数学初中竞赛大题训练:几何专题1.阅读理解:如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”.证明“四点共圆”判定定理有:1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆;2、若平面上四点连成的四边形对角互补,那么这四点共圆.例:如图1,若∠ADB=∠ACB,则A,B,C,D四点共圆;或若∠ADC+∠ABC=180°,则A,B,C,D四点共圆.(1)如图1,已知∠ADB=∠ACB=60°,∠BAD=65°,则∠ACD=55°;(2)如图2,若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点,且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2,求AE 的长;(3)如图3,正方形ABCD的边长为4,等边△EFG内接于此正方形,且E,F,G分别在边AB,AD,BC上,若AE=3,求EF的长.解:(1)∵∠ADB=∠ACB=60°,∴A,B,C,D四点共圆,∴∠ACD=∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣60°﹣65°=55°,故答案为:55°;(2)在线段CA取一点F,使得CF=CD,如图2所示:∵∠C=90°,CF=CD,AC=CB,∴AF=DB,∠CFD=∠CDF=45°,∴∠AFD=135°,∵BE⊥AB,∠ABC=45°,∴∠ABE=90°,∠DBE=135°,∴∠AFD=∠DBE,∵AD⊥DE,∴∠ADE=90°,∵∠FAD+∠ADC=90°,∠ADC+∠BDE=90°,∴∠FAD=∠BDE,在△ADF和△DEB中,,∴△ADF≌△DEB(ASA),∴AD=DE,∵∠ADE=90°,∴△ADE是等腰直角三角形,∴AE=AD=2;(3)作EK⊥FG于K,则K是FG的中点,连接AK,BK,如图3所示:∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°,∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆,∴∠KBE=∠EGK=60°,∠EAK=∠EFK=60°,∴△ABK是等边三角形,∴AB=AK=KB=4,作KM⊥AB,则M为AB的中点,∴KM=AK•sin60°=2,∵AE=3,AM=AB=2,∴ME=3﹣2=1,∴EK===,∴EF===.2.问题再现:如图1:△ABC 中,AF 为BC 边上的中线,则S △ABF =S △ACP =S △ABC 由这个结论解答下列问题: 问题解决:问题1:如图2,△ABC 中,CD 为AB 边上的中线,BE 为AC 边上的中线,则S △BOC =S 四边形ADOE.分析:△ABC 中,CD 为AB 边上的中线,则S △BCD =S △ABC ,BE 为AC 边上的中线,则S △ABE =S △ABC ∴S △BCD =S △ABE∴S △BCD ﹣S △BOD =S △ABE ﹣S △BOD又∵S △BOC =S △BCD ﹣S △BOD ,S 四边形ADOE =S △ABE ﹣S △BOD 即S △BOC =S 四边形ADOE问题2:如图3,△ABC 中,CD 为AB 边上的中线,BE 为AC 边上的中线,AF 为BC 边上的中线.(1)S △BOD =S △COE 吗?请说明理由.(2)请直接写出△BOD 的面积与△ABC 的面积之间的数量关系:S △BOD = S △ABC .问题拓广:(1)如图4,E 、F 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点,请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系:S 阴=S 四边形ABCD .(2)如图5,E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点,请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系:S 阴=S 四边形ABCD .(3)如图6,E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点, 若S △AME =1、S △BNG =1.5、S △CQF =2、S △DPH =2.5,则S 阴= 7 .