2020届重庆巴蜀中学高三适应性月考卷(二)数学(理)试题一、单选题1.已知α是第二象限角,且sin 45α=,则cos α=( ) A .45B .45-C .35D .35-【答案】D【解析】通过同角三角函数的平方关系,结合α是第二象限角,cos α为负值,直接代入解得答案. 【详解】∵α是第二象限角,且sin 45α=,可得3cos 5α==-, 故选:D . 【点睛】本题考查同角三角函数关系,注意象限角的符号即可,属于基础题.2.集合A ={x |(x ﹣1)(x ﹣7)≤0},集合B ={x |x =2k +1,k ∈N },则A ∩B =( ) A .{1,7} B .{3,5,7}C .{1,3,5,7}D .{1,2,3,4,5,6,7}【答案】C【解析】先求出集合A 与B ,求出两集合的交集即可. 【详解】∵集合()(){}{}|=17017|Ax x x x x ≤≤≤=﹣﹣, 集合B ={x |x =2k +1,k ∈Z }, ∴A ∩B ={1,3,5,7}, 故选:C . 【点睛】本题考查集合的运算,此类题目一般比较简单,只需将两集合解出,再进行交并补运算即可求解.3.向量a =r (1,2),b =r (2,λ),c =r (3,﹣1),且(a b +r r )∥c r ,则实数λ=( ) A .3 B .﹣3C .7D .﹣7【答案】B【解析】向量a r ,b r ,计算可得a b +r r ,再由c r 和(a b +rr )∥c r ,代入向量平行的性质公式计算,即可求解. 【详解】根据题意, 向量=a r(1,2),=b r(2,λ),则()=32+a b λ+,rr ,c =r (3,﹣1),且(a b +r r )∥c r ,则有()()3132+0λ⨯--=, 解可得=3λ-, 故选:B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质,属于平面向量常考题型.4.已知随机变量X 服从正态分布N (3,σ2),且P (x ≤1)=0.1,则P (3<X ≤5)=( ) A .0.1 B .0.2C .0.3D .0.4【答案】D【解析】根据已知随机变量X 服从正态分布N (3,σ2),得到正态分布曲线关于=3x 对称,又根据题目P (x ≤1)=0.1,由对称性可得()50.1P x ≥=,因此得到P (1≤X ≤5)的值,再乘12即为所求. 【详解】∵随机变量X 服从正态分布N (3,σ2), ∴正态分布曲线关于=3x 对称, 又P (x ≤1)=0.1, ∴()50.1P x ≥=, ∴()()510.1235==0.422P X P X ≤≤-⨯≤1<=,故选:D 【点睛】本题考查正态分布概率问题,此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解,属于基础题.5.函数πsin(2)3y x =-的图象的一条对称轴方程为( )A .π12x =B .π12x =-C .π6x =D .π6x =-【答案】B【解析】试题分析:令232x k πππ-=+,即5212k x ππ=+()k Z ∈,当1k =-时,12x π=-,故选B.【考点】1、两角差的正弦函数;2、正弦函数的图象与性质.6.定义H (x )表示不小于x 的最小整数,例如:H (1.5)=2,对x ,y ∈R ,则下列正确的是( ) A .H (﹣x )=﹣H (x ) B .H (2﹣x )=H (x )C .H (x +y )≥H (x )+H (y )D .H (x ﹣y )≥H (x )﹣H (y )【答案】D【解析】根据题意,可用特殊值法进行逐一排除,最后得到正确选项. 【详解】∵定义H (x )表示不小于x 的最小整数,A 选项,令()()1.5, 1.5=11.5=2x H H =----,,显然错误, B 选项,令()()3,233x H H =-≠,显然错误,C 选项,令()()()1.5, 2.5,=4=5x y H x y H x H y ==++,,故错误,D 选项根据排除法,因此正确,故选:D . 【点睛】此类问题属于定义新概念题型,根据定义去判断各个推论是否正确,此类问题最快速的办法是举特例进行排除,可快速锁定答案,属于中等题.7.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b +c =acosB +acosC ,则A =( )A .2π B .3π C .6π D .23π 【答案】A【解析】由题意代入余弦定理,可得到三边a ,b ,c 的等式,化简可得222a b c =+,从而得到△ABC 为直角三角形,A 为直角. 【详解】由b +c =acosB +acosC ,根据余弦定理可得,22222222a c b a b c b c a a ac ab +-+-++=,22222222a c b a b c b c c b+-+-++=, ()()()2332a b c bc b c b c b c bc+++-++=()()()()222=2a b c bc b c b c b bc c bc+++-+-+,进一步化简可得222a b c =+ ∴△ABC 为直角三角形,2A π=.