结点码(总码）1 2 3，再结点位移码 杆端码(局部码) i j，再杆端位移码( )
杆端位移 结点位移 变形协调条件
●
单元集成法求整体刚度矩阵的步骤：
第一步，由单元刚度矩阵[k]e ，求单元贡献矩阵[K] e 。 第二步，叠加各单元贡献矩阵，得到整体刚度矩阵[K] 。
结点力 杆端力 平衡条件
§13.4.2 单元定位向量
（2）杆端位移、杆端力的正负号规定 与坐标轴正方向一致 或 顺时针为正
（单元杆端位移列阵 与 单元杆端力列阵）
§13.2 单元分析(一)
——局部坐标系中的单元刚度矩阵 单元杆端力和杆端位移之间的
转换关系称为单元刚度方程，它表示单元在
杆端有任意给定位移时所产生的杆端力。而 单元刚度矩阵 的转换矩阵。 是杆端力与杆端位移之间
50年代由航空结构工程师发展，逐渐波及土木工程；
20世纪60年代，1960年由R. H. Clough命名 为“有限单元法”（FEM)以来，有限元法蓬勃 发展。不仅结构分析必不可少，而且成为“现 象分析”的一种手段（场问题、时间维问题等 ）。1967年首次出版专著，监凯维奇（O. C.
Zienkiewicz）与其学生张佑启（Y. K. Cheung ) 合写《结构与连续力学的有限元法》( 张后来成 为“有限条法”创始人）, 该书成为世界名著， 第三版中译本名为《有限元法》。
手算怕繁、电算怕乱
§13.1.1 矩阵位移法的基本思路
◆ 基本原理与传统的位移法相同：
1. 以结点位移为基本未知量；
2. 基本环节： （1）离散化：整个结构分解为若干个单元（在杆件结 构中，通常取一根杆件为一个单元）； （2）单元分析：分析单元的杆端力和杆端位移及荷载 之间的关系； （3）整体分析：利用结构的变形协调条件和平衡条件 将各单元集合成整体结构，得到求解基本未知量的矩 阵位移法的基本方程 。
位置上平衡，
1 P1 2 P2
， K PJ 或 K P
即矩阵位移法基本方程
更一般矩阵位移法基本方程为 K P P 为结点荷载列阵， 为结点位移列阵。 二、等效结点荷载 结构受非结点荷载作用，计算分两步：
0 0 1
一二行对调 一二列对调 一行改号 一列改号
90
T
k11
e
T0 k11
T
e 0
1 0 a11 a12 a13 0 1 0 0 1 1 0 0 a 0 0 21 a 22 a 23 0 0 1 a 31 a 32 a 33 0 0 1 a 22 a 23 0 1 0 a 21 a 1 a12 a13 0 0 11 a 31 a 32 a 33 0 0 1 a 21 a 23 一二行对调 a 22 一二列对调 a12 a11 a13 二行改号 a 32 a 31 a 33 二列改号
FP K ，或 K FP 0
比较 K PJ ，记 P P
E
FP P2 E
1E
称等效结点荷载列阵，有 K PE 。
等效结点荷载由各单元附加约束反力矩集 成并且反号；也可先将各单元附加约束反力 矩反号（称之为单元等效结点荷载），然后 再集成。 于是，等效结点荷载的求法为 : （1）在结点上加附加约束，在原来荷载作用 下，求各单元附加约束反力矩 {FP } e ， 反其 方向（或不反方向，而改变正负号）， 即得 各单元等效结点荷载 {PE } e = – {FP } e 。 （2）应用单元定位向量，将各单元等效结点 荷载换码累加成结构等效结点荷载{PE } 。
20世纪70年代大DINA程序（建立在 DOS系统），现代建立于WINDOW系统的有 ANSYS程序、ALGOR程序等等。 我国计算机发展迅速、普及应用，创立了 “计算结构力学”新学科。单元形式的发展名 目繁多，方法各异。如：杆件单元、三角形单 元、矩形单元、等参元、样条元、杂交元、边 界元、有限条……。
e T e
e T e
T k T k
T 0 T 0
k11 T T0 k 21 0
T0 T k11 T0 T k 21
11 21
T T
e e e 0 e 0
T k T k
§13.3 单元分析(二)
——整体坐标系中的单元刚度矩阵
§13.3.1单元坐标转换矩阵
1、两种坐标系中单元杆端力的转换式：
2、单元坐标变换矩阵（正交矩阵）：
3、两种坐标系中单元杆端位移的转换式：
§13.3.2 整体坐标系中的单元刚度矩阵
● 称为整体坐标系中的单元刚度方程。
称为整体坐标系中的单元刚度矩阵。
第 13 章
结构矩阵分析
§13. 1 概 述
●
矩阵位移法
有限单元法雏形（也称：杆件有限元法）。 以传统结构力学理论（位移法）为基础； 以矩阵作为数学表述形式；
以电子计算机为计算手段。（三位一体）
●
历史回顾
1943年R. Courant首先提出有限元法思想。有限元法 数学理论基础：变分原理，变分法； 1946年电子计算机问世，使结构分析发生重大变革；
● 两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系：
k e
T k
T
T
e
● 刚度矩阵的转换关系分块计算式：
k11 k 21 T0 0
T
k12 k 22
e
k T k
e T
T
e e 0
k11 T0 k11 T0 kij T0 kij T0
i j
i j
对号入座 先定位后累加
§13.4.3 单元集成法的实施
先定位后累加 边定位边累加
§13.4.4 整体刚度矩阵的性质
（1）整体刚度系数的意义
[K]中的元素Kij为整体刚度系数，它表示当第j
个结点位移分量j=l（其他结点位移分量为零）
时所产生的第i个结点力Fi。
（2） [K] 是对称矩阵、稀疏矩阵和带状矩阵.
