一、动力滑台系统
一、动力滑台系统
（1）求系统的运动方程
动力滑台受力分析 x(t)
弹力 惯性力 滑台 位移 滑台
f(t) 外力
阻尼力
受力平衡方程（左边=右边）
一、动力滑台系统
（2）运动方程的拉氏变换
设 则
L[x(t)]=X(s)
L[x(t)]=sX(s)
L[f(t)]=F(s)
L[x(t)]=s2X(s)
0 0
利用这一定理可将系统微分方程转化为传递函数
常用函数的拉普拉斯变换
（单位阶跃函数） 1. f (t ) u(t )
1 t 0 u (t ) 0 t 0
u(t) t
F(s)=
1 st 0 e dt e 0 s
st


0
1 s
(m2 s 2 cs k1 k2 ) X 2 (s ) (cs k1 ) X 1 (s )
F ( s)
三、单轮汽车支承系统
（2）运动方程的拉氏变换
汽车m1
X 1 ( s) cs k1 X 2 ( s) m1s 2 cs k1
轮胎m2
(m2 s 2 cs k1 k2 ) X 2 ( s) (cs k1 ) X 1 ( s) F ( s)
三、单轮汽车支承系统
（3）传递函数
X 1 ( s) cs k1 X 2 ( s) m1s 2 cs k1
(m2 s 2 cs k1 k2 ) X 2 ( s) (cs k1 ) X 1 ( s) F ( s)
X 1 ( s) F ( s) X 2 ( s) F ( s)
三、单轮汽车支承系统
（2）运动方程的拉氏变换
轮胎m2
m2 2 c( x2 x1 ) k1 ( x2 x1 ) k2 x2 f (t ) x
L[m2 2 c( x2 x1 ) k1 ( x2 x1 ) k2 x2 ] x
m2 s 2 X 2 ( s) cs[ X 2 ( s) X 1 ( s)] k1[ X 2 ( s) X 1 ( s)] k2 X 2 ( s)
第1节 机械系统教学模型的建立

1.1 机械移动系统 1.2 机械转动系统 1.3 基本物理量的折算
1.1 机械移动系统
• 基本构成 质量、阻尼器和弹簧
• 建立其数学模型的基本原理
牛顿第二定律
1.1 机械移动系统
• 机械移动系统的建模方法：
（1）求系统运动方程（牛顿第二定律）
（2）对运动方程两边取拉氏变换
输入轴转角
输出轴转角
1.2 机械转动系统
• 动力学方程
步进电动机轴
负载
1.2 机械转动系统
• 拉氏变换
补1：拉普拉斯变换
1. 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时 间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。 设有时间函数 f(t)，当 t < 0 时，f(t)＝0；在 t≥0时定义函 数 f(t) 的拉普拉斯变换为：
L[mx+cx+kx] = ms2X(s)+csX(s)+kX(s)
= (ms2+cs+k)X(s) (ms2+cs+k)X(s) = F(s)
一、动力滑台系统
（3）传递函数
(ms2+cs+k)X(s) = F(s)
输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比
输出：X(s) 输入：F(s)
传递函数
一、动力滑台系统

