第一讲跨越——从算术到代数“加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚。

华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献．纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．”用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．例题讲解【例1】观察下列等式9—l=8，16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，……这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来：．(河南省中考题)思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础．【例2】某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )．A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％思路点拨设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断．【例3】 计算)200113121)(20021211()2001131211)(200213121(++++++-+++++++ 思路点拨 直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算．【例4】 有—张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问：(1)经5次分割后，共得到多少张纸片?(2)经n 次分割后，共得到多少张纸片?(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? (江苏省竞赛题) 思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键．【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少？思路点拨 虽然要求的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有关，因此，需恰当地引进不同的字母表示数，以便充分运用已知条件．【例6】如图，在图1中，互补重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在第n 个图形中，互不重叠的三角形共有______个（用含n 的代数式表示）． （重庆市中考题）思路点拨 从三角形个数规律或图形生成特点入手．【例7】（1）计算：)20051211()20041211()200513121(+++-+++⨯+++ )200413121(+++⨯ ； （广西竞赛题） （2）设A =100510041005100410041003100410034343323221212222222222⨯++⨯+++⨯++⨯++⨯+ ，求A 的整数部分． （2008年北京市竞赛题）思路点拨 对于（1），直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的图3图2图1数值计算转化为简单的式的计算；对于（2），从分析A 中第n 项)1()1(22+⨯++n n n n 的特征入手． 【例8】有这样的两位数，交换该数的数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为2111219229==+，请你找出所有这样的两位数． 思路点拨 设原数为ab ，则新数为ba ，发现ba ab +的特点是解本例的关键．【例9】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m 个正方形，按如图2摆放时可摆成n 2个正方形．（1） 用含n 的代数式表示m ；当这a 根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a 的最小值．思路点拨 设图3中有3p 个正方形（为什么这样设？），无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，这样可以建立含m 、n 、p 的等式．链接：① 用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依关系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表示，是由算术习惯向代数过渡的重要步骤，是突破算术方法的定势的关键．② 本例的3个小题，反映了我们认识事物、探究问题的基本过程．第(1)小题是研究具体对象，第(2)小题是归纳出一般规律，第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题．有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字母，便于把数量关系表示出来，在解题中我们不需(或不能)求出所有字母的值，只需求出关键的字母的值，这种方法我们称之为“设而不求”．【培优专题一：从算术到代数】1．给出下列算式：图3图2图1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21112⨯=+，32222⨯=+，43332⨯=+，…… 观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律： ． (福州市中考题)2．已知：3223222⨯=+，8338332⨯=+，154415442⨯=+，……，若ba b a ⨯=+21010 (b a 、为正整数)，则b a += ． (2003年武汉市中考题)3．若)(n m +人完成一项工程需要m 天，则n 个人完成这项工程需要 天． (假定每个人的工作效率相同) (江苏省竞赛题)4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车．全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是 ． (河南省竞赛题)5．一项工程，甲建筑队单独承包需要a 天完成，乙建筑队单独承包需要b 天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要( )天．A ．b a +1B ．b a 11+ C. b a ab + D ．ab1 6．某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10％，三月份比二月份减少10％，那么三月份比一月份( )．A ．增加10％B ．减少10％C ．不增不减D ．减少1％ (河南省中考题)7．如图，在长方形ABCD 中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( )．A ．2c ac ab bc ++-B ．2cac bc ab +-- C ．ac bc ab a -++2 D ．ab a bc b -+-22（河北省中考题)8．为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是( )．A ．S 1＞S 2B ．S 1< S 2C ．S 1=S 2D ．无法比较9．从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下：211=；22431==+；239531==++；24167531==+++；252597531==++++；(1)请你推测出，从1开始，n 个连续的奇数相加，它们的和s 的公式是什么?(2)计算：①191715131197531+++++++++；②2523211917151311+++++++．(3)已知225)12(531=-++++n ，求整数n 的值．10．从小明的家到学校，是一段长度为a 的上坡路接着一段长度为b 的下坡路(两段路的长度不等但坡度相同)．已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20％，走下坡路时的速度比走平路时的速度快20％，又知小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟．(1)判断a 与b 的大小；(2)求a 与b 的的比值． (江苏省竞赛题)11.观察下列各正方形图案，每条边上有n （2≥n ）个圆点，每个图案中圆点的总数是S ．按此规律推断出S 与n 的关系式是 ． (2001年广西中考题)12．如图，将面积为2a 的小正方形与面积为2b 的大正方形放在一起(b >a >0)，用b a 、表示ABC V 的面积为 ． (天津市竞赛题)13．已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为．14．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案：(1)第4个图案中有白色地面砖 块；(2)第n 个图案中有白色地面砖 块． (2003年南昌市中考题)15．