2 0 2
F0 x20 2 2 M 0
所以方程的解为：
x(t ) A e
j(0t )
F0 jt e 2 2 M (0 )
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 所以，实际位移为：
F0 x(t ) Re x(t ) A cos(0t ) cos t 2 2 M (0 )


一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
零初始条件的振动位移
F0 x t cos t cos 0t 2 2 M 0
三角变换
2 F0 0 0 x t sin t sin t 2 2 M 0 2 2
1、无阻尼系统的强迫振动
质量元件M受两个作用力 ①弹性力
Dx
②外加推力 f(x)
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
运动方程式
~ ~ 用复数表示：x(t ) Re( x (t )) ， f (t ) Re( f (t ))
则运动方程化为：
d 2 x(t ) M Dx(t ) f (t ) F0 cos t 2 dt
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
1.1 单自由度机械系统的振动
1.1.2 单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动
内容提要

一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
2、有阻尼系统的强迫振动

二、强迫振动的过渡过程 三、强迫振动的稳态振动 1、机械阻抗 2、频率特性 3、激励力对振动系统的输入功率
一、强迫振动方程及其解
一个振动系统受到阻力作用后振动不能永 远维持，它要渐渐衰减到停止，因此要使 振动持续不停，就要不断从外部获得能量。
外力作用下的振动-强迫振动（受迫振动) （forced vibration ）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 谐合函数——正弦、余弦函数。
无阻尼强迫振动示意图
一、强迫振动方程及其解
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动 运动方程：
d 2 x(t ) dx(t ) jt M R Dx ( t ) F e m 0 2 dt dt
其解：
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
t
其中： x1 (t ) Ame
e
j( t 1 )
d x(t ) jt M Dx(t ) F0e 2 dt
2
（*）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，其一
般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次方
程一般解之和。
~ ~ ~ x t x1 t x2 t
方程的解=一般解＋特解
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
0 0
时‘拍’现象明 显 形成‘拍’振 动
0 ~ 0
时‘拍’现象不明 显
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
无阻尼系统的拍频振动规律 ①振动频率近似等于 ②“振幅”作慢周期变化，拍周期
2π 0
为齐次方程的解，已
在前面解出。此解数学上称为“通解”；物理中 称为“暂态解”。
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动 当
0 时,
2 0 2 0
x1 t Ame
t
cos 0t 1
, 0 系统的固有频率，决定于系统本身的参数 Am ,1 由系统的初始条件确定
1、无阻尼系统的强迫振动
结论：无阻尼振子在谐和力激励下是两个简谐振 动的合振动，一个是自由振动，另一个是强迫振 动；形成拍频振动。由于无阻尼，所以自由振动
总也不消失。
特例：当 0 时，振子振幅逐渐 (共振) 实际上，由于阻的存在，自由振动随时间增加会逐 渐消失，振动仅有强迫振动项，而达到稳态振动。
式中的
A
和

由初条件决定。
第一项：自由振动分量 第二项：强迫振动分量
结论：无阻尼系统在谐合力作用下的振动为两个
简谐振动的迭加。
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 取零初始条件
xt t 0 0
；
dx 0 dt t 0
F0 A cos 0 带入上式得 2 2 M 0 A0 sin 0 F0 ; 0 求得 A 2 2 M 0
~ 其中： x1 (t )为方程（*）所对应的齐次方程的解（通解） ~ x (t )为方程（*）的特解
2
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
据前，方程（*）的通解为：
x1 (t ) Ae
其中
j(0t )
0
D M
（1-1-1节已解出）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
有阻尼时，运动方程
d 2 x(t ) dx(t ) M Rm Dx(t ) f (t ) dt dt
外力为谐和力
F t F0 cost
复数表示：
~ x(t ) Re( x (t ))
~ F (t ) Re(F (t ))
设方程（*）特解的一般形式为
x2 t x20 e
jt
特解含义：按外力的振动规律而变，其振动频率
等于外力jt M Dx ( t ) F e 0 2 dt
2
（ *）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
得
F0 x20 M
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
0 sin t F0t 2 0 x t sin t 0 M 0 2 t 2
当 0
F0t x t sin t 2M
一、强迫振动方程及其解