故选:A . 【点睛】本题考查余弦定理的应用,考查运算求解能力,通过余弦定理找到各边之间的关系,然后推导出角的大小,属于中等题.8.对任意x ∈R ,存在函数f (x )满足( ) A .f (cosx )=sin 2x B .f (sin 2x )=sinx C .f (sinx )=sin 2x D .f (sinx )=cos 2x【答案】D【解析】根据题意,对任意x ∈R ,存在函数f (x )满足,对选项逐一判断即可. 【详解】对于A 选项,取x =4π,则cos x =2,sin2x =1,∴f (2)=1;取x =4π-,则cos x ,sin2x =-1,∴f )=-1;∴f (2)=1和-1,不符合函数的定义,故不满足题意; 对于B 选项,取x =0,则sin2x =0,∴f (0)=0; 取x =2π,则sin2x =0,∴f (0)=1; ∴f (0)=0和1,不符合函数的定义,故不满足题意;对于C 选项,取x =4π,则sin x =2,sin2x =1,∴f (2)=1;取x =34π,则sin x =2,sin2x =-1,∴f (2)=-1;∴f 和-1,不符合函数的定义,故不满足题意; 对于D 选项, ∵22=12sin cos x x -,∴f (sinx )=cos 2x =212sin x -,即对任意x ∈R ,存在函数f (sinx )=cos 2x , 只有D 选项满足题意. 故选:D . 【点睛】本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式,需要对公式和概念的熟练掌握,属于简单题.9.在三棱锥S ﹣ABC 中,SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,且SA =2,AB =1,BC =则三棱锥S ﹣ABC 外接球的表面积为( ) A .4π B .6πC .8πD .10π【答案】C【解析】由勾股定理可得AC ,求得△ABC 外接圆的半径,从而再利用勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径,即可求出三棱锥S -ABC 的外接球的表面积. 【详解】∵AB ⊥BC ,AB =1,BC =∴由勾股定理可得AC =2, ∴AC 是△ABC 外接圆的直径,∴△ABC 外接圆的半径为r =1, ∵SA ⊥平面ABC ,且SA =2, 设球心到平面ABC 的距离为d ,则由勾股定理可得2222211(2)R d d =+=+-, ∴22=1R d =,,∴三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为248R ππ=. 故选:C . 【点睛】本题考查几何体外接球的表面积,此类问题常常先求底面的外接圆半径,再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解,属于中等难度题型.10.已知AB u u u r •AC =u u u r 0,|BC |=4,P 是三角形ABC 平面内任意一点,且满足|PA u u u r|=1,则PB u u u r •PC uuur 的最小值是( )A .﹣4B .﹣3C .﹣2D .﹣1【答案】B【解析】利用已知0AB AC ⋅=u u u r u u u r,得到AB AC ⊥,|BC |=4,以A 为坐标原点建立平面直角坐标系,再根据P 点满足|PA u u u r|=1,设P 点坐标为()cos sin P θθ,,代入点坐标计算PB PC ⋅u u u r u u u r ,再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得PB PC ⋅u u u r u u u r的取值范围,从而得解. 【详解】∵0AB AC ⋅=u u u r u u u r,∴AB AC ⊥, 建立如图直角坐标系,设()()()0,00,,0A B y C x ,,, 又|BC |=4, ∴2224x y +=∵|PA u u u r|=1,∴设()cos sin P θθ,, ()()cos sin cos sin B P y x P C θθθθ⋅=--⋅--,,u u u r u u u r22cos +cos sin +sin x y θθθθ=--()22+1x y θϕ=-+-()4cos +1θϕ=--,∵()1cos 1θϕ-≤-≤,35PB PC -≤⋅≤u u u r u u u r,故最小值为3-, 故选:B . 【点睛】本题考查向量积的最值问题,通常建立直角坐标系,设未知数,得到各个向量的坐标,运用坐标运算计算出含有未知量的解析式,再进一步运用函数思想找出取值范围,属于中等题.11.已知f (x )=sin (ωx 6π+)(ω∈Z )x ∈(0,3π]时f (x )12=有唯一解,则满足条件的ω的个数是( ) A .3 B .4C .5D .6【答案】D【解析】对ω进行分类讨论,当0>ω,通过0,,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可确定6x πω+的范围,636ππωπ⎛⎤+ ⎥⎝⎦,由f (x )12=,得到2,233πωππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,从而得到[)2,6ω∈,再根据ω∈Z ,可得ω的值;当0ω<时,同理可得ω的值.