绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析一、选择题1.【答案】C【解析】()()()21i 2i2i 2i i 1i 1i 2z --=+=+=+-,则1z=,选C .2.【答案】B【解析】2{|20}R C A x x x =--≤={|12}x x -≤≤,故选B . 3.【答案】A【解析】经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,所以建设前与建设后在比例相同的情况下,建设后的经济收入是原来的2倍,所以建设后种植收入为37%相当于建设前的74%,故选A .4.【答案】B【解析】令{}n a 的公差为d ,由3243S S S =+,12a =得113(33)67a d a d+=+3d ⇒=-,则51410a a d =+=-,故选B .5.【答案】D【解析】x R ∈,3232()()(1)(1)f x f x x a x ax x a x ax -+=-+--++-+22(1)a x =-0=,则1a =,则3()f x x x =+,2()31f x x '=+,所以(0)1f '=,在点(0,0)处的切线方程为y x =,故选D .6.【答案】A【解析】1111113()()()2222444BE BA BD BA BC BA AC AB AC AB =+=+=+-=-, 则3144EB AB AC =-,故选A . 7.【答案】B【解析】将三视图还原成直观图,并沿点A 所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形,从点M 到点N 的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短,长度为故选B .8.【答案】D【解析】由方程组22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩,不妨记(1,2),(4,4)M N . 又F 为(1,0),所以(0,2)(3,4)8FM FN ⋅=⋅=,故选D . 9.【答案】C【解析】若()g x 存在2个零点,即()0f x x a ++=有2个不同的实数根,即()y f x =与y x a =--的图像有两个交点,由图可知直线y x a =--不在直线1y x =-+的上方即可,即1a -≤,则1a ≥-.故选C .10.【答案】A【解析】令Rt ABC ∆角,,A B C 分别对应的边长为,,a b cⅠ,Ⅱ,Ⅲ对应的面积分别为123,,s s s .则112s bc =；2231142228a a bcs bc ππ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；()222222341122228b c a bc c b s s πππ+-+⎛⎫⎛⎫=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为222b c a +=,所以212s bc =.所以1212s s p p =⇔=,故选A .11.【答案】B【解析】如图所示,不妨记90OMF ∠=,F 为(2,0),渐近线为33y x =±,所以30MOF NOF ∠=∠=,则cos 3,tan 3OM OF MOF MN OM MON =∠==∠=,故选B .12.【答案】A【解析】正方体中,连接顶点,,,M N P Q ,三棱锥Q MNP -为正三棱锥,侧棱与底面所成的角都相等,所以正方体的每条棱与平面MNP 所成的角均相等,不妨令平面α∥N (B )M N2164M (A )MNP 平面.易知,当平面α截得正方体的截面为如图所示的平行六边形ABCDEF 时截面的面积可以取到最大值.不妨取(01)AM x x =<<,则AF ED BC ==,)AB EF CD x ===-,//CF MN且CF MN =等腰梯形ABCF 、DEFC的高分别为)2x -和2x 所以ABCDEF ABCF DEFC S S S =+2221)x x ⎤-+++⎥⎣⎦. 当12x =时,32=.故选A . 二、填空题13.【答案】6【解析】可行域为ABC ∆及其内部,当直线322zy x =-+经过点(2,0)B 时,max 6z =. 14.【答案】63-【解析】由11121a S a ==+得11a =-,当2n ≥时,112121n n n n n a S S a a --=-=+-+,即12nn a a -=,所以{}n a 是等比数列,()()()()()61248163263S =-+-+-+-+-+-=-. 15.【答案】16【解析】恰有1位女生的选法有122412C C =种,恰有2位女生的选法有21244C C =种,所以不同的选法共有16种.16.【答案】 【解析】因为()f x 是奇函数,且()(2)f x f x π=+,即周期为2π,所以只需要研究()f x 在(],ππ-上的图像.又2()2cos 2cos22(2cos cos 1)2(2cos 1)(cos 1)f x x x x x x x '=+=+-=-+,则()f x 在(],ππ-上的极值点为,,33x πππ=-,因为()()()033f f f πππ-=-==,所以min ()f x=.三、解答题（一）必考题：共60分。

