cos2
K
AE L
cos sin cos2
cos sin
cos sin sin 2
cos sin sin 2
cos2 cos sin
cos2 cos sin
cos sin
sin 2
cos sin sin 2
杆在总体坐标系下，用杆与坐标轴角度表示的刚度矩阵
飞行器结构力学
2）元件变形与内力之间的关系
根据虎克定律，元件的变形和元件的内力之间存在以下关系：
Na
EAa la
la，N b
EAb lb
lb，N c
EAc lc
lc
Ai，li：第i个杆的横截面积和杆长。 矩阵形式为：
Na Nb Nc
EAa la
0
0
0
EAb lb 0
0
0 EAc
la
lb
lc
lc
N = K0δ
N为元件内力矩阵；K0为元件原始刚度矩阵。
飞行器结构力学
3）平衡条件
考虑节点1的平衡，有：
Px Na cosa Nb cosb Nc cosc Py Na sina Nb sinb Nc sinc
写成矩阵形式为：
Px Py
cosa
-------固体力学 目前，有限元法已成为工程设计中一种重要方法，被应用 在结构应力分析、变形分析、失效分析、电磁场分析、流体流 动分析等方面。
飞行器结构力学
矩阵位移法基本原理
铰支杆件结构
由虎克定律: 拉力P与弹簧的伸长量u之间的关系为： P=ku
式中 k：弹簧的刚度系数，是弹簧的固有参数； u：力作用点处的位移。
la cosa ux sina uy lb cosb ux sinb uy lc cosc ux sinc uy
矩阵形式为
la cosa
lb
cosb
lc cosc
sin sin sin
a b c
ux uy
d=GU
d：元件的变形矩阵；G：几何矩阵；U：节点位移矩阵。
再令u1=0，u2=u2
力以与坐标轴方向一致时为正
此时
N x,1 k u2
将两种情况叠加，可得：
Nx,1 k u1 k u2 Nx,2 k u1 k u2
Nx,2 k u2
写成矩阵形式
N x,1 Nx,2
k k
k k
u1 u2
杆的刚度矩阵
飞行器结构力学
❖ 我们知道对于杆子
飞行器结构力学
复杂桁架结构系统
假设a、b、c三杆材料相同，与X
轴的夹角分别为θa、θb、θc，各杆的杆 长分别为la、lb、lc，在节点1处承受载 荷Px和Py。
设桁架在载荷作用下节点1发生水平 位移ux，垂直位移uy。
如果该桁架结构位移和载荷的关系 也类似于杆件的话，那么
P=KU
P
Px Py
，U=
sin
a
cosb sinb
cosc sinc
N N N
a b c
P = GT N
N = K0δ
d=GU
P = GT N GT K0δ GT K0GU KU
K = GTK0G
（K：结构总体刚度矩阵）
飞行器结构力学
弹簧的刚度矩阵
首先令u1=u1,u2=0
此时 N x,1 k u1 N x,2 k u1
ux
u
y
K的物理意义：发生单位位移需要的力
K应该是一个？×？的矩阵 ?
飞行器结构力学
对于上述桁架结构，可以写出：
Px Py
=
k k
xx yx
kxy ux
k
yy
uy
U = K-1P
飞行器结构力学
是否存在这样的矩阵？如何求出杆系的刚度矩阵？
1）元件变形与结构位移之间的关系
各杆变形与节点1位移之间有如下关系：
N
AE L
d
（弹簧N k u)
❖ 把杆可以看成一根弹簧，AE/L就是杆的弹簧系数，因此
AE
k
L AE
L
AE L AE
L
AE L
1 1
1
1
N
x,
j
AE L
1 1
1
1
ui u j
飞行器结构力学
桁架的刚度矩阵
设：杆轴线与坐标轴成任意角度
局部坐标系 总体坐标系
vuij
飞行器结构力学
由图中几何关系可知：力在局部坐标系和总体坐标系下的表示
Fx,i Fx,i cos Fy,i sin Fy,i Fx,i sin Fy,i cos Fx, j Fx, j cos Fy, j sin Fx,i Fx, j sin Fy, j cos
令λ=cosθ，μ=sin θ
Fx,i Fy,i
Fx,
j
Fy, j
0
0
0 0
0 0
0 0
Fx,i Fy,i
Fx
,
j
Fy, j
F T F
转换矩阵
飞行器结构力学
类似的可得到
N k u N T N u T u
N T 1 K T u
K T T K T 上数矩阵具有 T 1 T T
AE 1 1
k局部 L 1
1
杆在局部坐标系下力 和位移的关系
Fx,i
Fx,
j
AE 1 L 1
1
1
ui u j
将上述局部坐标系下的表达式 扩充为四阶
F K u
Fx,i
1 0 1 0 ui
Fy,i
Fx,
j
Fy, j
AE L
0
1
0
0 0 0
0 1 0
0
vi
0 0
飞行器结构力学
❖ 用坐标值表示杆的刚度矩阵
令 DX 12 x2 x1 DY12 y2 y1
DX12DX12
k
EA
DX12 DY12
L3
DX12 DX12 DX12 DY12
DX12 DY12 DY12 DY12 DX12DY12 DY12DY12
DX12DX12 DX12DY12 DX12 DX12 DX12 DY12
飞行器结构力学
—结构的有限元方法
飞行器结构力学
结构矩阵分析方法（有限元素法）认为整体结构可以看作是 由有限个力学小单元相互连接而组成的集合体，这些单元装配在 一起可以提供整体结构的力学特性。
连续系统离散化分析的过程最初用于分析飞机的结构强度。 1960年飞机结构工程师Clough第一个采用有限元法（Finite element method）这一术语，并用有限元的思想求解了平面弹 性问题。
DX12DY12
DY12
DY12
DX12 DY12 DY12 DY12
杆在总体坐标系下，用坐标值差表示的刚度矩阵
飞行器结构力学