第三章 函数及其图象第一节 平面直角坐标系与函数的概念 1指引方向1．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义． 2．结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例． 3．能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．4．能确定简单实际问题中函数白变量的取值范围，并会求出函数值． 5．能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系． 6．结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论， 考点梳理1．平面直角坐标系的相关内容：(1)平面直角坐标系的有关概念：在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系.水平的数轴称为横轴（或x 轴），竖直的数轴称为纵轴（或y 轴）．两条数轴把平面分成四个部分，这四个部分称作四个象限(2)点的坐标：在平面内，任意一个点都可以用一组有序实数对来表示，如A (a ，b )．(a ，b )即为点A 的坐标，其中a 是点A 的 横 坐标，B 是点A 的 纵坐标． (3)点的坐标特征【设点P (a ，b )】： ①各象限点的特征：第一象限(+，+) ； 第二象限（—，+） ； 第三象限（一，一） ； 第四象限（+，一）． ②特殊点的特征：若点P 在x 轴上，则b =0 ； 若点P 在y 轴上，则a =0 ；若点P 在一、三象限角平分线上，则a =b ； 若点P 在二、四象限角平分线上，则a +b =0． ③对称点的特征：点P (a ，b )关于x 轴的对称点P ’（a ，一b ） 点P (a ，b )关于y 轴的对称点P ’（一a ，b ）点P (a ，b )关于原点的对称点P ’（一a ，一b ） ． (4)点的坐标延伸【设点P (a ，b )、点M (c ，d )】： ①点P 到戈轴的距离为a ，到y 轴的距离为b ．到原点的距离为22b a +． ②1)将点P 沿水平方向平移m (m >0)个单位后坐标变化情况为： 点P 沿水平向右方向平移m (m >0)个单位后坐标为(a +m ，b )； 点P 沿水平向左方向平移m (m >0)个单位后坐标为(a -m ，b )； 2)将点P 沿竖直方向平移n (n >0)个单位后坐标变化情况为： 点P 沿竖直方向向上平移n (n >0)个单位后坐标为(a ，b +n )； 点P 沿竖直方向向下平移n (n >0)个单位后坐标为(a ，b —n )． ③若直线PM 平行x 轴，则b =d ；若直线PM 平行y 轴，则a =c ； ④点P 到点M 的距离：PM =22)()(d b c a -+- ⑤线段PM 的中点坐标：(22db c a ++,)2．函数的有关知识：(1)常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生 变化 的量叫做变量．(2)函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量x 、y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么x 是自变量，y 是x 的函数． (3)函数的表示方法：①解析式法；② 图象法；③列表法．(4)函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：考点一 平面直角坐标系内点的坐标特征 【例1】（2016枣庄）已知点P （a +1，2a-+1）关于原点的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( C )解题点拨：首先根据题意判断出P 点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号),(+-，得到不等式0<1+a ，0>12+-a，解出a 的范围即可。

本题也可以先求出P 的对称点坐标，再列不等式0>1--a ，0<12-a解出．考点二 几何背景下的坐标变化【例2】（2016安顺）如图，将PQR ∆向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P 平移后的坐标是 （ A ）A ．（-2,-4)B ．（-2,4)C ．（2,-3)D ．（-1,-3)解题点拨：由题意可知，平面内任意一点（x ，y ）平移后的对应坐标是（2+x ，3-y ），照此规律计算可知顶点P （-4，-1）平移后的坐标是（-2，-4）。

考点三 自变量的取值范围【例3】(1)函数12+=x y 中的自变量x 的取值范围是 x 为一切实数 。

（1）函数121+=x y 中的自变量x 的取值范围是21-≠x 。

(3)函数12+=x y 中的自变量x 的取值范围是21-≥x 。

(4)函数12+=x xy 中的自变量x 的取值范围是0≥x 。

(5)函数12+=x x y 中的自变量x 的取值范围是21->x 。

(6)函数121++=x x y 中的自变量x 的取值范围是21-≥x 且0≠x 。

解题点拨：分别抓住分式、二次根式定义确定自变量x 的取值范围解题即可。

考点四 函数图象的简单应用【例4】（2016咸宁）已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB =54，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(O ，1)，当CP+DP 最短时，点P 的坐标为（ D ）A ．(0，0)B ．(1，21) C ．（56，53） D ．（710，75） 解题点拨：关于最短路线问题：在直线L 上的同侧有两个点A 、B ，在直线L 上有到A 、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点（注：本题C ，D 位于OB 的同侧）。

