z 轴的对称点为 (−a, −b, c) 。
(3) 点 (a,b,c) 关于坐标原点的对称点为 (−a, −b, −c) 。
8．自点 P0 (x0, y0 , z0 ) 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，求出各垂足的坐标。 解 在 xOy 面、yOz 面和 zOx 面上, 垂足的坐标分别为 (x0 , y0 , 0) ，(0, y0 , z0 ) 和 (x0 , 0, z0 ) 。
18. 设 m = 3i + 5 j + 8k ， n = 2i − 4 j − 7k ， p = 5i + j − 4k ，求 a = 4m + 3n − p 在 x 轴 上的投影以及在 y 轴上的分向量.
解 因为 a = 4m + 3n − p = 4(3i + 5 j + 8k) + 3(2i − 4 j − 7k) − (5i + j − 4k)
习题 7.1
1.设 u = 3a + 5b − c ， v = 4a − b − 3c ，ω = 2a − c ，试用 a,b,c 表示向量 2u − v + 3ω .
解 2u − v + 3ω = 2(3a + 5b − c) − (4a − b − 3c) + 3(2a − c) = 8a +11b − 2c
于 xOy 面的平面上, 点的坐标为 (x, y, z0 ) 。
10. 一边长为 a 的立方体放置在 xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在 x 轴和 y 轴上，求各顶点的坐标。
解 因为底面的对角线的长为 2a , 所以立方体各顶点的坐标分别为
(− 2 a, 0, 0) , ( 2 a, 0, 0) , (0, − 2 a, 0) , (0, 2 a, 0) ,
解 A 在第四卦限， B 在第五卦限， C 在第八卦限， D 在第三卦限。 6．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：
A(3, 2,0) ； B(0,2,1) ； C(2,0,0) ； D(0, −2,0) ．
解 在 xOy 面上的点的坐标为 (x, y, 0) ；在 yOz 面上的点的坐标为 (0, y, z) ；在 zOx 面上的
解 因为 a + b + c = 0 所以 (a + b + c) ⋅ (a + b + c) = 0 ，
即 a ⋅ a + b ⋅b + c ⋅ c + 2a ⋅b + 2b ⋅ c + 2c ⋅ a = 0 ,
于是 a ⋅b + b ⋅ c + c ⋅ a = − 1 (a ⋅ a + b ⋅ b + c ⋅ c) = − 1 (1+1+1) = − 3 。
得 x = 3 ， b = {−48, 45, −36} .
习题 7.2
1. 设 a = 3i − j − 2k ， b = i + 2 j − k .求
（1） a ⋅ b 及 a × b ；（2）（-2a) ⋅ 3b 及 a × 2b ；（3） a,b 的夹角余弦.
110
解 (1) a ⋅b = 3⋅1+ (−1) ⋅ 2 + (−2) ⋅ (−1) = 3
⎯⎯→
D2 A
=
⎯⎯→
BA −
⎯⎯→
BD2
=
−c −
2 5
a
，
⎯⎯→
D3 A
=
⎯⎯→
BA −
⎯⎯→
BD3
=
−c
−
3 5
a
，
106
⎯⎯→
D4 A
=
⎯⎯→
BA −
⎯⎯→
BD4
=
−c −
4 5
a
。
5．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A(3, −2,5) ； B(1, 4, −4) ； C(2, −1, −3) ； D(−2, −5,7) ．
W = F ⋅ S = (0, 0, −980) ⋅ (−2,3, −6) = 5880 （焦耳）。
i jk
⎯⎯→
⎯⎯→
n = M1M2× M 2M3 = 2 4 −1 = 6i − 4 j − 4k
0 −2 2
| n |= 36 +16 +16 = 2 17
e = ± 1 (6i − 4 j − 4k ) = ± 1 (3i − 2 j − 2k ) 为所求向量。
2 17
17
3.设 a,b,c 为单位向量，且满足 a + b + c = 0 ，求 a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a 。
点的坐标为 (x, 0, z) 。
在 x 轴上的点的坐标为 (x, 0, 0) ；在 y 轴上的点的坐标为 (0, y, 0) ；在 z 轴上的点的坐标为
(0, 0, z) 。
A 在 xOy 面上， B 在 yOz 面上， C 在 x 轴上， D 在 y 轴上。
7．求点 (a,b,c) 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。
=
−
⎯⎯→
BC
=
−
1
(a
+
b
)
。
2
4. 把 ΔABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D1, D2, D3, D4 ，再把各分点与点 A 连接，试
以 AB = c, BC = a 表示向量 D1A, D2 A, D3 A, D4 A .
解
⎯⎯→
D1 A
=
⎯⎯→
BA −
⎯⎯→
BD1
=
−c
−
1 5
a
，
解 (1) 点 (a,b,c) 关于 xOy 面的对称点为 (a,b, −c) ；关于 yOz 面的对称点为 (−a,b, c) ；关
于 zOx 面的对称点为 (a, −b, c) 。
(2) 点 (a,b,c) 关于 x 轴的对称点为 (a, −b, −c) ；关于 y 轴的对称点为 (−a,b, −c) ；关于
3.已知菱形 ABCD 的对角线 AC = a ， BD = b ，试用向量 a,b 表示 AB, BC, CD, DA 。
解
⎯⎯→
AB
=
1
⎯⎯→
( AC+
⎯⎯→
DB)
=1(aFra bibliotek−b)
；
⎯⎯→
CD
=
−
⎯⎯→
AB
=
1
(b
−
a) ，
2
2
2
⎯⎯→
BC
=
1
⎯⎯→
(BD+
⎯⎯→
AC)
=
1
(a
+
b)
，
2
2
⎯⎯→
DA
cosα
=−
1 2
,
cos β =
2 2
,
cosγ = 1 2
α = 2π , 3
β=
3π
,
4
γ
=π。 3
15. 设向量的方向余弦分别满足（1） cosα = 0 ；（2） cos β = 1；（3） cosα = cos β = 0 .
问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
解 (1)当 cosα = 0 时, 向量垂直于 x 轴, 或者说是平行于 yOz 面.
ij k a × b = 3 −1 −2 = 5i + j + 7k
1 2 −1
(2)（-2a) ⋅3b = −6a ⋅b = −6⋅ 3 = −18
a × 2b = 2(a × b) = 2(5i + j + 7k ) = 10i + 2j +14k
^
(3) cos(a, b)
=
| a⋅b
|
=
3
=3。
解
Pr
ju
r
=|
r
| ⋅cos π 3
=
4⋅
1 2
=
2.
17. 设 a = i + j + k ， b = 2i − 3 j + 5k ，求出向量的模，并分别用单位向量表达向量 a,b ．
解 | a |= 12 +12 +12 = 3 ，| b |= 22 + (−3)2 + 52 = 38
于是 a = 3a0 , b = 38b0 .
2. 证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
→ →→
→ →→
证 AB =OB−OA ； DC =OC−OD ，
→
→
→
→
而 OC =−OA ， OD =−OB ，
→
→→ →→
→
所以 DC =−OA+OB =OB−OA=− AB .
这说明四边形 ABCD 的对边 AB=CD 且 AB//CD，
从而四边形 ABCD 是平行四边形.
13. 试证明以三点 A(4,1,9), B(10, −1,6),C(2, 4,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形。
解 因为
→
| AB|= (10−4)2 +(−1−1)2 +(6−9)2 =7 ,
→
| AC|= (2−4)2 +(4−1)2 +(3−9)2 =7 ,
→
|BC|= (2−10)2 +(4+1)2 +(3−6)2 =7 2 ,
→
|PA|2=32 + (y −1)2 + (z − 2)2 ,