t st e s
tn lim e st 0 t
n

0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s s 0


n [ t ] ℒ [ t n 1 ] s
n
n ℒ [ t ] ℒ [ t n 1 ] s
n
1 当n＝1， ℒ [t ] 2 ； s 2 2 当n＝2，ℒ [t ] 3 ； s
（1）求系统的运动方程
汽车m1
轮胎m2
三、单轮汽车支承系统
（2）运动方程的拉氏变换 设 则
汽车m1 L[m1x1+c(x1-x2)+k1(x1-x2)] L[x(t)]=X(s) L[x(t)]=sX(s) L[f(t)]=F(s) L[x(t)]=s2X(s)
= m1s2X1(s)+cs[X1(s)-X2(s)]+k1[X1(s)-X2(s)] = 0
（4）系统框图 传递函数
二、单自由度隔振系统
单自由度隔振系统
动力滑台系统（不计摩擦力）
系统的运动方程与传递函数与动力滑台的完全一样
二、单自由度隔振系统
运动方程
传递函数
三、单轮汽车支承系统
汽车质量 弹簧刚度 汽车轮子的质量 汽车绝对位移 减振器阻尼系数 轮胎绝对位移
外力
轮胎弹性刚度
三、单轮汽车支承系统
依次类推， 得 ℒ
常 用 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 表
δ(t) n) δ( (t)
u(t)
1 sn 1/s
t
tn e-at te-at tne-at
1/s2
n!
sn+1
1
s+a
1
(s+a)2
n!
(s+a)n+1
1
e-jwt
s+jw
补2：系统的传递函数
定义 线性定常系统的传递函数，定义为零初始 条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比。 三要素：线性定常系统 零初始条件 输出与输入的拉氏变换之比
单轮汽车支承系统的力学模型
（3）传递函数
单轮汽车支承系统的力学模型
（4）系统框图
系统框图
简化后
1.2 机械转动系统 1.2 机械转动系统
• 基本构成参数 转动惯量、阻尼器和弹簧 • 建立其数学模型的基本原理 牛顿第二定律
1.2 机械转动系统
简单扭摆系统模型建立
• J：摆锤的转动惯量 • c：摆锤与空气间的粘性阻尼系数
2. f (t ) eatu(t )
(指数函数)
0 （t 0） f (t ) t （t 0） e
F(s)= ℒ [e ℒ [e
at
] e e dt
at st 0

1 ( s a )t e sa

0
1 sa
j t
s j 称为复频率 。
f(t) ，t [0,)称为原函数，属时域。 原函数 用小写字母表示，如 f(t) ，i(t)，u(t) F(s) 称为象函数，属复频域 。
象函数F(s) 用大写字母表示 ,如F(s) ，I(s)，U(s)。
拉普拉斯变换对，记为：
L f(t)
L
_
F(S)
拉氏变换的主要运算定理
式中，n m，当初始条件全为零时，对上式进行 拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：
Y(s) b ms m b m 1s m 1 b 0 G(s) n n 1 X(s) a n s a n 1s a 0
补3：阻尼
• 阻尼定义 指任何振动系统在振动中，由于外界作用和/或系统 本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性， 以及此一特性的量化表征。 • 阻尼力 在物理学和工程学上，阻尼的力学模型一般是一个 与振动速度大小成正比，与振动速度方向相反的力
f(t)
0（t 0） f (t Байду номын сангаас t（t 0）
0
t
1 t st 1 st F(s)=L[f(t)]= te dt e e dt 2 0 s 0 s s 0
st
5. f (t ) t
n

（幂函数）

t n st n n st ℒ [t ] t e dt 0 de 0 s
• k：扭簧的弹性刚度
• m(t)：加在摆锤上的扭矩 • θ(t)：摆锤转角
1.2 机械转动系统
由牛顿第二定律，系统的运动方程：
取拉氏变换，传递函数：
1.2 机械转动系统
机械位移和转动系统的传递函数形式是相同的
1.2 机械转动系统
• 打印机中的步进电动机一同步齿形带驱动 装置
步进电动机轴 驱动力矩 负载
0
0
表示为：
f (t )e dt
st
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ -1[F(s)]
拉氏变换积 分上限说明：
F (s) f (t )est dt
0

f (t )e dt f (t )e st dt
st 0 0
0

当f(t)含有冲激函数项时，此项 0
微分定理
若：f (t ) F ( s) ,
若初值f (0) f
/
LT
则
f
n 1
0 ... 则有：L f / t sF s L f // t s 2 F s L f 3 t s 3 F s L f n t s n F s
三、单轮汽车支承系统
（2）运动方程的拉氏变换
L[m1x1+c(x1-x2)+k1(x1-x2)] = m1s2X1(s)+cs[X1(s)-X2(s)]+k1[X1(s)-X2(s)] = 0
则
(m1s2+cs+k1)X1(s)=(cs+k1)X2(s)