习 题 一 解 答１. 设Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个随机事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ及其运算符号表示出来：(1) Ａ发生，Ｂ、Ｃ不发生；(2) Ａ、Ｂ不都发生，Ｃ发生；(3) Ａ、Ｂ中至少有一个事件发生，但Ｃ不发生；(4) 三个事件中至少有两个事件发生；(5) 三个事件中最多有两个事件发生；(6) 三个事件中只有一个事件发生．解：（1）C B A (2)C AB (3)()C B A ⋃ (4)BC A C AB ABC ⋃⋃ (5)ABC (6)C B A C B A C B A ⋃⋃――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ２. 袋中有15只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只．设Ａi 表示“第i 次取到白球”（i ＝1，2，3，4 ），Ｂ表示“至少有 3 次取到白球”． 试用文字叙述下列事件：(1) 41 ==i iA A ， (2) A ,(3)B ， (4) 32A A ．解：（1）至少有一次取得白球（2）没有一次取得白球（3）最多有2次取得白球（4）第2次和第3次至少有一次取得白球――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ３. 设Ａ、Ｂ为随机事件，说明以下式子中Ａ、Ｂ之间的关系．(1) Ａ Ｂ＝Ａ （2）ＡＢ＝Ａ解：（1）A B ⊇ (2)A B ⊆――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ４. 设Ａ表示粮食产量不超过500公斤，Ｂ表示产量为200-400公斤 ，Ｃ表示产量低于300公斤，Ｄ表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事 件：(1) AB ， (2) BC ，(3) C B ，(4)C D B )( ，(5)C B A ．解：(1)[]450,200; (2)[]300,200 (3)[]450,0 (4)[]300,200 (5)[]200,0――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ５. 在图书馆中任选一本书，设事件Ａ表示“数学书”，Ｂ表示“中文版”， Ｃ表示“ 1970 年后出版”．问：(1) ＡＢＣ表示什么事件？(2) 在什么条件下，有ＡＢＣ＝Ａ成立？ (3) C ⊂Ｂ表示什么意思？(4) 如果A ＝Ｂ，说明什么问题？解：（1）选了一本1970年或以前出版的中文版数学书（2）图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书（3）表示1970年或以前出版的书都是中文版的书（4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ６. 互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系．(1) X ＜ 20 与X ≥ 20 ；(2) X ＞ 20与X ＜ 18 ；(3) X ＞ 20与X ≤ 25 ；(4) 5 粒种子都出苗与5粒种子只有一粒不出苗；(5) 5 粒种子都出苗与5粒种子至少有一粒不出苗．解：（1）对立; (2)互斥；（3）相容；（4）互斥；（5）对立(古)７. 抛掷三枚均匀的硬币，求出现“三个正面”的概率． 解：125.081213===p ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （古）８. 在一本英汉词典中，由两个不同的字母组成的单词共有 55 个，现从•26个英文字母中随机抽取两个排在一起，求能排成上述单词的概率．解：252655⨯=p ≈0.0846 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （古）９. 把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率是多少？ 解：首先将指定的三本书放在一起，共!3种放法，然后将8)1(7=+进行排列，共有!8种不同排列方法。
故151906!10!8!3===p ≈0.067 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （古）10. 电话号码由 6 位数字组成，每个数字可以是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 共 10 个数字中的任何一个数字（不考虑电话局的具体规定），求：(1) 电话号码中 6 个数字全不相同的概率；(2) 若某一用户的电话号码为 283125 ，如果不知道电话号码，问一次能打通电话的概率是多少？解：(1) 1512.0106610==P p ，(2) 610-=p ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （古）11. 50 粒牧草种子中混有3粒杂草种子，从中任取4粒，求杂草种子数分别为0，1，23 粒的概律解： 3,2,1,0,/}{4504273===-k C C C k X P k k――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （古）12. 袋内放有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求钱额总和超过一角的概率．解：设A 为事件“钱额总和超过一角”，则A ={两个五分其余任取3个+一个五分3个两分一个一分+一个五分2个两分2个一分}，故：[]25231215331238225101)(C C C C C C C C C A P ++=＝0.5――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （古）13. 10 把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率． 解：[]1713232101)(C C C C A P +=，或158301*********)(==+=A P ＝0.53 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （古）14. 求习题 11 中至少有一粒杂草种子的概率．解：本题与11解法有关，即为2255.0)0(1==-X P――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （几）15.有一码头，只能停泊一艘轮船，设有甲、乙两艘轮船在0道T 小时这段时间内等可能地到达这个码头，到后都停1T 小时，求两船不相遇的概率．解：设y x ,分别为甲、乙船到达码头的时刻，A 为事件“两船相遇”。