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( )．A ．1627384950B ．2345678910C ． 3579111300D ．4692581470(江苏省竞赛题)16．给出两列数：l ，3，5，7，9，…，2001和1，6，1l ，16，21，…，2001，同时出现在两列数中的数的个数为( )．A ．199B ．200C ． 201D ．202 (重庆市竞赛题)17．—种商品每件进价为a 元，按进价增加25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利( )．A ．0.125aB ．0.15aC ．0.25aD ．1.25a (山东泰安市中考题)18．如果用a 名同学在b 小时内搬运c 块砖，那么c 名同学以同样的速度搬运a 块砖所需的小时数是( )．A ．b a c 22B ．ab c 2C ．2c abD ．22cb a 19．已知n n a a 111+=+ (n =l ，2，3，…2002)．求当11=a 时，20032002433221a a a a a a a a ++++ 的值．20．在一次数学竞赛中，组委会决定用NS 公司的赞助款购买一批奖品，若以1台NS 计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买80份奖品．问这 笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少? (湖北省黄冈市竞赛题)21．将1~16这16个整数填入44⨯方格中，使每行、每列、每条对角线上四个数之和都相等，如图所示，恰有8个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了，请你将这擦掉的8108124914个数设法恢复出来．22．阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数(记作n )来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：%100⨯=食品消费支出总额n ，各类家庭的恩格尔系数如下表所示： 根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查．从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元，1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元．求：(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元?(2)设从1997年起m 年后该乡平均每户的恩格尔系数为m n （m 为正整数）．请用m的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数m n ，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数(百分号前保留整数)．(3)按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标? (桂林市中考题)提高训练1．用同样大小的黑棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子_________枚（用含n 的代数式表示）． （2008年海南省中考题）2．如图，一块拼图卡片的长度为cm 5，两块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为cm 9，则图3图2图1●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●n 块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为______cm （用含n 的代数式表示）．（2008年长春市中考题）3．如果a 是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数，这个四位数是（ ）．A ．11000+aB ．1100+aC ．110+aD ．1+a （重庆市竞赛题）4．图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y 为第n 层（n为正整数）三角形的个数，则下列关系式中正确的是（ ）．A ．44-=n yB ．n y 4=C ．44+=n yD ．2n y =（吉林省中考题）5．某商场经销一批电视机，进价为每台a 元，原零售价比进价高%m ，后根据市场变化，把零售价调整为原零售价的%n ，调整后的零售价为每台（ ）元．A ．%)%1(n m a ⨯+B ．%%)1(n m a +C ．%)1%)(1(n m a -+D ．%)1%(n m a -⨯ （2008年广东省竞赛题）6．已知n 是整数，现有两个代数式：（1）32+n ，（2）14-n ．其中，能表示“任意奇数”的（ ）．A ．只有（1）B ．只有（2）C ．有（1）和（2）D ．一个也没有7．有一张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问：（1）经五次分割后，共得到多少张纸片？（2）经n 次分割后，共得到多少张纸片？（3）能否经若干次分割后共得到2003张纸片？why ？ （第17届江苏省竞赛题）8．如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块；当白色瓷砖为2n （n 为正整数）块时，黑色瓷砖为______块． （宜昌市中考题）n 1块⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲9．在图甲中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图乙；对图乙中的每个阴影等边三角形仿照先前的做法，得到图丙，如此继续．如果图甲的等边三角形面积为1，则第n 个图形中所有阴影三角形面积的和为______．（第18届江苏省竞赛题）10．已知21=x ，nn x x 111-=+（n =1，2，3，…），则2004x =______． （重庆市竞赛题） 11．老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是 34567，34056，23456，34956．老师判定4个结果中只有一个正确，答对的是（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 （第16届“五羊杯”竞赛题）12．如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m ，n ，那么△AEG 的面积的值（ ）．A ．只与m 的大小有关B ．只与n 的大小有关C ．与m ，n 的大小都有关D ．与m ，n 的大小都无关（第19届江苏省竞赛题）13．有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的差相加，其和恰好等于18．若这四个数的乘积是23100，求这四个数． （天津市竞赛题）nm D G F E C B A答案：1.n 2+n=n(n+1)2.1093. ()m m n n+ 4.150分钟 5.C 6.D 7.B 8.B 9.(1)S=n 2 (2)①100 ②132-52=144 (3)n=15 10.(1)a<b,(2)把骑车走平路时的速度作为“1”,则 ,得0.8a +1.2b =56(1.2a +0.8b ),得a b =38. 11.S=4n-4 12.12b 2 13.595 14.(1)18;(2)4n+2 15.A 设自然数从a+1开始,这100个连续自然数的和为(a+1)+(a+2)+•…+(a+100)=100a+5050.16.C 第一列数可表示为2m+1,第二列数可表示为5n+1,由2m+1=5n+1,得n=25m,m=0,5,10…1000 17.A 18.D 提示:每一名同学每小时所搬砖头为c ab 块,c 名同学按此速度每小时搬砖头2c ab块. 19.提示:a 1=1,a 2=12,a 3=13……,a n =1n ,原式=20022003. 20.设每台计算器x 元,每本《数学竞赛讲座》书y 元,则100(x+3y)=80(x+5y),解得x=5y,故可购买计算器100(3)10085x y y x y +⨯==160(台),书100(3)1008x y y y y+⨯==800(本). 21.提示:设所填表中每行、每列、每条对角线四数之和为Ｓ，则 4S=1+2+3+…16=16172⨯,得S=34. 再设左上角所擦的数为x,则左下角擦的数为14-x,右下角擦掉的数为15+x,其余各格中擦掉的数都可以表示为x 的代数式,•再将主对角线上的数相加应得34,•即30+4x=34,解得x=1..22.(1)8000×60%=4800元.(2)n m=48002008000500mm++,即n m=482805mm++当m=2003-1997=6时.n6=48268056+⨯+⨯≈0.55=55%.(3)取n=0.5,即482805mm++=12,解得m=16,即1997+16=2013<2020年,所以,2013•年该村进入小康生活,并能实现十六大提出的目标.11。