第26卷第6期大 学 数 学V ol.26, .6 2010年12月COLLEGE M AT H EM AT ICS Dec.2010数学分析教学与三种基本数学能力的培养钱晓元(大连理工大学数学科学学院,大连116024)[摘 要]基本的专业数学能力可分为三个方面:数学发现能力,数学论证能力和数学表达能力.本文结合数学分析课程的教学实践,阐述通过具体教学环节,贯彻培养三种能力的有效途径和方法.[关键词]教学;数学分析;数学能力[中图分类号]G642.0 [文献标识码]C [文章编号]1672 1454(2010)06 0203 041 引 言数学类专业教育主要有两大目标,一是掌握数学知识,二是培养数学能力.由于当今知识内容的爆炸性增长,知识更新周期的加快,以及现代社会的学习型特点和创新性要求,对数学能力的重视程度则日益提高,成为数学专业教育的主导价值.数学能力是一个笼统的概念,目前还没有公认的严格定义.就教育方面而言,数学能力,就是运用数学基本理论和方法解决数学及其应用中遇到的实际问题的能力.这种能力的培养,从初等教育甚至学前教育已经开始,但是作为大学数学类专业教育的目标,在质和量方面必然有更高的层次和追求.具体地说,就是在掌握数学科学遵循的游戏规则基础上,从事包括数学的研究、应用和教学在内的各种专业数学工作的能力.我们认为,基本的专业数学能力可以分为以下三个方面:数学发现能力,数学论证能力和数学表达能力.数学发现能力,指的是发现未知数学事实和联系,包括理解和模仿前人发现的能力.数学论证能力,是运用逻辑演绎方法证明数学命题的能力.而数学表达能力,是用合乎数学通用规范的学术语言,准确、清晰、简洁地陈述有关数学发现和论证内容的能力.显然,要有效地解决数学及其应用问题,必须同时具备这三种能力并加以综合运用,缺一不可.从另一个角度来看,一个合格的数学类专业毕业生,其专业训练带来的技能优势,主要就体现在这三个方面.数学分析是数学类专业最重要的一门基础课,数学类专业开设的多数专业课程都可以看成数学分析的后续课.在数学分析的教学中,系统地培养数学发现、论证和表达能力,是理所当然的.本文将就这一课题,结合数学分析课程的教学实践,阐述通过具体教学环节,贯彻培养三种能力的有效途径和方法.2 数学分析教学与数学发现能力的培养数学科学具备特有的思维模式,它以形式逻辑为基础,以演绎推理为手段,建立了坚固宏伟的知识体系.数学分析以实数理论奠基,首先建立严格的极限理论,次第展开微分、积分、无穷级数等内容.数学以逻辑演绎为基础的特性得到充分的体现,而数学定理基于直观、经验和数值实验的发现过程,反倒容易被忽略.数学学科的一些重大的发展,一些重要的数学思想、概念、方法及理论的提出和形成,却并[收稿日期]2008 01 11[基金项目]大连理工大学教改基金204大 学 数 学 第26卷不归功于形式逻辑,而是来源于外部世界的需求和推动,来源于其他的思维模式![1].考察数学发展的历史不难看出,其他的思维模式!主要是在直观、经验和数值实验中发现的一些事实基础上,经过类比、联想、概括、抽象等过程,提出数学上有意义的命题.这种基于有限归纳得到的命题称为猜想,而猜想在经过严格的演绎证明之后,就能成为定理.可以说,通过其他思维模式采集矿石,再用逻辑演绎加以检验,除去杂质,留下真金.要培养数学发现的能力,在数学分析教学中就不能仅仅强调严格的定义、严谨的证明和严整的体系,也要透彻地阐释导致人们形成和发现这些定义、定理以及体系的有限归纳基础.对于许多本身来源于物理问题的重要结果,例如求极值的驻点法,牛顿 莱布尼兹公式,场论的三大定理等等,要说明这些发现的来龙去脉自然有章可循.那么,完全由数学自身逻辑体系的发展建立起来的理论,比如实数理论,有界闭集上连续函数性质,函数项级数一致收敛等等,怎样与有限归纳联系起来呢?这里没有物理和工程方面的经验可以借鉴,但是几何直观和数学推理的有限经验,仍然是解决问题的钥匙.例如,实数连续统理论是公认最为抽象的,其中的确界性、单调有界原理、闭区间套定理、柯西准则、列紧性、紧性等基本定理,思想极其深刻,内涵异常丰富,初学者常有高不可攀的感觉.但是,从几何角度看,这些定理不过是从不同的侧面,表现了直线没有洞!的直观性质.基于这一点,可以多作一些有启发性的图形,有助于理解形成几个基本定理的思路,还能加深对这些定理内在统一性的认识.类似地,连续函数性质也能作出比较好的可视化介绍.一致收敛之类概念,本身的几何直观不甚明显.它们产生于数学证明的需要,例如函数项级数的一致收敛,几乎就是为处理幂级数量身定做!的.但是其概念的引入,也是建立在之前积累的数学推理经验上的,具备有限归纳的特征.比如早在数列的柯西收敛准则中,就有着一致性!的影子.