1.正态性不满足
－数据变换，增加样本含量
2.方差非齐性
－增加协变量 －数据变换 －广义线性模型或非线性模型
3.独立性不满足
－S.E.的稳健估计 －GEE估计方法 －拟合非独立性来源的模型
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非独立性来源
1.区域环境对反应变量的影响
还需估计三个随机参数
2 u0
u21和
。e20 其中
u2即0 为
学校水平的方差成份， 为e学20 生水平的方差成份。
1.模型中的参数估计值、标准误有偏差 2.残差方差偏大，即模型拟合优度差 3.损失高水平(如水平二：学校)对结果的影响信息
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基本的多水平模型
• 经典模型的基本假定是单一水平和单一的随机 误差项，并假定随机误差项独立、服从方差为 常量的正态分布，代表不能用模型解释的残留 的随机成份
截距不同，斜率不同
yij 0 j 1 j xij eij
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按学校绘制散点图及拟合线
该模型即为多水平模型
yij 0 j 1 j xij eij
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0 j 00 u0 j
00 为平均截距，反映 yij 与 xij 的平均关系，
即当 x 取 0 时，所有 y 的总平均估计值。
u0 j 为随机变量，表示第 j 个学校 y 的平均估
计值与总均数的离差值，反映了第 j 个学校对 y 的 随机效应。
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多水平模型基本结构
yij 0 j 1 j xij eij
0 j 00 u0 j 1 j 01 u1 j
x yij 和 ij 分别为第 j 个
学校中第 i 个学生应变量 观测值和解释变量观测值
00是
0
的平均值，为固定成分
j
，u0
j为0
的随机成分
j
,
服从正态分布
01是1
的平均值，为固定成分
1 j 01 u1 j
01 表示协变量 x 在所有学校的平均效应估计
值（固定部分），u1 j 表示协变量 x 在不同学校所
产生的特殊效应（随机部分），反映协变量与学 校之间产生的交互效应，即学校间 y 的变异与协 变量 x 的变化有关。
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－卫生服务区域的资源、社会经济条件和政策会影响对病 人的服务质量
－高血压发病率可能有地区聚集性，取决于经济文化背景 和居民饮食习惯
2.重复测量结果通常具有强相关
－分子生物学研究中重复测量数据处理中的问题
3.区组设计和多中心试验
－卫生毒理实验研究中同窝动物的相似性 －同中心内病人病情、病种相似性
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多水平模型简介
Multilevel Models
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单水平模型
1,2,...,i,...n个观察对象
yi 0 1xi ei ,
ei
~
N
(0,
2 e
)
模型假设： 正态性、独立性、残差方差齐同性 协变量的影响保持不变
假设不满足时的处理
0 j 00 u0 j 1 j 01 u1 j
yij ( 00 u0 j ) ( 01 u1 j )xij eij ( 00 01xij ) (u0 j u1 j xij eij )
固定效应部分 随机效应部分(残差项)
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例如，来自同一家庭的子女，其生理和心理 特征较从一般总体中随机抽取的个体趋向于更为 相似，即子女特征在家庭中具有相似性或聚集性 (clustering)，数据是非独立的(non independent)。
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忽略多水平层次结构的后果
层次结构数据的普遍性
家庭
学校
病人
水平2
水平1
子女
Байду номын сангаас
学生
测量1 测量2 测量3
两水平层次结构数据
两水平层次结构：水平1单位在水平2内聚集
层次结构数据为一种非独立数据，即某观察值 在观察单位间或同一观察单位的各次观察间不独 立 或 不 完 全 独 立 ， 其 大 小 常 用 组 内 相 关 (intraclass correlation，ICC)度量。
yij ( 00 01xij ) (u0 j u1 j xij eij )
反应变量Y可表达为固定部分 ( 00 x 01 ij ) 与随机
部分 (u0 j u1 j xij ei之j ) 和。模型具有多个残差项，这是
多水平模型区别于经典模型的关键部分。
此模型需估计5个参数，除两个固定系数 00 和 01，
• 多水平模型将单一的随机误差项分解到与数据 层次结构相应的各水平上，具有多个随机误差 项并估计相应的残差方差及协方差。
• 构建与数据层次结构相适应的复杂误差结构， 是多水平模型区别于经典模型的根本特征
• 多水平模型由固定与随机两部分构成，其随机 部分可以包含解释变量
多水平模型基本结构
假定一个两水平的层次结构数据，学校为水平 2 单位，学生为水平 1 单位，学校为相应总体的 随机样本。
j
，u1
j
为1
的随机成分
j
,
服从正态分布
E(u0 j ) 0, E(u1 j ) 0, E(eij ) 0,
Var(u0
j
)
2 u0
Var(u1
j
)
2 u1
Var(eij
)
2 e0
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多水平模型基本结构
yij 0 j 1 j xij eij
学校1
……
学校k
学生
学生 …… 学生
观测指标： X, Y
学生
普通线性回归，忽略学校
yi 0 1xi ei
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按学校分别拟合
截距不同，斜率相同
yij 0 j 1xij eij
截距相同，斜率不同
yij 0 1 j xij eij