【解析】 f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，
∴a＝1，m＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，
f1n＝nn1＋1＝n1－n＋1 1，
用裂项法求和得 Sn＝n＋n 1.
【答案】
n n＋1
5．(2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 f(x)，
如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称 f(x) 为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如
故数列lg
a1n的前 6 项的和最大．
规律方法 1 1.1本题的切入点是求 a1，从而得 an 与 Sn 的关 系，转化成等比数列求通项公式；2递减的等差数列的前 n 项和 有最大值，运用函数思想求解.
2.等差数列与等比数列的联系： 1若数列{an}是等差数列，则数列{aan}是等比数列，公比为 ad，其中 a 是常数，d 是{an}的公差.a＞0 且 a≠1. 2若数列{an}是等比数列，且 an＞0，则数列{logaan}是等差数 列，公差为 logaq，其中 a 是常数且 a＞0，a≠1，q 是{an}的公比.
【解析】 每天植树的棵树构成以 2 为首项，2 为公比的 等比数列，其前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝211－－22n＝2n＋1－2.由 2n＋1－2≥100，得 2n＋1≥102. 由于 26＝64,27＝128，则 n＋1≥7， 即 n≥6. 【答案】 6
考向一 [096] 等差数列与等比数列的综合应用
(2)当 λ＝100 时，令 bn＝lg a1n， 由(1)知，bn＝lg 120n0＝2－nlg 2，
于是数列{bn}是公差为－lg 2 的递减数列．
b1>b2>…>b6＝lg
12060＝lg
100 64 >lg
1＝0，
当 n≥7 时，bn≤b7＝lg
12070＝lg
100 128<lg
1＝0.
成等差数列，则 S4＝( ) A．7
B．8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．15
D．16
【解析】 设数列{an}的公比为 q，则 4a2＝4a1＋a3， ∴4a1q＝4a1＋a1q2，即 q2－4q＋4＝0，∴q＝2. ∴S4＝11－－224＝15. 【答案】 C
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒
的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这样
抓
住
挖
２
掘
个
１
基
大
础
技
知 识
第五节 数列的综合应用
法
点
掌
握
课
３
堂
个
限
核
时
心
检
考
测
向
[考情展望] 1.结合函数、不等式、方程、几何等知识，综合 考查数列的相关性质，如最值、不等关系的证明等.2.在具体情景中， 借助等差或等比数列的有关知识解决实际问题．
一、数列应用题常见模型 1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模 型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． 2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． 3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不 固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an 与 an＋1 的递推关系，还 是前 n 项和 Sn 与 Sn＋1 之间的递推关系．
的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A．6 秒钟
B．7 秒钟
C．8 秒钟
D．9 秒钟
【解析】 设至少需要 n 秒钟，则 1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，
∴11－－22n≥100，∴n≥7.
【答案】 B
3．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝4π，则 tan(a2＋a12)的值为________．
【解析】 ∵{an}是等差数列，且 a1＋a7＋a13＝4π， ∴a1＋a13＝a2＋a12＝2a7. 又 3a7＝4π，故 2a7＝83π. ∴tan(a2＋a12)＝tan83π＝tan23π＝－ 3.
【答案】 － 3
4．设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f′(x)＝2x＋1，则数列f1n (n∈N*)的前 n 项和是________．
(2012·四川高考改编)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 常数 λ＞0，a1≠0，且 λa1an＝S1＋Sn 对一切正整数 n 都成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 λ＝100，当 n 为何值时，数列lg
a1n的前 n 项和最大？
【思路点拨】 (1)由 an 与 Sn 的关系，得 an 与 an－1 的递推公
②中，ffaan＋n1＝22aan＋n 1＝2an＋1－an＝2(q－1)an 不满足定义．
对于③，fan＋1＝ fan
aan＋n 1＝ |q|满足定义．
对于④，取 an＝2n，则 f(an)＝ln|2n|＝n·ln 2 不是等比数列．
综上知，①、③是“保等比数列”函数．
【答案】 C
6．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第 一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最 少天数 n(n∈N*)等于________．
二、解答数列应用题的步骤 1．审题——仔细阅读材料，认真理解题意． 2．建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题 转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． 3．求解——求出该问题的数学解． 4．还原——将所求结果还原到原实际问题中．
1．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，且 4a1,2a2，a3
式，利用等比数列的定义求 an；(2)根据等差(比)数列的性质，求
lg
a1n前 n 项和的最值．
【尝试解答】 (1)当 n＝1 时，λa21＝2S1＝2a1， ∵a1≠0，∴a1＝2λ， 从而 2an＝2λ＋Sn，① 当 n≥2 时，2an－1＝2λ＋Sn－1，② 由①－②，得 2an－2an－1＝an， ∴an＝2an－1(n≥2)， 故数列{an}是公比为 2，首项 a1＝2λ的等比数列， 因此 an＝2λ·2n－1＝2λn.
下函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝ |x|；
④f(x)＝ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
【解析】 设等比数列{an}的公比为 q，则aan＋n 1＝q， ①中，ffaan＋n1＝aa2n＋2n 1＝q2，∴①满足定义，