【详解】当0>ω时,0,,,,36636x x ππππωπω⎛⎤⎛⎤∈∴+∈+ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦Q 513,3666πωπππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭, ∵()12f x =有唯一解, 2,233πωππ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭,[)2,6ω∈, 又,2,3,45,Z ωω∈∴=,当0ω<时,0,,,,36366x x πππωππω⎛⎤⎡⎫∈∴+∈+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Q117,,3666πωπππ⎡⎫∴+∈--⎪⎢⎣⎭∴42,,(6,4]33πωππω⎛⎤∈--∈-- ⎥⎝⎦, 又,5,4Z ωω∈∴=--, 综上所述, 2,3,4,5,5,4ω=-- 故选:D . 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,函数零点与方程的根的关系,求三角函数的ω值时,利用函数图像数求出ω的范围,即可求得ω值,属于中等题.12.已知抛物线()2:20C x py p =>,直线1:l y kx t =+与抛物线C 交于,A B 两点(A点在B 点右侧),直线()2:l y kx m m t =+≠交抛物线C 于,M N 两点(M 点在N 点右侧),直线AM 与直线BN 交于点E ,交点E 的横坐标为2k ,则抛物线C 的方程为( ) A .2x y = B .22x y =C .23x y =D .24x y =【答案】D【解析】联立直线1l 与抛物线C 得到2A B x x pk +=,同理2M N x x pk +=,记AB 的中点为P ,MN 的中点为Q ,根据直线PQ 过点E ,得到2E x pk k ==,得到答案. 【详解】联立直线1l 与抛物线C :22x pyy kx t⎧=⎨=+⎩,消去y 得2220x pkx pt --=,2A B x x pk +=,同理2M N x x pk +=,记AB 的中点为P ,MN 的中点为Q ,所以P Q x x pk ==, 又因为直线PQ 过点E (EP 为中线,所以EQ 也为中线,所以,,P Q E 三点共线), 所以2E x pk k ==,所以2p =,从而抛物线C 的方程为24x y =. 故选:D .【点睛】本题考查了抛物线方程,确定直线PQ 过点E 是解题的关键,意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题 13.设复数z 满足12zi=+2+i ,则|z |=_____ 【答案】5【解析】复数方程的两边同乘1+2i ,然后利用多项式展开化简,即可确定z ,再进一步求得z . 【详解】 复数z 满足212zi i=++, 所以()()212=2245z i i i i i =++-++=, 故5z = 故答案为:5. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,复数的模的计算,属于基础题. 14.函数()()212log 224f x x x =--的单调递增区间是________.【答案】(),4-∞-【解析】计算定义域为()(),46,x ∈-∞-+∞U ,再根据复合函数单调性得到答案. 【详解】()()212log 224f x x x =--,函数定义域为满足22240x x -->,即()(),46,x ∈-∞-+∞U , 函数12log y u =单调递减,故只需求2224y x x =--的单调递减区间,即1x ≤.综上所述:(),4x ∈-∞-. 故答案为:(),4-∞-. 【点睛】本题考查了复合函数单调性,忽略掉定义域是容易发生的错误. 15.sin 20°+2sin 20°cos 40°=_____.【答案】2. 【解析】利用20301040301==0+︒︒︒︒︒︒-,进行角的转化,再利用和差公式化简即可求解. 【详解】sin 202sin 20cos 40︒︒︒+()()()=sin 30102sin 3010cos 3010︒︒︒︒︒︒--++()()=sin 301012cos 3010︒︒︒︒⎡⎤-++⎣⎦()()sin 12sin30cos10cos3010cos30cos102sin30sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-+=-()1cos10101sin10n 2︒︒︒︒⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭-1cos1010cos102︒︒︒︒=1310sin10cos10sin1010cos10222sin ︒︒︒︒︒︒+--sin 200in 20s ︒︒︒-==【点睛】本题为计算题,主要考察正余弦和差公式的灵活应用,此类问题中非特殊角三角函数化简求值,如20°、40°等角度,一般找出与特殊角的和差关系,再利用和差公式化简即可,属于中等题. 