解:问题2:S △BOD =S △COE 成立,理由:∵△ABC 中,CD 为AB 边上的中线, ∴S △BCD =S △ABC , ∵BE 为AC 边上的中线, ∴S △CBE =S △ABC ∴S △BCD =S △CBE∵S △BCD =S △BOD +S △BOC ,S △CBE =S △COE +S △BOC ∴S △BOD =S △COE(2)由(1)有S △BOD =S △COE , 同(1)方法得,S △BOD =S △AOD ,S △COE =S △AOE , S △BOF =S △COF ,∴S △BOD =S △COE =S △AOE =S △AOD , ∵点O 是三角形三条中线的交点, ∴OA =2OF ,∴S △AOC =2S △COF =S △AOE +S △COE =2S △COE , ∴S △COF =S △COE ,∴S △BOD =S △COE =S △AOE =S △AOD =S △BOF =S △COF , ∴S △BOD =S △ABC,故答案为问题拓广:(1)如图4:连接BD,由问题再现:S△BDE =S△ABD,S△BDF =S△BCD,∴S阴影=S四边形ABCD,故答案为,(2)如图5:连接BD,由问题解决:S△BMD =S△ABD,S△BDN=S△BCD,∴S阴影=S四边形ABCD,故答案为;(3)如图6,设四边形的空白区域分别为a,b,c,d,∵S△AME =1、S△BNG=1.5、S△CQF=2、S△DPH=2.5,由(1)得出:a+1+2.5=a+3.5=S△ACD①,c+1.5+2=c+3.5=S△ACB②,b +1+1.5=b +2.5=S △ABD ③, d +2+2.5=d +4.5=S △BCD ④,①+②+③+④得,a +3.5+c +3.5+b +2.5+d +4.5=a +b +c +d +14=S 四边形ABCD ⑤ 而S 四边形ABCD =a +b +c +d +7+S 阴影⑥ ∴S 阴影=7, 故答案为7.3.如图,在△ABC 中,AB >AC ,内切圆⊙I 与边BC 切于点D ,AD 与⊙I 的另一个交点为E ,⊙I 的切线EP 与BC 的延长线交于点P ,CF ∥PE 且与AD 交于点F ,直线BF 与⊙I 交于点M 、N ,M 在线段BF 上,线段PM 与⊙I 交于另一点Q .证明:∠ENP =∠ENQ .证明:如图,设⊙I 与AC 、AB 分别切于点S 、T ,连接ST 、AI 、IT ,设ST 与AI 交于点G .则IE ⊥PE ,ID ⊥PD ,故I 、E 、P 、D 四点共圆, ∵AS 2=AE •AD =AG •AI , ∵∠EAG =∠DAI , ∴△AEG ∽△AID ,∴∠AGE=∠AID,∴E,G,D,I四点共圆,∴I、G、E、P、D五点共圆,∴∠IGP=∠IEP=90°,即IG⊥PG,∴P、S、T三点共线,对直线PST截△ABC,由梅涅劳斯定理知,∵AS=AT,CS=CD,BT=BD,∴,设BN的延长线与PE交于点H,对直线BFH截△PDE,由梅涅劳斯定理知,∵CF∥BE,∴,∴,∴PH=HE,∴PH2=HE2=HM•HN,∴,∴△PHN∽△MHP,∴∠HPN=∠HMP=∠NEQ,∵∠PEN=∠EQN,∴∠ENP=∠ENQ.4.如图,△ABC的垂心为H,AD⊥BC于D,点E在△ABC的外接圆上,且满足,直线ED交外接圆于点M.求证:∠AMH=90°.证明:作高BP,CQ.连结MB、MC、MP、MQ、PQ.===•①=•=•②由①②得:=,又∵∠MBA=∠MCA,∴△MBQ∽△MCP,∴点M、A、P、Q四点共圆,即点M、A、P、Q、H五点共圆,又AH为直径,∴∠AMH=90°.5.如图,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD 和AC交于点N.求证:OH⊥MN.证明:∵A 、C 、D 、F 四点共圆, ∴∠BDF =∠BAC又∵∠OBC =(180°﹣∠BOC )=90°﹣∠BAC , ∴OB ⊥DF . ∵CF ⊥MA ,∴MC 2﹣MH 2=AC 2﹣AH 2(①) ∵BE ⊥NA ,∴NB 2﹣NH 2=AB 2﹣AH 2 (②) ∵DA ⊥BC ,∴BD 2﹣CD 2=BA 2﹣AC 2 (③) ∵OB ⊥DF ,∴BN 2﹣BD 2=ON 2﹣OD 2 (④) ∵OC ⊥DE ,∴CM 2﹣CD 2=OM 2﹣OD 2,①﹣②+③+④﹣⑤,得NH 2﹣MH 2=ON 2﹣OM 2 MO 2﹣MH 2=NO 2﹣NH 2 ∴OH ⊥MN .6.在图1到图4中,已知△ABC 的面积为m .(1)如图1,延长△ABC 的边BC 到点D 使CD =BC ,连接DA ,若△ACD 的面积为S 1,则S 1= m .(用含m 的式子表示)(2)如图2,延长△ABC 的边BC 到点D ,延长边CA 到点E ,使CD =BC ,AE =CA ,连接DE .