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ch2a单自由度系统受迫振动


k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率: 0 1
外部作用力规律:
F (t) F0 cost
从左到右:
0.4, 1.01, 1.6
0 0 0
Saturday, June 06, 2020 18
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
Q 0
1 1 2
s
0
0
阻尼越弱,Q越大,带 宽越窄,共振峰越陡峭
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
16
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s) 180
以s为横坐标画出 (s) 曲线
(s)
tg
1
2s

x0
x 02
x(0)
x B02
0,x(0)
sin t
0
通解:
x1 (t)
x0
cos 0 t
x0
0
sin 0t
x2 (t)
Bs 1 s2
sin 0t
B 1 s2
sin
t
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
1
Bs s
2
sin 0t
1
B s
2
sin t
初始条件响应
自由伴随振动 强迫响应
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
(4)当 s 1 0
0.375
2
0.5
对应于较小 值, (s) 迅速增大 1
1
s
当 0
(s)
0
0
1
2
3
结论:共振 振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感,在 s=1 附近的区域内,
增加阻尼使振幅明显下降
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
零初始条件
x(t)
x1(t)
x2 (t)
1
Bs s
2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
(1) s < 1 ( 0 ) (T T0 )
稳态受迫振动进行一个循环时间内, 自由伴随振动完成多个循环
(2) s > 1 ( 0 ) (T T0 )
自由伴随振动进行一个循环时间 内,稳态受迫振动完成多个循环
受迫振动响应成为稳态响应曲线 上迭加的一个振荡运动
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<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动
F (t )
F (t )
x
弹簧-质量系统
设 F (t) F0eit F0 外力幅值
外力的激励频率
m
0
k
c
m mx
kx cx
实部和虚部分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应
• 稳态响应的特性
以s为横坐标画出 (s) 曲线
(s)
5
0
(s)
1
0.1
4
(1 s2 )2 (2s)2
3
0.25
幅频特性曲线
0.375
2
0.5
简谐激励作用下稳态响应特性: 1
1
s
(1)当s<<1( 0)
0
0
1
2
3
激振频率相对于系统固有频率很低
1
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Saturday, June 06, 2020 26
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
mx kx F0 sint
x(0) x0
x(0) x0
x(t)
x1 (t )
பைடு நூலகம்
x2 (t)
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
Bs 1 s2
sin 0t
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
13
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(5)对于有阻尼系统, max并不 出现在s=1处,而且稍偏左
d 0
ds
max 2
s
1
1 2
1 2 2
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
对应于不同 值,曲线较为密集,说明阻尼的影响不显著
结论:系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
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<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
0
0
0
1
2
3
结论:响应的振幅 很小
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
11
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(3)在以上两个领域 s>>1,s<<1
(s)
5
受力分析
振动微分方程: mx cx kx F0eit
Sxatu为rda复y, Ju数ne 变06, 量202,0 分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应 4 <<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程: mx cx kx F0eit
显含时间 t 非齐次微分方程
回顾:
mx cx kx F0eit
显含 t,非齐次微分方程
= + 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应
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单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
• 受迫振动的过渡阶段
单自由度系统受迫振动
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应
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<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
1 s2
90
相频特性曲线
(1)当s<<1( 0)
s
0
0
1
2
3
相位差 0 位移与激振力在相位上几乎相同
(2)当s>>1( 0 )
位移与激振力反相
(3)当 s 1
0
共振时的相位差为 2 ,与阻尼无关
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x
F0
ei(t )
Aei(t ) 17
mx cx kx F0eit
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
A F0
1
k (1 s2 )2 (2s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(
s)
tg
1
2s
1 s2
结论:
(1)线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率 、而相位滞后激振力的简谐振动
(2)稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 (m, k, c)和激振力的频率及力幅,而与系统进入运动 的方式(即初始条件)无关
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<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
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<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
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单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
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