16.已知函数f (x )=lnx 1x++a ,f ′(x )是f (x )的导函数,若关于x 的方程f ′(x )1f x x -=+()0有两个不等的根,则实数a 的取值范围是_____ 【答案】(﹣∞,14-ln 2)【解析】根据题意可得f ′(x ),代入关于x 的方程f ′(x )()1f x x -=+0,方程有2个交点转化为y =121x --lnx 1x-与y =a 有两个不同的交点,则令g (x )=121x --lnx 1x-,求导研究g (x )的图象从而可得a 的取值范围. 【详解】根据题意可得,f ′(x )22111x x x x-=-=,x >0∵关于x 的方程关于x 的方程f ′(x )()1f x x -=+0有两个不相等的实数根,∴221x x -=lnx 1x ++a 有两个不相等的实数根, ∴y =121x --lnx 1x-与y =a 有两个不同的交点; 令g (x )=121x --lnx 1x-,∴g ′(x )()()23233212112x x x xx x x x x -+-+=-+==-, 令g ′(x )=0,x =2或﹣1(舍负);令g ′(x )>0,0<x <2;令g ′(x )<0,x >2; ∴g (x )的最大值为g (2)=114--ln 21124-=-ln 2; ∴a 14-<ln 2;∴a 的取值范围为(﹣∞,14-ln 2). 故答案为:(﹣∞,14-ln 2). 【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识,考查了转化能力、运算求解能力,考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法,属于较难题.三、解答题17.已知函数f (x )=sinxcosx 2+cos 2x +1 (1)求f (x )的最小正周期和最大值,并写出取得最大值时x 的集合;(2)将f (x )的函数图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g (x )是偶函数,求φ的最小值.【答案】(1)最小正周期为T =π,f (x )取得最大值为2,此时x 的集合为{x |x =k π12π+,k ∈Z }.(2)12π【解析】(1)由三角函数公式化简可得f (x )=sin (2x 3π+)+1,由此可得最小正周期及最大值,由当且仅当2x 3π+=2k π2π+,k ∈Z 时,f (x )取得最大值,解出x 的集合;(2)通过平移变换可得g (x )=sin (2x +2φ3π+)+1,若函数g (x )是偶函数,运用三角函数的诱导公式,令23πϕ+=2k ππ+,k ∈Z 即可,从而得到φ的最小值.【详解】(1)f (x )=sinxcosx 32+cos 2x +112=sin 2x 32+cos 2x +1=sin (2x 3π+)+1,所以函数f (x )的最小正周期为T 22π==π, 当且仅当2x 3π+=2k π2π+,k ∈Z 时,f (x )取得最大值为2,此时x 的集合为{x |x =k π12+π,k ∈Z }.(2)g (x )=f (x +φ)=sin (2x +2φ3π+)+1,因为g (x )是偶函数, 所以2φ3π+=k π2π+,k ∈Z ,即φ12=k π12+π,k ∈Z ,所以φ的最小值为12π.【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数,求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等,需要特别注意集合的书写规范,属于基础题.18.如图,在四棱锥S ﹣ABCD 中,SA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是平行四边形,E 是线段SD 上一点.(1)若E 是SD 的中点,求证:SB ∥平面ACE ; (2)若SA =AB =AD =2,SC =2,且DE 23=DS ,求二面角S ﹣AC ﹣E 的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1919【解析】(1)由题意连结BD ,交AC 于点O ,连结OE ,可证OE ∥SB ,SB ∥平面ACE 得证;(2)建立空间直角坐标系,求得平面SAC 与平面ACE 的法向量,代入公式求二面角的余弦值即可. 【详解】(1)证明:连结BD ,交AC 于点O ,连结OE , ∵底面ABCD 是平行四边形,∴O 是BD 的中点, ∵E 是SD 的中点,∴OE ∥SB , ∵SB ⊄平面ACE ,OE ⊂平面ACE , ∴SB ∥平面ACE .