§13.4 连续梁的整体刚度矩阵
整体分析：建立整体刚度方程（结构结点力与 结点位移的关系），导出整体刚度矩阵。 建立整体刚度方程的两种方法： ①传统位移法 （考虑每个结点位移对{F}的单独贡献）。 ②单元集成法 （也称刚度集成法或直接刚度法），举例：
§13.4.1 单元集成法的基本概念
单元集成法：考虑每个单元对{F}的单独贡献。
忽略轴向受力状态和弯曲受力状态
之间的相互影响，分别推导轴向变形和
弯曲变形的刚度方程。
§13.2.1 一般杆件单元的刚度矩阵
§13.2.2 单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义 中的每个元素称为单元刚度系数，代表 由于单位杆端位移所引起的杆端力。 某一列的六个元素分别表示当某个杆端位 移分量等于1时引起的六个杆端力分量。 （2）单元刚度矩阵的对称性 , 根据反力互等定理得出的结论， 是对称矩阵。
nn n1
n1
1、在各结点附加约束，阻止结点转动，得基本体系， 计算荷载在此基本体系中产生的结点约束力， 记作 F M
1F p
M 2 F
2、放松各结点附加约束，即在各结点加结点力{F}， 使基本体系经历结点位移{}，有 K F 。 叠加以上两步，并使附加约束总的约束力为零，回 到结构实际受力变形状态。有 Fp F 0
90
T
k11
e
T0 k11
T
e 0
1 0 1 0 a11 a12 a13 0 1 0 1 a 0 0 21 a 22 a 23 0 0 1 a 31 a 32 a 33 0 0 1 0 a 21 a 22 a 23 0 a 1 0 0 11 a12 a13 a 31 a 32 a 33 0 0 1 a 22 a12 a 32 a 21 a11 a 31 a 23 a13 a 33
● 结构分析（手算） ● 结构矩阵分析（电算）
力法 位移法 混合法
矩阵力法（柔度法） 矩阵位移法（直接刚度法) 矩阵混合法
● 结构矩阵分析方法： 以结构力学的原理为基础
用矩阵代数表达计算公式 电子计算机为运算工具 ● 矩阵位移法：传统位移法思路 矩阵公式推演 电子计算机程序应用 ● 矩阵位移法程序简单、通用性强，适用各种杆系结构 。
T 0 T 0 0 0
T 0 T 0 T k T T k T
e 12 0 e 22 T 0 e 12 0 T e 22 0
k T k 0
12 22
0 T0
一、矩阵位移法基本方程
整体刚度方程为
M1 1 K M 2 2
若外力(矩)=结点力
P M1 1 P2 M 2
则在外力(矩) 有 K
P1 P2
作用下，结构在
1 2
（1）结构的离散化 ——划分单元与编码
◆
◆
整体（结构）坐标系 整体（结构）编码 ：● 单元码①②③…
● 结点码ABCD…（或1 2 3 4 …）
● 结点位移（力）码
◆ ◆
总码1 2 3 4 …
局部（单元）坐标系 局部（单元）编码：
● 杆端码 1 , 2 (或i, j)
● 杆端位移（力）码
局部码 (1)(2)...(6)
（3）一般单元刚度矩阵的奇异性 , 逆矩阵。 是奇异矩阵，因此不存在