总结这方面的经验,指出其数学思想的继承性,不仅有助于学生理解认识概念本身,而且提供了一种可以举一反三的数学思维模式,以及灵活运用这种模式的范例.引进问题驱动的教学模式,是培养数学发现能力的有效途径.问题驱动把问题置于数学教学的中心位置,由解决问题的需要引入数学方法,而不是为了练习数学方法才设置问题.对问题的探索有提出问题和解决问题两个方面,前者更难教也更难学,容易被回避或被忽视,但是对于数学真理的发现更为重要.然而孤立地培养提问能力容易流于泛泛的空谈,不易与课程自身内容良好结合,也不能取得实际的进展.我们认为,培养学生提问题的能力,可以结合求解现有的问题进行.很多时候,解决一个问题的关键,就在于提出相关的问题.在数学分析中,这样的例子不胜枚举.关键在于即使学生提出的新问题一时得不到答案,或者丝毫无助于解决原来的问题,仍应充分肯定其价值,并且鼓励学生进一步衍化、派生出更多有意义的问题,这样容易取得具体的成果,使学生在这一过程中获得越来越多的乐趣和动力.3 数学分析教学与数学论证能力的培养严格的逻辑训练是数学训练区别于其他一切学科的一个最根本的特点和优点![1]不管数学教学如何改革,这一点必须始终坚持.目前在普通数学教育中,经典平面几何的比重下降,对于数学逻辑演绎能力的训练严重不足.导致数学专业的学生也害怕证明题,对于通过学习掌握严格的逻辑演绎方法缺乏足够的信心.作为专业数学教育的入门课,数学分析理所当然要承担起强化逻辑思维和演绎证明能力的任务.在教学实践中我们发现,要实质性地提高学生的数学论证能力,必须首先解决以下几个看起来相当平凡的问题.首先是对数学概念的理解要完整、准确.对于一个引进的新概念,不光要知道它是什么!,也要深入想一想它不是什么!,什么是它!和什么不是它!,并且找到正确答案.学生理解概念模糊,主要是没有养成这样多方位深入思考的习惯.总是浅尝辄止,自己觉得是学过了,用到的时候却拿不准,或者一直有误解,用错了也不知道.有了收敛!的定义,就要能够写出不收敛!的定义.学了基本列!的概念,接着就要弄清不是基本列!的含义究竟是什么.在教学中从一开始就提出这样的要求,并且作出示范,每个概念、每个命题都要按照这一模式去思考.宁可把进度放慢一点,而把基础打得更牢靠一些,也体现出教学的侧重点由传输知识转向培养能力的改革.其次是熟练掌握数学演绎推理的两个常用方法:反证法和数学归纳法.它们对学生来说都不陌生,但是实际应用的训练不够.这导致学生遇到问题时缺乏主动运用这两种方法的意识,也缺少正确运用的技能.比如数学归纳法有很多变体,如先对2的幂做证明,再用倒退法完成归纳.对这些变体学生了解有限,应用时往往因无法 对号入座!而找不到证明的门径.还有的命题包含不止一个自然数参数,学生用数学归纳法做证明时,就很容易把逻辑关系搞错.数学分析中运用反证法的时候,经常需要将连续的情形离散化,就是说对关于连续变量的命题找到等价的离散表述,如H eine 定理是典型的例子.这些内容未必需要开设专题讲述,但应该多讲解几个例子,阐述其中的思想,再经过适当的练习,基础好的学生就能够举一反三,灵活运用了.第三是掌握一些处理极限问题常用的论证技巧.比如,论证包含极限的等式,基本上都是用不等式来做,这一点与初等数学乃至高等代数中的等式证明方法截然不同.还有处理极限问题经常采用的 分而治之!方法,在数学分析的定理证明中反复出现,也是整个分析领域中常用不辍的利器,在复变函数、实变函数、微分方程等后续课程中都有许多应用的范例.在数学分析教学中,选择适当的时候将这些论证方法总结一番,分析其中的共同点和针对不同问题灵活运用的处理手段,再让学生自己动手做一些有关的习题,以强化论证技巧的训练.这几项内容都比较初等,但即使是高年级的学生,甚至是其中成绩优良的少数人,也不见得能够充分掌握.而且,随着课程内容日益专门化,学生将更难抽出时间和精力弥补这些属于基础范畴的薄弱环节.因此,在数学分析教学的早期,从每一个细节入手,抓好数学论证的基本功训练,对学生数学专业能力的培养至关重要.4 数学分析教学与数学表达能力的培养数学表达能力通常在论证中得到体现,所以传统上很少将这两种能力分开进行讨论.但是学生们经常遇到的问题是:有了正确的论证思路,却表达不出来.就象辛苦栽培的果实成熟后却无法收获,这种情况比完全没有解题思路更加令人难受.很多学生就是在多次经受这种折磨之后,完全丧失了学习数学分析带来的乐趣和学好数学分析的的信心.其实,与论证能力相比,表达能力比较容易获得加强.而一旦表达的问题解决了,学生可以把精力集中到发展数学思维上,发现能力和论证能力的就能够更好地得到培养.数学分析中的论证规模宏大,思想深刻,为数学表达提供了许多经典范例.对初学者来说,我们主要强调以下几个方面的要领,加以专门训练.一是要把握数学术语的确切含义,避免与其在日常生活语言中的用法相混淆.