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质点动力学
2-4-4 机械能守恒定律
质点系的动能定理： 其中
W内 W外 Ek 2 Ek1
W内 W保内 W非保内
W外 W保内 W非保内 Ek 2 Ek1
W保内 E p 2 E p1
W外 W非保内 Ek 2 Ep 2 Ek1 Ep1
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质点动力学
为什么我们可以把动能看作是物体所具有 的一种作功的本领？
利用动能作功的例子
在中国三峡水电站安装
世界最大的水力发电机定子
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质点动力学
注意
• 动能是标量，仅是状态量v 的单值函数，也 是状态量； • 功与动能的本质区别：它们的单位和量纲相 同，但功是过程量，能是状态量。功是能量 变化的量度； • 功和能具有普遍意义； • 动能定理由牛顿第二定律导出， 只适用于 惯性参考系，动能也与参考系有关。
所以：
Fx
E p x
Fy
E p y
Fz
E p z
保守力的矢量式：
E p E p E p F x i y j z
结论：
k
保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系 统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向 指向势能降低的方向。
a
a
b b F1 dr F2 dr Fn dr
a a
W W1 W2 Wn
结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点
作功之代数和
。
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质点动力学
在直角坐标系Oxyz中
F Fx i Fy j Fz k
质点动力学
§2-4 能量守恒定律
2-4-1 功和功率
功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力 对空间积累作用。
物体发生了位移 r ，则 把力在位移方向的分力与 位移 r 的乘积称为功。
功的定义： 在力 F 的作用下，
z
r
O
F

F
r1
x
y
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质点动力学
W F r cos F r
解：
F 6t a 3t m 2
v t
dv a dt
dv adt 3t dt
3 2 两边积分： dv 3tdt v t 0 0 2 3 2 dx dx vdt t dt v 2 dt 2 3 2 9 42 A F dx 6t t dt t 36 ( J ) 0 2 4 0
机械能守恒定律
当系统只受保守内力作功时，质点系的总机 械能保持不变。
注意：
（1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合 于非惯性系。这是因为惯性力可能作功。 （2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯 性系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与 参考系的选择有关。对一个参考系外力功为零， 但在另一参考系中外力功也许不为零。
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质点动力学
保守力与势能的积分关系： 保守力与势能的微分关系：
W E p
dW dE p
因为：
dW F dr Fx dx Fy dy Fz dz
dE p E p x dx E p y dy E p z dz
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质点动力学
说明：（1）势能是一个系统的属性。
（2） 势能的大小只有相对的意义，相对 于势能的零点而言。 （3）势能的零点可以任意选取。 设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点 r 的势能为：
E p (r ) E (r ) E p (ro ) F dr
ro r
结论：
势能曲线对照表
势能随位置变化的曲线～势能曲线
保守力 重 力 势能（E p ） mgh
1 2
势能零点 h=0
Ep 0
势能曲线 h
Ep
弹 力
kx
2
x=0
Ep
0 0
x
引 力
mM G r
r=∞
r
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质点动力学
锥 体 为 什 么 上 滚 ？
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质点动力学
跳高采用那种方式最好，为什么？
设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为ΔS ，则有
S1 S 1 1 2 1 2 2 0 mv 0 kxdx k ( S1 S ) kS1 S1 2 2 2
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质点动力学
2 ( S1 S ) 2 2S1
化简后
S1 S 2S1
第二次能敲入的深度为：
S 2S1 S1 ( 2 1) 1cm 0.41cm
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质点动力学
2-4-3 保守力与非保守力
（1）重力的功
初始位置
势能
z
a( x a , y a , z a )
b( xb , yb , z b )
末了位置
za a
zb
r
Wab
假设物体沿 x 轴运动，外力 在该方向的分 力所做的功可 用右图中曲线 下面的面积表 示
Fx
Fx f ( x)
O
xa
xb
x
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功和参考系
功与参考系有关，具有相对性
质点动力学
举 例
f
以车厢为参考系，摩擦力不作功。以地面为 参考系，摩擦力作功。一般情况下，通常约定 以地面为参考系。
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弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关， 而与弹性变形的过程无关。
作功特点：
作功与路径无关，只与始末位置有关的力。
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质点动力学
保守力和非保守力的定义：
若
若
A l F dr 0,
A l F dr 0,
F为保守力。
F为非保守力。
物体沿闭合路径绕行一周，这些力所作的功恒 为零，具有这种特性的力统称为保守力。没有这种 特性的力，统称为非保守力。
物体在保守力场中a、b两点的势能Epa与 Epb之差，等 于质点由a点移动到b点过程中保守力所做的功Wab。
E pa E pb
b
a
F dr Wab
Wab ( E pb E pa ) E p
保守力做功在数值上等于 系统势能的减少。
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质点动力学
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质点动力学
机械能
E Ek Ep
W外 W非保内 E2 E1
质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于所有外力和所 有非保守内力所作功的代数和。
如果
W外 W非保内 0
E E k E p 恒量
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质点动力学
机械能守恒演示实验
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质点动力学
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质点动力学
2．质点系的动能定理
一个由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。 质点的动能定理：
Wi外 Wi内 E k 2i E k1i
对系统内所有质点求和
i
n
Fi
W
i 1
n
i内
Wi外 E k 2i E k1i
i 1
n
n
fi
i 1
i 1
万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而 与具体路径无关。
（3）弹性力的功
m
o x1
F
m
由虎克定律：
F kxi
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a x2
x
x b
质点动力学
x2 x2 W F dx kxi dxi kxdx
x1 x1
1 2 1 2 W kx1 kx2 2 2
解 设铁锤敲打钉子前的
速度为v0，
敲打后两者的共同速 度为v。
O
S1 S2
Mv0 ( M m) v Mv 0 v M m
x
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质点动力学
铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻 力大小为：
f kx
M m , v v0
由动能定理， 有：
S1 1 1 2 2 0 mv 0 kxdx kS1 0 2 2
国际单位：焦耳（J ）N· m
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力F 所
作的功 。
元功： dW F dr
W
b a
dr
F
b
b F dr F cos dr
a
a
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质点动力学
合力的功：
W

b
a
b
b F dr F1 F2 Fn dr


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质点动力学
2-4-2 动能和动能定理
1．质点动能定理 动能： 质点因有速度而具有的作功本领。 1 2 单位：（J） Ek mv 2
设质点m在力的作用下沿 曲线从a点移动到b点 元功：
dr
a

b
dW F dr F cos ds
F
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质点动力学
保守力： 重力、弹性力、万有引力、静电力 非保守力： 摩擦力、爆炸力
Why ?
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作功与路径无关
F d r 0
Wacb Wadb
a
质点动力学
证明： 设保守力沿闭合路径acbda作功
作功与路径无关： 因为： 所以：
Wacb Wbda