','角位移 \th(t)/rad'); xlabel('时间 t/s'); lege nd(B1,线速度 v(t)',2); lege nd(B2，角位移 \th(t)',1); 增大阻力系数k=50可以得大阻尼时单摆的运动情况
2.1.3结果分析 小阻尼情况下，单摆运动不再是谐振动，其振幅不断缩小直到趋于平衡位置而停 止，但还是周期运动。大阻尼情况下是非周期运动，很快回到平衡位置。 四.模型分析
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Figure 1 本文从理想情况出发，建立了小角度、大角度两种模型，得到简谐运动和类 似简谐运动。再以此为基础讨论了实际情况下受到阻力因素的影响 ，近似的得到 了单摆运动
的运动规律的大小阻尼运 动 。