若△DEC 的面积为S 2,则S 2= 2m .(用含a 的代数式表示)(3)如图3,在图2的基础上延长AB 到点F ,使BF =AB ,连接FD 于E ,得到△DEF ,若阴影部分的面积为S 3,则S 3= 6m .(用含a 的代数式表示)(4)可以发现将△ABC 各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF ,如图3,此时,我们称△ABC 向外扩展了一次.可以发现扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 7 倍.(5)应用上面的结论解答下面问题:去年在面积为15平方面的△ABC 空地上栽种了各种花卉,今年准备扩大种植规模,把△ABC 内外进行两次扩展,第一次由△ABC 扩展成△DEF ,第二次由△DEF 扩展成△MGH ,如图4,求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少平方米?解:(1)∵CD =BC ,∴△ABC 和△ACD 的面积相等(等底同高), 故得出结论S 1=m .(2)连接AD ,,∵AE =CA ,∴△DEC 的面积S 2为△ACD 的面积S 1的2倍, 故得出结论S 2=2m .(3)结合(1)(2)得出阴影部分的面积为△DEC 面积的3倍, 故得出结论则S 3=6m . (4)S △DEF =S 阴影+S △ABC =S 3+S △ABC =6m +m =7m =7S △ABC故得出结论扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的7倍.(5)根据(4)结论可得两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为(7×7﹣1)×15=720(平方米),答:求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为720平方米.7.(1)如图①,AD 是△ABC 的中线,△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系?为什么? (2)若三角形的面积记为S ,例如:△ABC 的面积记为S △ABC ,如图②,已知S △ABC =1,△ABC 的中线AD 、CE 相交于点O ,求四边形BDOE 的面积. 小华利用(1)的结论,解决了上述问题,解法如下: 连接BO ,设S △BEO =x ,S △BDO =y , 由(1)结论可得:S,S △BCO =2S △BDO =2y , S △BAO =2S △BEO =2x .则有,即.所以.请仿照上面的方法,解决下列问题:①如图③,已知S △ABC =1,D 、E 是BC 边上的三等分点,F 、G 是AB 边上的三等分点,AD 、CF 交于点O ,求四边形BDOF 的面积.②如图④,已知S △ABC =1,D 、E 、F 是BC 边上的四等分点,G 、H 、I 是AB 边上的四等分点,AD 、CG 交于点O ,则四边形BDOG 的面积为.解:(1)S △ABD =S △ACD . ∵AD 是△ABC 的中线, ∴BD =CD ,又∵△ABD 与△ACD 高相等, ∴S △ABD =S △ACD .(2)①如图3,连接BO ,设S △BFO =x ,S △BDO =y ,S △BCF =S △ABD =S △ABC = S △BCO =3S △BDO =3y , S △BAO =3S △BFO =3x .则有,即,所以x +y =,即四边形BDOF 的面积为; ②如图,连接BO ,设S △BDO =x ,S △BGO =y ,S△BCG =S△ABD=S△ABC=,S△BCO =4S△BDO=4x,S△BAO =4S△BGO=4y.则有,即,所以x+y=,即四边形BDOG的面积为,故答案为:.8.我们初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.例如:平方差公式、完全平方公式.【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证:13+23=32?【解决问题】A表示1个1×1的正方形,即:1×1×1=13B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.由此可得:13+23=32【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33=62.要求:自己构造图形并写出详细的解题过程.