则{}T y T x y x ≤≤≤≤=Ω0,0|),(，{}1|),(T y x y x A ≤-=。
所求概率为[]2121221)(11)(1)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=-=T T T T T T P A P ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （几）16.（蒲丰投针问题）设平面上画着一些有相等距离2a （a>0）的平行线。
向此平面上投一枚质地均匀的长为2l(l<a)的针，求针与直线相交的概率。
解：设x 为针的中点到最近一条直线的距离φ),0(a x ≤≤为针与直线的夹角，则{}πφφ≤≤≤≤=Ω0,0|),(a x x ， {}πφφφ≤≤≤≤=0,sin 0|),(l x x A ，于是有πφφππa l d l a L A L A P 2sin 1)()()(0⎰==Ω= ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――17. 某种动物由出生活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4，求现在20岁的这种动物能活到25岁的概率。
解：设A 为该动物能活到20岁，B 为能活到25岁，则A B ⊂，已知4.0)(,8.0)(==B P A P ，所求概率为5.0)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――18．由长期统计资料表明，某一地区6月份下雨（记为事件A ）的概率为4/15，刮风（记为事件B ）的概率为7/15，既下雨又刮风的概率为1/10，求)(),|(),|(B A P A B P B A P 解：()()()2143.0143157101≈===B P AB P B A P ()()()375.083154101====A P AB P A B P ()()()()6333.03019101157154≈=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――19．为防止意外，在矿内设有两种报警系统，单独使用时，系统Ａ有效的概率为 0.92 ，系统Ｂ有效的概率为 0.93 ，在系统Ａ失灵的条件下，系统Ｂ有效的概 率为 0.85，求：(1) 发生意外时，这两种系统至少有一个系统有效的概率．(2) 系统Ｂ失灵的条件下，系统Ａ有效的概率． 解：由题意85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P 。
（1）所求概率为：,988.0068.092.0)()()()()(=+=+=-+=B P A P A B P A P B A P 其中：068.0)92.01(85.0)()|()(=-⨯==A P A B P A B P（2）所求概率为 ,82857.007.0012.01)()(1)|(1)|(=-=-=-=B P B A P B A P B A P 其中 012.0068.008.0)()()()(=-=-=-=B A P A P B A A P B A P―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――20. 100件产品中有10件次品，用不放回的方式从中每次取1件，•连取3 次，求第三次才取得正品的概率．解：设第三次才取得正品的概率为A ，样本空间为3100A所以()0083.09899100910903100210190≈⨯⨯⨯⨯==A A C A P ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （条件）21. 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.4 ；•若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为 0.5 ；若甲机仍未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为 0.6 ．求在这几个回合中(1) 甲机被击落的概率；(2) 乙机被击落的概率．解：设A 为甲机第一次被击落，i B 为乙机第i 次被击落，这里21,,B B A 互不相容。
依题义有6.0)|(,5.0)|(,4.0)(1211===B A B P B A P B P（1）所求概率为 3.06.05.04.00)()|()()|()(1111=⨯+⨯=+=B P B A P B P B A P A P（2）所求概率为 )()()(2121B P B P B B P += ,其中18.06.05.06.0)()|()|()()|()(11121122=⨯⨯===B P B A P B A B P B A P B A B P B P故所求概率为58.018.04.0)()()(2121=+=+=B P B P B B P――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （全概）22. 一个袋子中装有6只白球，4只黑球，从中任取一只，然后放回，并同时加进2只与取出的球同色的球，再取第二只球，求第二只球是白色的概率．解：设A 为“第一次取得白球”，B 为“第二次取得白球”（共4白2黑），则6.02.04.0104126106128)()|()()|()(=+=⨯+⨯=+=A P A B P A P A B P B P ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――23. 10 张娱乐票中有4张电影票， 10个人依次抽签．•问第一个人与第二个人抽到电影票的概率是否相同？解：设i A 为事件“第i 个人抽到电影票”，则 104)(1=A P 1041069410493)()|()()|()(1121122=⨯+⨯=+=A P A A P A P A A P A P ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――24. 发报台分别以概率 0.6 和 0.4发出信号“ ．”和“ － ”，•由于通信系统受到干扰，当发出信号“ ．”时，收报台分别以概率 0.8 及 0.2 收到信号 “ ．”和“ － ”，同样，当发报台发出信号“ － ”时，收报台分别以概率 0 .9 和 0.1 收到信号“ － ”和“ ．”．求(1) 收报台收到信号“ ．”的概率．(2) 当收报台收到信号“ ．”时，发报台确系发出信号“ ．”的概率．解：设A ，B 分别为发出和接受信号“。