(2)∵SA ⊥底面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , ∴SA ⊥AC ,在Rt △SAC 中,SA =2,SC =, ∴AC =2, ∵AB =AD =2,∴△ABC ,△ACD 都是等边三角形, ∴BD =以O 为原点,OD 为x 轴,OA 为y 轴,过O 作AS 的平行线为z 轴,建立空间直角坐标系,O (0,0,0),D0,0),A (0,1,0),S (0,1,2),DS =u u u r(1,2),23DE DS ==u u u r u u u r(3-,2433,), OE OD DE =+=u u u r u u u r u u u r 2433,,), ∵BD ⊥平面SAC ,取平面SAC 的一个法向量n OD ==u u u rr0,), 设平面ACE 的法向量m =r(x ,y ,z ),则0240333m OA y m OE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u uv r u u u v r ,取x =4,得m =r (4,0,), 设二面角S ﹣AC ﹣E 的平面角为θ,则cosθm n m n ⋅===⋅r r r r∴二面角S﹣AC﹣E的余弦值为419.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理,二面角的向量求法,意在考查学生的分析转化能力和计算求解能力,属于基础题.19.甲、乙两名射击运动员在进行射击训练,已知甲命中10环,9环,8环的概率分别是13,13,13,乙命中10环,9环,8环的概率分别是18,14,58,任意两次射击相互独立.(1)求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率;(2)现在甲、乙两人进行射击比赛,每一轮比赛两人各射击1次,环数高于对方为胜,环数低于对方为负,环数相等为平局,规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者,比赛结束,求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率【答案】(1)13(2)427【解析】(1)甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”,“第一次8环第二次10环”,“第一次9环和第二次9环”这三种情况,分别求三种情况概率再求和;(2)求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率,先确定甲胜利,平局,失败的概率,恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种:①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时,由第2轮、第3轮甲连续胜利,第一轮甲没有获得胜利,算出其概率P118;②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时,则第2轮、第3轮乙连续胜利,第1轮乙没有获得胜利,其概率P25=216,两情形概率之和即为所求.【详解】(1)记X 表示甲运动员两次射击命中环数之和,则X =18包含“第一次10环和第二次8环”,“第一次8环第二次10环”,“第一次9环和第二次9环”这三种情况,∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为:P 121111133333C =⨯⨯+⨯=.(2)记A i 表示甲在第i 轮胜利,B i 表示甲在第i 轮平局,∁i 表示甲在第i 轮失败, ∴P (A i )151151384382⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭,P (B i )13=,P (∁i )16=,①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时,由第2轮、第3轮甲连续胜利,第一轮甲没有获得胜利, 其概率P 1111112228⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭, ②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时,则第2轮、第3轮乙连续胜利,第1轮乙没有获得胜利, 其概率P 21155666216=⨯⨯=, ∴经过3轮比赛结束的概率P 12154821627P P =+=+=. 【点睛】本题考查了概率的计算,第一种为已知取值,求取此值的概率,常常利用排列组合、枚举法、概率公式等方法计算,第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况,再根据每种状况求出概率,属于中档题.20.已知椭圆E :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率e =(1)若点P (1)在椭圆E 上,求椭圆E 的标准方程;(2)若D (2,0)在椭圆内部,过点D E 于M .N 两点,|MD |=2|ND |,求椭圆E 的方程.