【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33+…+n3=.(参考公式:)注意:只需填空并画出图形即可,不必写出解题过程.【提炼运用】如图,下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的,如图(1)中,共有1个小立方体,其中1个看的见,0个看不见;如图(2)中,共有8个小立方体,其中7个看的见,1个看不见;如图(3)中,共有27个小立方体,其中19个看的见,8个看不见;求:从第(1)个图到第(101)个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数.解:【递进探究】如图,A表示一个1×1的正方形,即:1×1×1=13,B、C、D表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23,E、F、G表示3个3×3的正方形,即:3×3×3=33,而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形,边长为:1+2+3=6,,∵S A+S B+S C+S D+S E+S F+S G=S大正方形∴13+23+33=62;【推广探究】由上面表示几何图形的面积探究知,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2,又∵1+2+3+…+n=,∴13+23+33+…+n3=()2=.【提炼运用】图(1)中,共有1个小立方体,其中1个看的见,0=(1﹣1)3个看不见;如图(2)中,共有8个小立方体,其中7个看的见,1=(2﹣1)3个看不见;如图(3)中,共有27个小立方体,其中19个看的见,8=(3﹣1)3个看不见;…,从第(1)个图到第(101)个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为:(1﹣1)3+(2﹣1)3+(3﹣1)3+…+(101﹣1)3=03+13+23+…+1003=50502=25502500.故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为25502500.故答案为:62;.9.问题引入:如图,在△ABC中,D是BC上一点,AE=AD,求:尝试探究:过点A作BC的垂线,垂足为F,过点E作BC的垂线,垂足为G,如图所示,有=,=,.类比延伸:若E为AD上的任一点,如图所示,试猜S四边形ABEC 与S△ABC的比是图中哪条线段的比,并加以证明.拓展应用:如图,E为△ABC内一点,射线AE于BC于点D,射线BE交AC于点F,射线CE交AB于点G,求的值.解:问题引入:∵在△ABC中,D是BC上一点,AE=AD,∴,,∴==;尝试探究:∵AE=AD,∴=,∵AF⊥BC,EG⊥BC,∴AF∥EG,∴△EDG∽△ADB,∴=;∵===,∴=1﹣=;故答案为:,,;类比延伸:=,∵E为AD上的一点,∴=,=,∴==;拓展应用:∵==,同理:=,=,∴==2.10.如图,在凸四边形ABCD中,M为边AB的中点,且MC=MD,分别过点C、D作边BC、AD 的垂线,设两条垂线的交点为P,过点P作PQ⊥AB于Q,求证:∠PQC=∠PQD.证明:连接AP、BP,取AP的中点E,取BP的中点F,连接DE、ME、QE、CF、QF、MF,如图.∵E为AP的中点,F为BP的中点,M为AB的中点,∴EM∥BP,EM=BP,MF∥AP,MF=AP.∵E为AP的中点,F为BP的中点,∠ADP=∠BCP=90°,∴DE=AE=EP=AP,FC=PF=BF=BP,∴DE=MF,EM=FC.在△DEM和△MFC中,,∴△DEM≌△MFC(SSS),∴∠DEM=∠MFC.∵EM∥BP,MF∥AP,∴四边形PEMF是平行四边形,∴∠PEM=∠PFM.又∵∠DEM=∠MFC,∴∠DEP=∠CFP.∵DE=AE,FC=BF,∴∠DAE=∠ADE=∠DEP,∠FBC=∠FCB=∠CFP,∴∠DAE=∠FBC,即∠DAP=∠PBC.∵∠ADP=∠AQP=90°,E为AP中点,∴ED=EA=EQ=EP=AP,∴D、A、Q、P四点共圆,∴∠PQD=∠DAP.同理可得:∠PQC=∠PBC,∴∠PQD=∠PQC.11.如图:D是以AB为直径的圆O上任意一点,且不与点A、B重合,点C是弧BD的中点,作CE∥AB,交AD或其延长线于E,连接BE交AC与G,AE=CE,过C作CM⊥AD交AD延长线于点M,MC与⊙O相切,CE=7,CD=6,求EG的长.解:连接OC,如图.∵MC与⊙O相切,∴OC⊥MC.∵CM⊥AD,∴OC∥AM.