2018年奉贤区高考数学一模试卷含答案
2017.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知全集U =N ，集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则()U C A B =
2. 复数
2
1i
+的虚部是 3. 用1、2、3、4、5共5个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有 4. 已知tan 2θ=-，且(,)2
π
θπ∈，则cos θ=
5. 圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的侧面积等于
6. 已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，若向量b 在向量a 方向上的投影为3，则实数m =
7. 已知球主视图的面积等于9π，则该球的体积是
8. 9
1()x x
+的二项展开式中，常数项的值是
9. 已知(2,0)A ，(4,0)B ，动点P
满足PA =
，则P 到原点的距离为 10. 设焦点为1F 、2F 的椭圆22
213
x y
a +
=(0)a >上的一点P 也在抛物线294y x =上，抛物 线焦点为3F ，若325
16
PF =，则△12PF F 的面积为
11. 已知1
3
a >，函数()lg(||1)f x x a =-+在区间[0,31]a -上有最小值为0且最大值为
lg(1)a +，则实数a 的取值范围是
12. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,02)ωϕπ>≤≤是R 上的偶函数，图像关于点
3(,0)4M π对称，在[0,]2
π
是单调函数，则符合条件的数组(,)ωϕ有 对
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “1x >”是“21x >”的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分又非必要 14. 已知二元一次方程组增广矩阵是11
1222a b c a b c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则方程组存在唯一解的条件是（ ）
A. 12a a ⎛⎫
⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫
⎪⎝⎭平行 B. 12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫
⎪⎝⎭不平行 C. 12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫
⎪⎝⎭
不平行 D.
12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫
⎪⎝⎭
不平行
15. 等差数列{}n a 中，10a ≠，若存在正整数m 、n 、p 、q 满足m n p q +>+时有
m n p q a a a a +=+成立，则
4
1
a a =（ ） A. 4 B. 1 C. 由等差数列的公差决定 D. 由等差数列的首项1a 的值决定 16. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()x f x a
b =+（0a >，1a ≠），若()f x 在R 上存在反函数，则下列结论正确的是（ ） A. 1
1a b >⎧⎨<-⎩或0110a b <<⎧⎨-<<⎩ B.
11a b >⎧⎨
≥-⎩或0110a b b <<⎧⎨≤-≥⎩或 C. 121a b >⎧⎨-<<-⎩或01
10.5a b <<⎧⎨-<<-⎩
D.
1
2a b >⎧⎨
≤-⎩
或010.50a b <<⎧⎨-<<⎩
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知函数22()log (3)log (3)f x x x =+--. （1）判断函数的奇偶性； （2）(sin )1f α=，求α的值.
18. 已知圆柱的底面半径为r ，上底面圆心为O ，正六边形ABCDEF 内接于下底面圆1O ，
OA 与底面所成的角为60°.
（1）试用r 表示圆柱的表面积S ； （2）求异面直线DC 与OA 所成的角.
19. 如图，某公园有三条观光大道AB 、BC 、AC 围成直角三角形，其中直角边200BC m =，
斜边400AB m =.
（1）若甲乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发，甲沿BA 运动，乙沿BC 运动，乙比甲 迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；
（2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点D 、E 、F ，设CEF θ∠=，乙丙之间的距离 EF 是甲乙之间距离DE 的2倍，且3
DEF π∠=，请将甲乙之间的距离DE y =表示为θ的
函数，并求甲乙之间的最小距离.
20. 设22{(,)|||1}M x y x y =-=，22{(,)|1}N x y x y =-=，设任意一点00(,)P x y M ∈，M 表示的曲线是C ，N 表示的曲线是1C ，1C 的渐近线为1l 和2l . （1）判断M 和N 的关系并说明理由；
（2）设01x ≠±，1(1,0)A -，2(1,0)A ，直线1PA 的斜率是1k ，直线2PA 的斜率是2k ，求12k k 的取值范围；
（3）过P 点作1l 和2l 的平行线分别交曲线C 的另外两点于Q 、R ，求证：PQR ∆的面积为定值.
21. 若存在常数p （01p <≤），使得数列{}n a 满足1||n n n a a p +-=对一切*n N ∈恒成立，则称{}n a 为可控数列，10a a =>.
（1）若2a =，1p =，问2017a 有多少种可能性？ （2）若{}n a 是递增数列，21
3
a a =+
，且对任意的i ，数列i a ，12i a +，23i a +（*i N ∈，1i ≥）， 成等差数列，判断{}n a 是否为可控数列？说明理由；
（3）设单调的可控数列{}n a 的首项10a a =>，前n 项和为n S ，即12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，问n S 的极限是否存在，若存在，求出a 与p 的关系式；若不存在，请说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. {5}
2. 1-
3. 60
4.
5. 3π
6.
7. 36π 8. 84 9. 10. 32 11. 1
[,1]2
12. 4
二. 选择题
13. A 14. C 15. B 16. B
三. 解答题
17.（1）奇函数；（2）22
k π
απ=+
，k Z ∈..
18.（1）2(2S r π=+；（2）1arccos 4
.
19.（1）2）20.（1）N 是M 的真子集；（2）12(,1][1,)k k ∈-∞-+∞；（3）证明略. 21.（1）2017种；（2）是，证明略；
（3）当(0,1)p ∈时①若{}n a 单调递增，极限不存在；②若{}n a 单调递减，极限存在； 当1p =时①递增，极限不存在；②递减，极限不存在.。