【答案】(1)2214x y +=(2)221123x y +=【解析】(1)因为2c e a ==,所以2234c a =,则2214b a =,所以222214x y b b +=,将P(1b 2=1,所以a 2=4,可得椭圆方程; (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),设y 1<y 2,因为2214b a =,所以椭圆的方程为222214x y b b+=,MN 的直线方程为x =+2,联立求解韦达定理,结合条件|MD |=2|ND |,可得y 1=﹣2y 2,所以解得1y =2y =b 2=3,a 2=12,求得椭圆E 的方程. 【详解】(1)因为c e a ==,所以2234c a =,则2214b a =,所以222214x y b b +=,将P (1,2)代入方程,得b 2=1,所以a 2=4, 所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=;(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),不妨设y 1<y 2,因为2214b a =,所以椭圆的方程为222214x y b b+=,MN 的直线方程为x =+2,联立2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得,16y 2+12﹣12b 2=0, 所以y 1+y2=,y 1y 22334b -=①.因为|MD |=2|ND |,即y 1=﹣2y 2,所以1y =22y = 代入①,得b 2=3,a 2=12,所以椭圆E 的方程为221123x y +=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,一种为根据离心率及椭圆上的点建立方程组求解,考查计算能力;另一种为已知弦长之间的关系求解,利用弦长关系转化得到纵坐标的关系,结合韦达定理即可求解,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21.已知函数f (x )=()21211x xx e -+-(1)求f (x )>0的解集; (2)若x ∈R 时,2221mxxx e e +≥+恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】(1)(0,+∞)(2)[12,+∞) 【解析】(1)通过对f (x )求导,可得x ∈R 时,f ′(x )≥0,所以f (x )在(﹣∞,+∞)上单调递增,又f (0)=0,x ∈(0,+∞)时f (x )>0,不等式得解; (2)若x ∈R 时,2221mxxxe e+≥+恒成立,不等式转化为2e 2mx ≥e x1xe +(x ∈R ),因为都是偶函数,所以只需x ∈[0,+∞)时,2e 2mx x+-e 2x﹣1≥0成立即可,构造新的函数F (x )=2e 2mx x+-e 2x﹣1,求导后再对导函数进行分类讨论,可得实数m 的取值范围. 【详解】(1)因为f (x )=()21211x xx e -+-,则f ′(x )=2122x x x e-;所以x ∈R 时,f ′(x )≥0,所以f (x )在(﹣∞,+∞)上单调递增,又f (0)=0, 所以x ∈(﹣∞,0)时,f (x )<0,x ∈(0,+∞)时f (x )>0,∴f (x )>0的解集为(0,+∞). (2)因为x ∈R 时,2e 2mxx+≥e 2x+1恒成立,等价于221mx x xxe e e+-≥恒成立, 即2e 2mx ≥e x 1x e+(x ∈R ), 因为都是偶函数,所以只需x ∈[0,+∞)时,2e 2mx x+-e 2x﹣1≥0成立即可,令F (x )=2e 2mxx+-e 2x﹣1,F (0)=0,F ′(x )=2(2mx +1)e 2mxx+-2e 2x =2e 2x[(2mx +1)e 2mx x --1],F ′(0)=0,令G (x )=(2mx +1)e 2mxx--1,G (0)=0,G′(x)=2me2mx x-+(2mx+1)(2mx﹣1)e2mx x-=(4m2x2+2m﹣1)e2mx x-①当2m﹣1≥0,即m12≥时,G′(x)≥0,所以G(x)在[0,+∞)上单调递增,又因为G(0)=0,所以x∈[0,+∞)时,G(x)≥0,即F′(x)≥0,所以F(x)在[0,+∞)上单调递增,又因为F(0)=0,所以x∈[0,+∞)时,F(x)≥0,所以m12≥时满足要求;②当m=0,x=1时,2e<e2+1,不成立,所以m≠0;③当2m﹣1<0且m≠0时,即m12<且m≠0时,x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭,上单调递减,又因为G(0)=0,所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭,时,G(x)<0,即F′(x)<0,所以F(x)在122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭,上单调递减,又因为F(0)=0,所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭,时,F(x)<0,所以m12<且m≠0时不满足要求.