∵CE∥AB,∴四边形AOCE是平行四边形,∴OA=CE=7,∴AB=14.∵点C是弧BD的中点,∴BC=CD=6.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴AC===4.∵CE∥AB,∴△CGE∽△AGB,∴===,∴AG=AC=.在Rt△ACB中,cos∠BAC===.∵点C是弧BD的中点,∴∠BAC=∠CAD,即∠BAC=∠EAG,∴cos∠EAG=.在△EAG中,cos∠EAG=.∴=.∵AG=,AE=CE=7,∴=.整理得:GE2=.∵GE>0,∴GE=.∴EG的长为.12.如图,圆内接四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于E,AD、BC延长线交于F,EF中点为G,AG与圆交于K.求证:C、E、F、K四点共圆.证明:延长AG到H,使得GH=AG,连接EH、FH、CK,如图所示.∵GH=AG,EG=FG,∴四边形AEHF是平行四边形,∴∠EAG=∠GHF,∠GAF=∠GHE.∵A、B、C、K四点共圆,∴∠KCF=∠EAG,∴∠KCF=∠GHF,∴K、C、H、F四点共圆.∵K、C、A、D四点共圆,∴∠KCD=∠KAF,∴∠KCD=∠GHE,∴K、C、E、H四点共圆,∴K、C、E、H、F五点共圆,∴C、E、F、K四点共圆.13.在半圆O中,AB为直径,一直线交半圆周于C、D,交AB延长线于M(MB<MA,AC<MD),设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点,求证:∠MKO=90°.证明:连接CK,BK,BC,如图所示.∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°,∴∠OAC+∠ABC=90°.∵A、B、C、D四点共圆,∴∠BDC=∠BAC.∵A、O、C、K四点共圆,∴∠CKO=∠OAC.∵D、O、B、K四点共圆,∴∠BKO=∠BDO.∴∠BKC=∠BKO﹣∠CKO=∠BDO﹣∠OAC.∵OB=OD,∴∠ABD=∠BDO.∴∠BMC=∠ABD﹣∠BDC=∠BDO﹣∠BAC=∠BKC.∴B、C、K、M四点共圆.∴∠ABC=∠MKC.∴∠MKO=∠MKC+∠CKO=∠ABC+∠OAC=90°.14.已知,在△ABC中,AC>AB,BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E,与BC相交点D,DE与AC相交于点F.(1)如图1,当∠ABC=3∠ACB时,求证:AB=AE;(2)如图2,当∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACB,过点D作AC的垂线,垂足为点H,并延是点D关于直线AC的对长DH交射线AE于点M,过点E作BP的垂线,垂足为点G,点D1之间的数量关系,并证明你的结论.称点,试探究AG和MD1解:(1)证明:连接BF,如图1.设∠A CB=x,则∠ABC=3x,∵FD垂直平分BC,∴FB=FC,∴∠FBC=∠FCB=x,∴∠ABF=∠AFB=2x,∴AB=AF,∠PAC=4x.∵AE平分∠PAC,∴∠EAC=2x.∵∠AFE=∠DFC=90°﹣x,∴∠AEF=180°﹣∠EAF﹣∠AFE=180°﹣2x﹣(90°﹣x)=90°﹣x,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∴AB=AE..(2)AG=MD1证明:作EN⊥AC于N,取EC中点O,、NM、MC、MO、NO、EB、EC,如图2.连接AD1∵AE平分∠PAC,EN⊥AC,EG⊥AP,∴EG=EN,∠EGA=∠ENA=90°.∵∠BAC=90°,∴∠EGA=∠ENA=∠BAC=90°,∴四边形EGAN是矩形.∵EG=EN,∴矩形EGAN是正方形,∴AG=AN,∠EAN=45°,∠GEN=90°.∵ED垂直平分BC,∴EB=EC.在Rt△BEG和Rt△CEN中,,∴Rt△BEG≌Rt△CEN(HL),∴∠GBE=∠NCE,∠GEB=∠NEC,∴∠GEN=∠BEC=90°∵EB=EC,∴∠ECB=∠EBC=45°.∵∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACB,∴∠ABC=60°,∠ACB=30°,∴∠ABE=∠ACE=15°.∵∠BAC=90°,点D为BC中点,∴AD=CD,∴∠DAC=∠DCA=30°.∵点D与点D关于AC对称,1AC=∠DAC=30°,∴∠D1=45°﹣30°=15°.