《九章算术》中一些常见的应用题
下面是从《九章算术》中选录的一些常见的应用题。
从这些题目的解法中，可以体会到古人是怎样思考问题的，对于活跃我们的解题思路，加深对传统文化的认识，都有一定好处。
原题1：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。
问：本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三。
术曰：置米五以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。
实如法得一斗。
译述：
“实如法得一斗”是古算书的一种习惯性说法，实如法得一“什么”的意思是“这样就得到什么数”。
“实如法得一斗”的意思是“这样就得到斗数”。
“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。
问：本持米几何？”——有人带了一批米出三道关口，外关按货物的三分之一收税，中关按货物的五分之一收税，内关按货物的七分之一收税，最后还剩下五斗米。
问：这个人本来带了多少米？
“答曰：十斗九升八分升之三。
”——答案是：10斗98
3升。
“术曰：置米五斗以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。
实如法得一斗。
”——解法是：用各关口计税时的总份数3、5、7乘5斗作为被除数，以各关口收税后余下的份数2、4、6相乘的积作为除数。
这样就得到斗数。
5×3×5×7÷[(3－1)×(5－1)×(7－1)]＝10.9375(斗)，10.9斗＝
10斗9升，0.0375升＝83升，所以，这个人本来带了10斗98
3升米。
现在的解法是：5÷(1－71)÷(1－51)÷(1－31)＝5÷76÷54÷3
2＝5×67×45×2
3＝5×7×5×3÷6÷4÷2＝……，与上式基本相同。
原题2：今有凫(f ú)起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。
今凫
雁俱起，问：何日相逢？答曰：三日十六分日之十五。
术曰：并日数为法，日数相乘为实。
实如法得一日。
“凫”就是野鸭。
译述：
“今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。
今凫雁俱起，问：何日相逢？”——野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天。
野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？
“答曰：三日十六分日之十五”——答案是：316
15日。
“术曰：并日数为法，日数相乘为实。
实如法得一日。
”——解法是：以各自需要的天数的和为除数，以各自需要的天数的积为被除数。
这样就得到日数。
(7×9)÷(7＋9)＝
1663＝316
15(日) 现在的解法是：1÷(71＋91)＝1÷9779⨯+＝(7×9)÷(7＋9)＝316
15(日)，与上式基本相同。
原题3：今有善行者一百步，不善行者六十步。
今不善行者先行一百步，善行者追之。
问：几何步及之？答曰：二百五十步。
术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步为法。
以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。
实如法得一步。
译述：
“今有善行者一百步，不善行者六十步。
今不善行者先行一百步，善行者追之。
问：几何步及之？”——有一个善于走路的人和一个不善于走路的人。
善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步。
现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？
“答曰：二百五十步。
”——答案是：250步。
“术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步为法。
以善
行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。
实如法得一步。
”——解法是：用善于走路的人的100步，减不善于走路的人的60步，所得的差40步为除数，用善于走路的人的100步，乘不善于走路的人先走的100步，所得的积为被除数。
这样就得到步数。
100×100÷(100－60)＝250(步)
现在的解法是：100÷(100－60)×100＝250(步)，与上式基本相同。
原题4：今有乘传委输空车日行七十里，重车日行五十里。
今载太仓粟输上林五日三返。
问：太仓去上林几何？答曰：四十八里十八分里之十
一。
术曰：并空重里数以三返乘之为法，令空重相乘，又以五日乘之为实。
实如法得一里。
译述：
“乘传”的意思是驾马车在驿站间行驶。
“委输”的意思是把货物放在车上运到别处。
“今有乘传委输空车日行七十里，重车日行五十里。
今载太仓粟输上林五日三返。
问：太仓去上林几何？”——驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里。
现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次。
问：太仓距上林多少里？
“答曰：四十八里十八分里之十一。
”——答案是：4818
11里。
“术曰：并空重里数以三返乘之为法，令空重相乘，又以五日乘之为实。
实如法得一里。
”——解法是：空车与重车所行里数的和乘3作为除数，空车与重车所行里数相乘的积乘5作为被除数。
这样就得到里数。
70×50×5÷[(70＋50)×3]＝4818
11(里) 现在的解法是：5÷[(701＋501)×3]＝5÷50
703)7050(⨯⨯+＝3)7050(50705⨯+⨯⨯＝4818
11(里)，与上式基本相同。
原题5：今有池五渠注之，其一渠开之少半日一满，次一日一满，次二日半一满，次三日一满，次五日一满。
今皆决之，问：几何日满也？答
曰：七十四分日之十五。
术曰：各置渠一日满池之数，并以为法。
(按此术，其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日五分满之一也。
并之，得四满十五分满之十四也。
)以一日为实。
实如法得一日。
译述：
“今有池五渠注之，其一渠开之少半日一满，次一日一满，次二日半一满，次三日一满，次五日一满。
今皆决之，问：几何日满也？”——一个水池有五条进水渠。
单开第一条水渠3
1日注满，单开第二条水渠1日注满，单开第三条水渠22
1日注满，单开第四条渠3日注满，单开第五条水渠5日注满。
五条水渠一齐开，问：几日注满水池？
“答曰：七十四分日之十五。
”——答案是：74
15日。
“术曰：各置渠一日满池之数，并以为法。
(按此术，其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日五分满之一也。
并之，得四满十五分满之十四也。
)以一日为实。
实如法得一日。
”——解法是：把各渠一日注满水池的次数相加作为除数。
(按照这个方法：第一条水渠1日注满3次，第二条水渠1日注满1次，第三条水渠1日注满水池的52，第四条水渠1日注满水池的3
1，第五条水渠1日注满水池的51。
加在一起，得415
14。
)以1日为被除数。
这样就得到日数。
1÷(3＋1＋52＋31＋51)＝74
15(日) 现在的解法是：1÷(311＋1＋2
121＋31＋51)＝1÷(3＋1＋52＋31＋51)＝74
15(日)，与上式基本相同。
从以上各题可以看出：《九章算术》所提供的解题方法的确很便捷，非常有利于数学知识的普及，不足之处是缺少对对算理的阐述，好在这个缺憾在刘徽的注释中有所弥补，这是值得庆幸的。