椭圆方程的一个性质和应用
于志洪金建荣 学习椭圆方程时，大家会发现这样一类椭圆，它们有一个共同特征，即离心率相同。

F 面将共离心率的椭圆方程的一个性质及其应用介绍给同学们，供大家学习时参考。

-.性质 X 2
和椭圆— a
2 y 2 1(a b b 2
0) 有相同离心率的椭 圆方程都具有 2
X -2 a （0）的特征。

2 X -2 a 程。

2
y 产
b 2 .
2
X a
2
.a
y 2 2
1和椭圆 b 2
\ a 2
b 2
a. y 2 2 1和椭圆
b 2
X 2
设椭圆
1的离心率分别为e 和e'，则 a 2 b 2
a
e'
.a 2 b 2
e'，故椭圆
0）有相同的离心
率。

也就是说，和椭圆飞
a
b 0）有相同的离心率的椭圆方程都具有
0）的特
征。

应用
X 2 2
y 2 1有相同离心率，且与直线
3X
例.求和椭圆
4
（2003年全国重点名校高考模拟题）
2、7y 16 0相切的椭圆方
解法1 :由以上性质，可设所求椭圆方程为 2小
16 0相切，故由方程组x 2 4y 2 得16y 2 16-. 7y 64 9 0。

其判别式 2 2
4，故所求椭圆方程为 X y 1
16 4 3x 迂 4
，3X 16、、7)2 y 2 ( 2, 7y 16 4 16 解法2 :设所求椭圆方程为 X 2 4y 2 0）。

因其与直线 0联立消去X ，整理 （64 9 ）0，解得 因它与直线 3X 27y 16 0相切，则设切点为（ 27 4 X 1, 表示为同一直线，所以 X 1 4y 1 X 1 y 1），故切线方程为 3 4 y 1 X 1X 4y 』 4 。

两直线 ¥。

将 X 1和y 1同时代入椭圆方 程，得（？ ）2
4（乂 4 8
2 故所求椭圆方程为 — 16 )2 化简整理得
0，解得
4或 0 （舍去）。

2 y_ 4 X 2
2
a 2 •.
， bi 。

设切点为 (2 cos
解法3 :设所求椭圆方程为 2
即—
4 r~ .
、sin
则 a 2 4 ， b 2
，
），则椭圆的切线方程为
x
2
y
81有相同离心率且过点（3，9）的椭圆方程。

2
磊 1有相同离心率且通径（过焦点且垂直于长轴的直线与椭圆所交
的线段）长等于5的椭圆方程。

答案:
年级 高中 学科 数学 版本
期数
内容标题 椭圆方程的一个性质和应用 分类索引号 G.622.475
分类索引描述 统考试题与题解 主题词 椭圆方程的一个性质和应用
栏目名称 专题辅导
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韩秋荣 一校 胡丹 二校
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2 cos
sin
因为它和直线3x 2.. 7y 16 0重合
cos sin 厂 cos 2
3 7 V ，~~9
2 2
故所求椭圆方程是 x J
16 4
.2
sin
鬲。

由等比性质得
2 ■ 2
cos sin
9 7
64
1
. 2
. 18 4x 2 81
2
y 162 4y 2
45 2
1. 求和椭圆9x
x 2
2. 求和椭圆——
225。