点C 关于OB 的对称点是点A ．连接AD ．交OB 于点P ，P 即为所求的使CP+DP 最短的点。

连接CP ，解答即可。

解：如图，连接AD ，交OB 于点P ，P 即为所求的使CP+DP 最短的点；连接CP 、AC ，AC 交OB 于点E ，过E 怍EF ⊥OA ，垂足为F 。

∵ 点C 关于OB 的对称点是点A ， ∴ CP=AP ，∴ AD 即为CP+DP 最短；∵ 四边形OABC 是菱形，OB=54， ∴ 5221==OB OE ，OB AC ⊥，又∵A(5，0)， ∴ 在R △AEO 中，5)52(52222=-=-=OE OA AE ； 易知Rt △OEF ∽Rt △OAE ∴AEEFOA OE =，∴25552=⨯=⋅=OA AE OE EF ， ∴ 42)52(2222=-=-=EF OE OF 。

∴ E 点坐标为E(4，2)，设直线OE 的解析式为：kx y =，将E(4，2)代入，得x y 21=， 设直线AD的解析式为：b x k y +'=，将A(5，0)，D(O ，1)代入，得151+-=x y ，∴ 点P 的坐标的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==15121x y x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==75710y x∴ 点P 的坐标为（710，75）。

课堂训练、课堂检测1．（2016荆门）在平面直角坐标系中，若点A （a ，b -）在第一象限内，则点B(a ，b )所在的象限是 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】 D2．（2015巴中）在函数21-=x y 互中，自变量x 的取值范围是 （ D ） A ．2-≠x B ．2>x C ．2<x D ．2≠x 【答案】 D3．（2016呼和浩特）已知平行四边形ABCD 的顶点A 在第三象限，对角线AC 的中点在坐标原点，一边AB 与x 轴平行且AB=2，若点A 的坐标为(a ，b )，则点D 的坐标为 。

【答案】 (a --2，b -)或(a -2，b -)4．（2016贺州）如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转︒90得到线段B A ''，求A （-2，5）的对应点A '的坐标是多少？【答案】解：∵线段AB 绕点O 顺时针旋转︒90得到线段B A ''， ∴ O B A ABO '''∆≅∆，︒='∠90A AO ， ∴ O A AO '=。

作y AC ⊥轴于C ,x C A ⊥''轴于C ', ∴ ︒=''∠=∠90O C A ACO 。

∵︒='∠90C CO ,∴ A CO C CO A CO A AO '∠-'∠='∠-'∠， ∴ C O A AOC ''∠=∠， 在ACO ∆和O C A ''∆中，⎪⎩⎪⎨⎧'=''∠=∠''∠=∠O A AO C O A AOC O C A ACO ∴ O C A ACO ''∆≅∆ (AAS)， ∴ C A AC ''=，O C CO '=， ∵ )5,2(-A ，∴ 2=AC ，5=CO ， ∴ 2=''C A ，5='C O ， ∴ )2,5(A '。

中考达标 模拟自测A 组 基础训练一、选择题1．（2016眉山）已知点M （1- 2m ，m-1）在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是( )【答案】 B2．（2016武汉）已知点A （a ，1）与点A '(5，b )关于坐标原点对称，则实数a 、b 的值是 ( )A ．5=a ,1=bB ．5-=a ,1=b C.5=a ,1-=b D.5-=a ,1-=b 【答案】 D3．（2016成都）平面直角坐标系中，点P( -2，3)关于x 轴对称的点的坐标为 ( )． A ．（-2，-3） B ．（2，-3） C ．（-3，-2） D ．（3，-2） 【答案】 A4．（2016武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】 A 二、填空题5．（2016金华）将一次函数62+-=x y 的图象向左平移 个单位长度，所得图象的函数表达式为x y 2-=。

【答案】 36．（2015庆阳）函数xxy 21-=的自变量x 的取值范围是 。

【答案】 21≤x 且0≠x 7．（2016荆州）若点M （k-l ，k+l ）关于y 轴的对称点在第二象限内，则一次函数k x k y +-=)1(的图象不经过第 象限。

【答案】 四 三、解答题8．（2016自贡）如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中︒=∠90CAB ，BC =5，点A 、B 的坐标分别为(1，0)、(4，0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x -6上时，线段BC 扫过的面积为多少平方厘米？【答案】 解：如图所示．∵ 点A 、B 的坐标分别为(1，0)、(4，0)， ∴ AB=3．∵︒=∠90CAB ，5=BC ， ∴ 4=AC ， ∴4=''C A ，∵ 点C '在直线62-=x y 上， ∴ 462=-x ，解得5=x 。