1. 自相关函数是偶函数 R()R()
2. 当=0 时，自相关函数等于信号的能量
Rx(0) x2(t)d t Ex
3. Rx(0)为自相关函数的最大值
8
5.2 信号的相关分析
（二）无限长信号的自相关函数 无限长非周期函数：由有限时间信号的周期T0趋于 无穷大时获得的。
为使所得R() 的表达式不发散，定义新自相关函数：
ExEyExy
信号的互能量为：
Exy2x(t)y(t)dt
两函数的标量积：
(x,y)
x(t)y(t)d
t
6
5.1 信号的互能量与互能谱
(四)．广义瑞利公式、互能谱 1. 广义瑞利公式：
若信号x(t) 和 y(t) 为实函数，其频谱密度分别为
X()和Y() ，则
(x ,y ) x (t)y (t)d t1 X ()Y ()d
由此可见，两信号的互相关函数和互能谱是一对傅立叶变换。
R x(y) W x(y)X ()Y ()
（四）离散信号的互相关函数
Rxy() x(j)y(jn)
j
retu1r7n
作业：5-3，5-4， 5-10，5-11
retu1r8n
卷积： x(t)y(t)x ()y(t)d
互相关： R x(y) x ()y(t)d
16
5.4 信号的互相关函数
（三）相关定理
若 x(t) ， y (t ) 的频谱函数分别为 X () ，Y()
则： F R x(y) X ()Y ()
F R y( x) Y ( )X ( )
(二)．能量谱与功率谱
1. 能量谱:
E f2(t)d t 1
F(
)2d
2
该式为帕色伐尔（斯瓦尔）定理，又成称为瑞利公式。
它表明：对于能量信号，在时域内计算的信号能量与在频域 内计算的信号能量相等。
其中|F()|2 表明了信号能量在频域的分布情况，所以
被称为能量谱密度,简称能谱。记作：
W()F()2
（四）自相关函数与能谱的关系
Rx()21 X()2ejd
21 Wx()ejd
可见，自相关函数等于 信号能谱的傅立叶变换。由 此易得：
W x() Rx()ejd
10
5.2 信号的相关分析
（五）自相关函数与功率谱的关系
维纳—辛钦（Wiener-Khintchine）关系：
S()为信号的功率谱密度，
Rx(
)lim 1 T T0 0
T0
2 x(t)x(t)dt
T 2 0
周期函数：其自相关函数为
Rx(
)1
T 2
TT 2
x(t)x(t)dt
周期信号的自相关函数是 的周期函数，周期为T。
当=0 或 T 的整数倍时，x(t- )=x(t), Rx()达到最大值，
为x(t)的平均功率。
9
5.2 信号的相关分析
P 1 T2 f(t)2dt T2 T1 T1
设T2=T/2，T1=-T/2，则： p 1 T
T 2 T
2
f (t)2dt
当T时
若f(t)为 实函数
lim P
1
T T
T 2 T 2
f (t)2d t
（1.2—2）
lim 1
P T T
T 2 T 2
2
f (t)dt
3
5.1 信号的互能量与互能谱
2
s() limXT0()
T T0
0
则： S()R()ejd
R()21 S()ejd
retu1r1n
5.3 离散信号的自相关函数
离散信号的自相关函数：
R(n)x(j)x(jn)
j
性质：
1、离散自相关函数是偶函数 R(n)R(n)
2、在n=0时，自相关函数就是离散信号的能量
Rx(0) x2(j)Ex
所以
P 1 S()d
2
5
5.1 信号的互能量与互能谱
(三)．两信号的互能量
两信号x(t) 、y(t)之和的能量为：
E (x(t)y(t)（2 )两d信t号之和的能量，除
x 2 (t)d t 了y 外包2 ( ，含t) 还两d 包信 含号2 t一各 项 自 E的x x( y能）t) 量y (t)d
2
2. 互能谱：
W xy ()X()Y()
Wxy()称为信号x(t)、y(t)的互能谱密度，简称互能谱。
retur7n
5.2 信号的相关分析
（一）信号的自相关函数
为了定量地确定信号x(t) 与时移副本x(t-) 的差别或 相似程度，通常用自相关函数：
Rx() x(t)x(t)dt
自相关函数的特点：
如果两信号正交
x(t)y(t)dt0
说明正交信号之间毫无相似之处。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
13
5.4 信号的互相关函数
若 x(t),y(t) 为功率信号，则 x(t), y(t) 的互相关函数为
Rx(y
)lim 1 T T0 0
T0
2 x(t)y(t)dt
T 2 0
Ry(x
)lim 1 T T0 0
T0 2
T2 0
y(t)x(t)dt
14
5.4 信号的互相关函数
互相关函数性质：
1、互相关函数不是偶函数。
Rxy()Rxy() Ryx()Ryx()
2、Rxy( ) 和 Ryx( ) 不是同一个函数，即：
Rxy()Ryx()
但存在下列关系：
Rxy()Ryx()
15
5.4 信号的互相关函数
（二）相关与卷积的关系
E
|
f
(t)|2
dt
若f(t)为实数 E 如果在无限f大(2的t时)d间间t 隔内（，5.1—1） 信号的 能量为有限值，而信号 的平均功率为零
对于能量信号E为有限值。 2
5.1 信号的互能量与互能谱
信号的功率：信号电压（或电流）在1欧姆电阻上所消耗的功率。
在[T1，T2]时间内平均功率可表示为：
因为能谱是频谱密度模的平方，与相位无关。 对波形相同而时间位置不同的所有信号，其能谱完全相同。
4
5.1 信号的互能量与互能谱
2. 功率谱：
设 fT0 (t) 是 f (t) 的截短函数
fT0
(t)
f (t) 0
t
T0 2
t
T0 2
则f(t)的功率谱密度函数为
2
S() lim FT0()
T T0
0
第五章 信号相关分析原理
5.1 信号的互能量与互能谱 5.2 信号的相关分析 5.3 离散信号的自相关函数 5.4 信号的互相关函数 作业
1
(一由)公．式5信.1：号信的E能号量的与互功能I率2量R与d互t能谱U2dt
信号的能量： 指信号f(t)的归一化能 量，R即信号的电
当R=1时压，（即电可流得）公加式在（15电.1阻—上1）所。消耗的能量。
j
retu1r2n
5.4 信号的互相关函数
（一）互相关函数 描述两信号之间的相互关系，
设 x(t)、 y(t) 为即能两量信信号号波，形则的x相(t)似、程y(度t) ，的时互相关函数为 间轴上的位置差别
Rxy () x(t)y(t)dt 式中 为两信号的时差。
Ryx () y(t)x(t)dt