17.【答案】(1)235(2)5【解析】(1)如图所示,在ABD ∆中,由正弦定理sin sin BD ABA ADB=∠, 得2sin 5ADB ∠=, 90ADC ∠=,ADB ∴∠为锐角, 223cos 1sin 5ADB ADB ∴∠=-∠=； (2)90ADC ∠=,2cos cos(90)sin 5CDB ADB ADB ∴∠=-∠=∠=, 若22DC =,则在BCD ∆中,由余弦定理2222cos BC BD DC BD DC CDB =+-⋅⋅∠, 得2258252255BC =+-⨯⨯⨯=.18.【答案】(1)见解析 (2)34【解析】(1)证明：四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,////EF AB CD ∴且BF EF ⊥,,PF BF EF PF F ⊥=,BF ∴⊥平面PEF ,BF ⊂平面ABFD ,∴平面PEF ⊥平面ABFD .(2)方法1：由(1)知BF ⊥平面PEF ,BF ∴⊥PE ,//BF AD ,PE AD ∴⊥.令正方形ABCD 的边长为2,2,1PD DC ED ===,223PE PD DE ∴=-=.作PO EF ⊥交EF 于点O ,连接OD ,由(1)知平面PEF ⊥平面ABFD ,PO ⊂平面PEF ,平面PEF平面ABFD EF =,PO ∴⊥平面ABFD ,斜线DP 在平面ABFD 内的射影为OD , PDO ∴∠等于DP 与平面ABFD 所成的角.1,2PF CF EF ===,222PE PF EF ∴+=,即PE PF ⊥且60PFE ∠=,ABCD ABPCFE D O∴在Rt POF ∆中,3322OP PF ==. ∴在Rt POD ∆中,3sin 4PO PDO PD ∠==,即DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 方法2：作PO EF ⊥交EF 于点O ,连接OD ,由(1)知平面PEF ⊥平面ABFD ,PO ⊂平面PEF ,平面PEF平面ABFD EF =,PO ∴⊥平面ABFD ,斜线DP 在平面ABFD 内的射影为OD , PDO ∴∠等于DP 与平面ABFD 所成的角,令正方形ABCD 的边长为2,(0)OF a a =>,则2EO a =-,2221PO PF OF a =-=-,2223DO PD PO a =-=+, 由222DO ED EO =+得2231(2)a a +=+-,解得12a =. ∴32PO =,2PD =,则3sin 4PO PDO PD ∠==,即DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 方法3：作PO EF ⊥交EF 于点O ,由(1)知平面PEF ⊥平面ABFD ,PO ⊂平面PEF ,平面PEF平面ABFD EF =,PO ∴⊥平面ABFD ,以E 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 令正方形ABCD 的边长为2,(0)OF a a =>, 则2(0,2,0),(0,2,1),(1,0,0)F P a a D ---90DPF ∠=,0PF DP ∴⋅=,即22(0,,1)(1,2,1)0a a a a --⋅--=, 即2(2)(1)0a a a ---=,解得12a =. 所以33(1,,)22DP =,易知平面ABFD 的一个法向量为(0,0,1)n =,故332cos ,124n DPn DP n DP⋅<>===⨯⋅, 即DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34.A B PC FE D Oxyz19.【答案】(1)直线AM的方程为：2)y x =-或2)y x =- (2)见解析【解析】(1)右焦点为(1,0)F ,当l 与x 轴垂直时有:1l x =,则A为或(1,, 直线AM的方程为：2)2y x =-或2)2y x =-； (2)方法1：令直线,AM BM 的斜率分别为12,k k ,①当l 与x 轴重合时有120k k ==,所以0OMA OMB ∠=∠=； ②当l 与x 轴不重合时,令:1,l my x =-1122(,),(,)A x y B x y ,由22112my x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=,则12122221,22m y y y y m m --+==++, 因为12k k +121212*********()2211(1)(1)y y y y my y y y x x my my my my -+=+=+=------, 所以12k k +221222220(1)(1)m mm m my my ---++==--,即直线,AM BM 的倾斜角互补,得OMA OMB ∠=∠.综合①②所述,得OMA OMB ∠=∠.