∴∠MAD1∵DA=DC,DM⊥AC,∴DM垂直平分AC,∴MA=MC,∴∠CMH=∠AMH=90°﹣45°=45°,∴∠AMC=90°,∴∠ENC=∠AMC=90°.∵点O为EC中点,∴ON=OM=OE=OC=EC,∴E、N、C、M四点共圆,∴∠EMN=∠ECN=15°,∴∠MAD=∠EMN=15°,1中,在△AMN和△MAD1,,∴△AMN≌△MAD1,∴AN=MD1.∴AG=MD115.在平面直角坐标系中,已知A(2,2),AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C.(1)如图1,E为线段OB上一点,连接AE,过A作AF⊥AE交x轴于F,连EF,ED平分∠OEF交OA于D,过D作DG⊥EF于G,求DG+EF的值;(2)如图2,D为x轴上一点,AC=CD,E为线段OB上一动点,连接DA、CE、F是线段CE的中点,若BF⊥FK交AD于K,请问∠KBF的大小是否变化?若不变,求其值;若改变,求其变化范围.解:(1)∵AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C,∴∠ABO=∠ACO=90°.∵∠BOC=90°,∴四边形ABOC是正方形,∴AB=AC=BO=CO=2,OA平分∠BOC,∠BAC=90°.∵AF⊥AE,∴∠EAF=90°,∴∠BAC=∠EAF,∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC,即∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中,,∴△ABE≌△ACF(ASA),∴AE=AF,BE=CF.设BE=CF=t,OE=2﹣t,OF=2+t.∵ED平分∠OEF,∴点D是△OEF的内心.如图1,作DM⊥OB于M,作DH⊥OF于H,且DG⊥EF于G,∴DG=DM=DH,∴四边形MOHD是正方形,∴MO=HO=DM=DG.设DG=MO=x,∴x=,∴x=,∴EF=4﹣2x,∴WF=2﹣x.∴DG+EF=x+2﹣x=2.即DG+EF的值为2;(2)∠KBF的大小不变,∠KBF=45°如图2,延长BF交AC于G,连接KG,作KM⊥AB于M,KN⊥AC于N,∵四边形ABOC是正方形,∴O B∥AC.∴∠EBF=∠CGF,∠BEF=∠GCF.∵F是CE的中点,∴EF=CF.在△BEF和△GCF中,,∴△BEF≌△GCF(AAS),∴BF=GF.∵BF⊥FK,∴∠BFK=∠GFK=90°.在△BFK和△GFK中,,∴△BFK≌△GFK(SAS)∴BK=GK.∵AC=CD,∠ACD=90°,∴△ACD是等腰直角三角形,∴∠CAD=45°.∵KN⊥AC,∴∠ANK=90°,∴∠AKN=45°,∴AN=KN.∵KM⊥AB,∴四边形AMKN是正方形,∴KM=KN.∠M=∠GNK=90°AM∥KN.在Rt△BKM和Rt△GKN中,,∴Rt△BKM≌Rt△GKN(HL),∴∠MBK=∠NGK.∠GKN=∠BKM.∵AM∥KN,∴∠BKN=∠MBK.∵∠BKM+∠BKN=90°,∴∠GKN+∠BKN=90°,即∠BKG=90°.∵BK=GK,∴△BKG是等腰直角三角形.∴∠KBF=45°,∴∠KBF的大小不变,∠KBF=45°.16.如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,直线MN⊥AB于A,且分别与⊙O1,⊙O2交于M、N,P为线段MN的中点,又∠AO1Q1=∠AO2Q2,求证:PQ1=PQ2.解:连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2,过点P作PH⊥Q1B于H,如图所示.则由圆内接四边形的性质可得:∠Q1MA+∠ABQ1=180°,∠ABQ2+∠ANQ2=180°,∠MAB=∠BQ2N.由圆周角定理可得:∠ABQ 1=∠AO 1Q 1,∠ANQ 2=∠AO 2Q 2. ∵∠AO 1Q 1=∠AO 2Q 2, ∴∠ABQ 1=∠ANQ 2,∴∠ABQ 2+∠ABQ 1=∠ABQ 2+∠ANQ 2=180°, ∴Q 1、B 、Q 2三点共线.由圆内接四边形的性质可得:∠ABQ 1=∠ANQ 2, ∴∠Q 1MA +∠ANQ 2=∠Q 1MA +∠ABQ 1=180°, ∴MQ 1∥NQ 2. ∵AB ⊥MN , ∴∠MAB =90°,∴∠Q 1Q 2N =∠MAB =90°. ∵PH ⊥Q 1B ,即∠Q 1HP =90°, ∴∠Q 1HP =∠Q 1Q 2N , ∴PH ∥NQ 2, ∴MQ 1∥PH ∥NQ 2. ∵P 为线段MN 的中点, ∴H 为线段Q 1Q 2的中点, ∴PH 垂直平分Q 1Q 2, ∴PQ 1=PQ 2.。