综上所述,实数m的取值范围是[12,+∞).【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及不等式恒成立求参数问题,将不等式恒成立转化为构造差函数,求函数的最值是解决本题的关键,也是本题的难点,需要对导函数进一步求导和分类讨论,综合性较强,运算量较大,难度较大.22.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩(t为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程;(2)若P(1,0),直线C2与曲线C1相交于A,B两点,求|PA|•|PB|的值.【答案】(1)曲线C1:x2+y2﹣4x=0;直线C2:xsinα﹣ycosα﹣sinα=0(2)3 【解析】(1)求曲线C1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,将ρ=4cosθ,等式两边乘ρ得ρ2=4ρcosθ代入即可,直线C2的参数方程消去参数t即为普通方程;(2)因为P (1,0)在直线C 2上,将直线C 2的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)代入曲线C 1:x 2+y 2﹣4x =0,设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,根据根与系数关系可得则t 1t 2=﹣3,故可求|PA |•|PB |=|t 1t 2|=3. 【详解】(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ,由x =ρcos θ,y =ρsin θ,x 2+y 2=ρ2, 可得ρ2=4ρcos θ,即为x 2+y 2﹣4x =0,直线C 2的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数),可得xsin α﹣ycos α﹣sin α=0; (2)因为P (1,0)在直线C 2上, 将直线C 2的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)代入x 2+y 2﹣4x =0,可得(1+tcos α)2+(tsin α)2﹣4(1+tcos α)=0, 化为t 2﹣2tcos α﹣3=0,设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1t 2=﹣3, 可得|PA |•|PB |=|t 1t 2|=3. 【点睛】本题考查极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、求弦长关系问题,极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化,可利用转化关系直接求解,求弦长关系问题通常借助联立二次方程,转化为根与系数关系问题求解.23.已知函数f (x )=|x +1|+2|x ﹣m | (1)当m =2时,求f (x )≤9的解集;(2)若f (x )≤2的解集不是空集,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)[﹣2,4](2)[﹣3,1]【解析】(1)当m =2时,函数f (x )=|x +1|+2|x ﹣2|≤9,对x 分类讨论,分别在三个区间1122x x x --≤≤<,,>,去掉绝对值求解不等式即可求得解集; (2)若f (x )≤2的解集不是空集,转化为f (x )min ≤2成立,又根据|x +1|+|x ﹣m |≥|m +1|恒成立,f (x )min =|m +1|≤2,解得﹣3≤m ≤1.【详解】(1)当m=2时,f(x)=|x+1|+2|x﹣2|332512331x xx xx x-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+-⎩,>,,<.∵f(x)≤9,∴3392xx-≤⎧⎨⎩>或5912xx-+≤⎧⎨-≤≤⎩或3391xx-+≤⎧⎨-⎩<,∴2<x≤4或﹣1≤x≤2或﹣2≤x<﹣1,∴﹣2≤x≤4,∴不等式的解集为[﹣2,4];(2)∵f(x)≤2的解集不是空集,∴f(x)min≤2.∵|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|,|x﹣m|≥0,∴f(x)=|x+1|+2|x﹣m|≥|m+1|,当且仅当x=m时取等号,∴|m+1|≤2,∴﹣3≤m≤1,∴实数m的取值范围为[﹣3,1].【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法和求参数范围问题,解含有绝对值不等式一般进行分区间讨论去掉绝对值,然后求解不等式即可;不等式恒有解求参数问题一般进行等价转化成求函数最值问题,然后通过函数最值确定参数的取值范围,属于中等题.第 21 页共 21 页。