方法2：令直线,AM BM 的斜率分别为12,k k ,①由(1)知,当l 与x 轴垂直时有12k k =-,即直线,AM BM 的倾斜角互补,得OMA OMB ∠=∠；②当l 不与x 轴垂直时,令:(1),l y k x =-1122(,),(,)A x y B x y ,由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)4220k x k x k +-+-=,则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++, 因为12k k +12121212121212(1)(1)[23()4]2222(2)(2)y y k x k x k x x x x x x x x x x ---++=+=+=------, 所以12k k +=2222122(22)4[34]21210(2)(2)k k k k k x x --+++=--, 即直线,AM BM 的倾斜角互补,得OMA OMB ∠=∠. 综合①②所述,得OMA OMB ∠=∠.20.【答案】(1)0110p = (2)(ⅰ)490EX =(ⅱ)应该对这箱余下的所有产品都作检验.【解析】(1)由n 次独立重复事件的概率计算得221821820()(1)190(1)f p C p p p p =-=-, 1821717()380(1)19018(1)380(1)(110)f p p p p p p p p '=--⨯-=--且01p <<, ()0f p '∴=时,得110p =. 又当1(0,)10p ∈时,()0f p '>,()f p 单调递增；当1(,1)10p ∈时,()0f p '<,()f p 单调递减,所以110p =是()f p 在(0,1)上唯一的极大值点,也是最大值点,即0110p =. (2)(ⅰ)已检验的20件产品的检验费用为20240⨯=元. 该箱余下的产品的不合格品件数服从二项分布1(180,)10B ,估计不合格品件数为11801810⨯=, 若不对该箱余下的产品作检验,余下的产品的赔偿费用估计为1825450⨯=元. 所以,若不对该箱余下的产品作检验,则40450490EX =+=.(ⅱ)若对该箱余下的产品都作检验,则只需支付检验费用,401802400EX =+⨯=. 因为490400>,所以应该对这箱余下的所有产品都作检验.21.【答案】(1)2a ≤时,()f x 在定义域(0,)+∞上始终单调递减；2a >时,()f x 在)+∞上递减,在上递增. (2)见解析【解析】(1)22211()1(0)a x ax f x x x x x -+-'=--+=>令2()1g x x ax =-+-,24a ∆=-. ①[2,2]a ∈-时,0∆≤,()0f x '≤恒成立, 所以()f x 在定义域(0,)+∞上始终单调递减. ②2a <-或2a >时,0∆>.由()0g x =即()0f x '=解得12x x ==且1212,1x x a x x +==. 2a <-时,120,0x x <<,()0f x '<恒成立,所以()f x 在定义域(0,)+∞上始终单调递减. 2a >时,210x x >>,在12(0,),(,)x x +∞上()0f x '<,()f x 单调递减；在12(,)x x 上()0f x '>,()f x 单调递增. 综上所述,2a ≤时,()f x 在定义域(0,)+∞上始终单调递减；2a >时,()f x在)+∞上递减,在上递增. (2)证明：方法1：由(1)知2a >时()f x 存在两个极值点,且210x x >>.欲证明1212()()2f x f x a x x -<--等价于证明1212()()(2)()f x f x a x x ->--.即证明1122()(2)()(2)f x a x f x a x -->--,其中12,x x 是方程210x ax -+-=的两个根. 令()()(2)h t f t a t =--,则满足210t at -+-=,即1t a t+=.221111111()()(2)1(2)1()(2)2()h t f t a a a t t t t t t t t t t''=--=--+--=--++-+-=-+ 12t a t+=>,1()2()0h t t t '∴=-+<,()()(2)h t f t a t =--在(0,)t ∈+∞上为减函数.因为210x x >>,所以12()()h x h x >,即1122()(2)()(2)f x a x f x a x -->--,得证. 方法2：由(1)知210x x >>,122x x a +=>,121x x =,从而有2110x x >>>.11221212121211ln ln ()()x a x x a x f x f x x x x x x x -+-+--=--1211212212121()(1)ln ()()x x x a f x f x x x x x x x x -++-∴=--11222ln x ax x x =-+-,要证明1212()()2f x f x a x x -<--等价于证明11222ln 2x aa x x x -+<--,即证明1122ln x x x x >-.121x x =,∴只需证明21111ln x x x >-,即证明11112ln 0x x x -+>成立即可. 令1()2ln ,(0,1)t t t t tφ=-+∈,则222222121(1)()10t t t t t t t t φ-+---'=--==<,()t φ在(0,1)上为减函数.所以()(1)0t φφ>=,根据1(0,1)x ∈,证得11112ln 0x x x -+>成立,得证.（二）选考题：共10分。