.矢量形式
ma F
a
d2r dt 2
m
d2r dt 2
F
2.直角坐标形式
m
d2x dt 2
F x
m
d2 y dt 2
F y
m
d2z dt 2
F z
3.自然形式
m d2S F
dt 2
v2
m
F
n
0 Fb
质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形 式, 柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求解质点 动力学的两类问题。
研究内容:
质点动力学
质点系动力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
动力学的两类基本问题： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力、部分运动，求另一部分力、
部分运动；已知主动力，求运动，再由运动求约束力。
理论力学
第八章 质点动力学
sin
0
,
v0
,
待求
0
t 瞬时 , M A , xS , yH , vx , vy
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
m
dvx dt
m
dvy dt
0
mg
dx dt
dy dt
c1 gtc2
x
y
c1t c3 1 gt2
2
c2t
c4
微分方程 积分一次
再积分一次
代入初始条件得 : c1 v0cos0 ,c2 v0sin0 ,c3 c4 0
Tmax
G(1
v02 ) gl
G
G g
v02 l
因此 0时 , T Tmax
[注]①动拉力Tmax由两部分组成,
一部分即物体重量G,称为静拉力；一部分Gg
v02 l
由加速度引起，称为附加动拉力。
②减小绳子拉力的方法：减小跑车速度或者增加绳子长度。 。
例： 离心式转速计工作原理如图所示。弹性细绳ACD系住的 小球质量为m。弹性细绳的原长(未受力时的长度)为CD，弹性
例：煤矿用填充机进行填充, 为保证充
填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶
板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速
度v0 ? (2)初速v0 与水平的夹角a0？
解：选择填充材料M为研究对象，受力
如图所示，M作斜抛运动。建立图示坐标系。
t
0, x0
0,
y0
0; v0x
v0
cos0 , v0 y
v0
常数为k。设AB=CB=l，试求转速计稳定转动（ 0 ）时,其
转动轴的角速度ω与偏角θ的关系以及杆AB所受的力。
解：取小球A为研究对象，受力如图b（空间汇交力系）。
小球的加速度：
aA
a
n A
AB sin
2
l sin
2
细绳的弹性力F沿AC线，大小为
F k CA k 2l sin
2
小球A的运动微分方程：
v0
(v0cos0 )2 (v0sin0 )2
g 2s2 2gH 10.5 m/s 2gH
0
tg
1
v0 sin 0 v0 cos 0
tg1 2H s
31
例：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。 设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始 时质点在介质表面上被无初速度释放。
如果sinθ≠0，则由第（1)式可解得：
S l(k m 2 )
此即杆AB所受的力，方向与S相反。 再将S的值代入第（2)式，注意到三角关系，可解
得：
kl mg ml cos
系统稳定转动时的最小角速度为
（此时 cos 1 ）
min
kl mg ml
第一类问题解题步骤和要点：
①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
则运动方程为:
则轨迹方程为: y
x
v0tcos0
xtan0
12, ygvv00t2scixno0s2 20012
gt
2
最高点A处
dy dt
v0
s in 0
gt
0,
t v0 sin0
g
将到达A点时的时间t、x=S、y=H 代入运动方程，得
v0cos0
sg 2gH
v0sin0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
四、质点动力学的两类基本问题
1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力。 ----求微分问题。
2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律。 ----按质点运动的初始条件和力的函数关系对运动
微分方程进行求解，从数学角度看，是解微分方程或求 积分，并确定相应的积分常数的问题。
例：桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运 动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因 惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象 ②任一时刻受力分析如图所示 ③任一时刻运动分析，沿以O 为圆心, l为半径的圆弧摆动。
④列出自然形式的质点运动微方程
ma F ,
G g
dv dt
Gsin
1
man Fn ,
G v2 T Gcos
gl
2
⑤求解未知量
由2式得 T G(cos v2 ) ,
gl
其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 ,
§8–1 惯性参考系中的质点动力学 §8–2 非惯性参考系中的质点动力学
§8-1 惯性参考系中的质点动力学
一、动力学基本定律（牛顿三定律） 1.第一定律（惯性定律）：
2.第二定律（力与加速度之间的关系定律）： ma F
3.第三定律（作用与反作用定律）：
二.惯性参考系：牛顿三定律成立的参考系。
1.一般工程问题：固连于地面或相对于地面作匀速直线平动的物 体； 2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星； 3.天体运动问题：太阳为中心、三轴指向三个恒星。
理论力学
引言
动力学：研究物体的运动与所受力之间的关系 力学模型： 1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点； 刚体作平动时,刚体 质点。
2.质点系：由有限或无限个有一定联系的质点组成的系统。
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成，又称为不变质点系。
S
s in
F
cos
2
maA
即
S cos F sin mg 0
2
S sin 2klsin cos ml 2 sin
22
S cos 2klsin 2 mg 0
2
S sin 2klsin cos ml 2 sin
22
S cos 2klsin 2 mg 0
2
（1） （2）