八年级数学竞赛讲座四
边形
集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-
八年级数学竞赛讲座 四边形（2）
一、 知识要点：
1、梯形的定义、判定；
2、等腰梯形的定义、性质、判定；
3、三角形、梯形的中位线定理；
二、 例题：
1、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，求其中面积最小的那个梯形的两条对角线的长度之和；
2、已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＞CD ，两对角线AC 、BD 相互垂直，若BC=213，AB+CD=34，求AB ，CD 的长；
3、如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC=90°，AB=AC ，BD=BC ，AC 与BD 相交于点E ，求∠DCE 的度数；
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别
是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别与EF 的延长线交于点M 、N
求证：∠AMF=∠CNE
5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是
两底AD 、BC 的中点，且EF=2
1（BC －AD ）， 求证：∠B+∠C=90°；
6、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点， G 为AD 的中点，CG 的延长线交AB 于点E ，EF ∥AC 交AD 于
点F ，求证：BE=2CF ；
7、已知：如图，M 是AB 的中点，C 是AB 上任意一点，N 、P 分别是DC 、DB 的中点，Q 是MN 的中点，PQ 的延长线交AC 于点E ，
求证：E 是AC 的中点；
8、如图：四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD ，∠ABC ≠∠ADC ，
∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 的平分线两两相交于E 、F 、G 、H ，
求证：四边形EFGH 为等腰梯形；
9、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，E 为AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ；
10、已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点，
EF ⊥AB 于F ， 求证：AB EF S ABCD ⋅=梯形
11、在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，将BC 按逆时针方向绕点B 旋转90°，得到线段BE ，连接AE 、CE ，（如图（1））。

①若AB=2厘米，DC=3厘米，求证：1=∆ABE S 平方厘米；
A D F E
B C
②在图（1
）中，将线段
DC向上平行移动（其他条件不变），梯形ABCD和△ABE 的形状就会变化，如图（2）所示，如果DC一直移动到AB的上方，得到图（3），请你在上图的基础上将图（3）画完整（不需画出表示BC旋转方向的虚线）
12、如图：在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=BC，M为BC上的一点，且∠DMC=45°，求证：AD=AM
13、如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，BD=DC，AC⊥BD于M，
求证：)
(
2
1
DC
AB
CM+
=
14、在梯形ABCD中，AB∥CD，记
2
1
,
,S
S
S
S
S
S
DOC
AOB
BCD
=
=
=
∆
∆
∆
，
试判断
2
1
S
S+与S的大小，并说明理由；
15、如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，P是DE的中点，过P向AB、BC、CA作垂线，垂足分别为B、M、Q、N，求证：PQ=PM+PN；
C D
M
B A
A B
M
D C
EA
N
D P E
作业题：
1、如图：在△ABC 中，AD 、BE 都是中线，MN 平分BE 且平行于AD ，已知AD 、BE 、MN 将△ABC 分成六部分的面积依次记为a 、b 、c 、d 、e 、f ，当f=18时，求a 、b 、c 、d 、e 的值；
2、在梯形ABCD 中，已知AC=BC ，M 是底边AB 的中点，
L 是DA 延长线上一点直线LM 交BD 于点N ，
求证：∠ACL=∠BCN
3、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点，设梯形ABCD 的周长为1l ，四边形CDMN 的周长为2l ，求1l 与2l 满足的关系式；
4、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=a ，CD=b(a>b)，M 是DC 延长线上一点，如果AM 把梯形分成面积相等的两部分，求CM 的长；
5、△ABC 中，M 是AB 的中点，P 是AC 的中点，D 是MB 的中点，N 是CD 的中点，Q 是MN 的中点，直线PQ 交MB 于K ，求证：KB=KD ；
6、直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是AD 上一点，△BCE 是等腰直角三角形，∠CEB=90°，M 是BC 的中点，求证：△ADM 是等腰直角三角形； D C M N A B D C
M
E
A B。