比如分析中常用的 对任意的∀,存在一个∀!,很多学生想当然地认为 任意!意味着 有很多选择!,这意味着 这个选择是可变的!,而这又意味着 这个选择是变化的!!通过借助于普通语言进行的思考过程,日常语言中固有的不确定性、随时变易性一步一步侵入推理过程,带来严重的误导.其实, 任意!虽然表示选择的多样,但这是在作出选择之前可能性的多样,而当作出选择之后,就是一个确定的常数,没有再变动的余地了.而所谓 存在一个!反倒是不止 一个!,通常是无限多个.这些内涵,可以通过具体命题的证明实例,进行比较细致的分析,使学生能够正确掌握和运用.二是熟悉近代数学符号体系,根据需要引进适当的符号.学生在做数学分析论证时,遇到的常见问题之一是符号贫乏.例如对希腊字母感到陌生,除非照搬课本上的内容,很少主动使用.一旦用到了,书写也不规范,经常与英文字母以及某些数字混淆,比如 和 都写成6的样子.又如线段或线段只会用 AB !、 CD !之类表示,而不会更紧凑的记号.符号贫乏经常导致论证中符号使用混乱,影响表达的准确流畅.学一学整个希腊字母表,包括习惯上经常放在一起使用的字母组合等,是有必要的.符号使用的一致性,也是数学表达的重要原则,例如大写字母A ,B,S 等表示集合,相应的小写字母a,b,s 等表示集合的元素;小写字母f ,g 等表示被积函数,相应的大写字母表示原函数等等,这些常识性内容可以结合具体例子予以概括,指出其中蕴涵的一般性原则.很多情况下,设计得当的符号对于找到解决数学问题的正确思路还能提供关键的启发,有许多例子可以说明这一点.[2]205第6期 钱晓元:数学分析教学与三种基本数学能力的培养206大 学 数 学 第26卷三是学会处理复杂的逻辑关系.因为A,所以B;因为B,所以C;∀!这样的直线推理远远不够用了,要掌握多个逻辑分支的树状推理模式.建议抛弃中学惯用的三点式的因为!所以!,因为它们不适合表达非线性的树状推理.应该用连接词表达树状逻辑关系,如又因为!,A与B结合得到C!等.应该让学生了解.数学表达所使用的语言是严谨规范的,但也有丰富生动的一面,不是越机械越好.在树状推理的表达中.交叉引用、重复引用是不可避免的,而将公式标号以便后面引用是数学文献中的标准做法,应该及早让学生学习使用.引理的使用,作为更高级的表达技巧,也可以适当介绍给学生.即使做练习时不用,也可以开阔眼界,体会让数学表达更准确、清楚、简洁的要领.5 结 论实现培养数学能力的目标,需要对什么是数学能力、受过专业数学训练的人应该具备什么样的能力进行比较具体的分析.我们认为,数学发现能力、论证能力和表达能力,是构成数学专业能力的基础.三种能力相互关联,但彼此间也有明显的差异和不同的侧重.就单个学生而言,这三种能力的发展也很不平衡.即使是学习成绩比较优秀的学生,也会在某一方面暴露出明显的弱点.做出这一分类,对于发现阻碍学生数学能力进步的症结所在,展开针对性的教学,具有实际意义.[参 考 文 献][1] 李大潜.数学科学与数学教育刍议[J].中国大学教学,2004,(4):4-9.[2] 陶哲轩.解题#成长#快乐∃∃∃陶哲轩教你学数学[M].于青林,译.北京:北京大学出版社,2009.Mathematical Analysis Teaching and Training of ThreeBasic Mathematical AbilitiesQI A N X iao y uan(Schoo l o f M athematical Sciences,Dalian U niv ersity of T echnolo gy,Da lian116024,China)Abstract:W e divide the basic pr ofessional mat hematical ability into thr ee categ or ies:the mathematical ability o f discov ery,the mathemat ical ability of r easo ning and the mathematical ability of ex pr ession.We discuss efficient w ays and met ho ds fo r tr aining the three abilities in concrete teaching process,w ith pr act ice in the mathematical analysis co urse as illust ratio n.Key words:teaching;mathematical analysis;mat hematical ability。