~yi
1

yi
h (xiexi

yi )
yi1

yi

h 2
[(
xi
e

xi

yi ) (xi1exi1

~yi 1 )]
(i 0,1, ,9)
计算结果见表6-2（书125页）
6.2 计算公式的误差分析
定义6.1 若 yi+1 是 yi=y(xi) 从计算得到的近似解，则称 y(xi+1) － yi+1为所用公式的局部截断误差，简称为截断误差。

yi1
yi y(x0 )
hf
( xi y0
,
yi
)
利用泰劳展开式：
y(x)

y(xi )
y '(xi )(x
xi )
y(xi ) (x 2!
xi )2
L
则精确解y ( xi 1 )

y ( xi
h)

y(xi )
y '(xi )h
y(xi ) 2!
h

b
x0 N
, 然后逐个求解出节点上的函数值
y ( x1 ),
y(x2 ),
,
y(xN )的近似值
6.1 欧拉方法
6.1.1 欧拉公式与改进欧拉公式
1)算法：
已知
y f (x, y)

y(
x0
)

y0
（1） （2）
求y(x)在点x1, x2 ,L xn处的近似值。
设y(xi )表示y(x)在xi处的精确值，yi表示y(x)在xi处的 近似值。
yi1 y(xi ) h f (xi , y(xi )) y(xi ) hy(xi )
故
y(xi1)
yi1

h2 2
y(xi ) O(h3 )
O(h2)
因此，欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)
(6 8)
（2）对后退欧拉公式，有
yi1 y(xi ) h f (xi1, y(xi1))
故
y(xi1)
yi1
h2 2
y(xi ) O(h3) O(h2 )
因此，后退欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)
(6 9)
（3）对梯形公式，注意到其公式可改写为
yi1

1 2
[
yi

hf
( xi
,
yi
)][ yi

h
f
( xi 1 ,
yi1)]
故由式（6-9）和（6-9）得
而 y(xi1) y(xi ) hy(xi ) (h2 / 2) y(xi ) O(h3 )

y(xi )

hy(xi )

h2[1 2
f x

1 2
y
f ]y ( xi , y( xi ))

O(h3 )
根据格式为二阶精度，即 y(xi+1) －yi+1 = O(h3) 比较两式系数得
第六章 常微分方程初值问题的数 值解法
6.1 欧拉方法 6.2 计算公式的误差分析
6.3 龙格－库塔方法 6.4 向一阶方程组与高阶方程的推广
一、欧拉法：
1.问题的提出：
求解

y y(
x0
f )
(x, y) y0
x [x0,b]
(5 1)
只要f(x,y)满足一定条件，则此问题的解是存在的， 且是唯一的。
在求解的过程中，我们已掌握了一些典型方程的 解法。但是仍有不少方程是无法求出其解析解的，因 此我们要讨论其数值解。即在微分方程解存在的前提 下，构造一种算法，计算出微分方程的解y(x)在存在 区间上点 x1, x2,L , xn 上的值的近似值，即不求其准确 解y=y(x)的解析表达式，而求出一个函数表格
y(xi1 )

yi1

1 2
y(xi1 ) [ yi h f (xi , yi )]
y(xi1 ) [ yi h f (xi1, yi1 )]

1 h2
2
[
2
y
(
xi
)

O(h
3
)
]

[
h2 2
y
(
xi
)

O(h
3
)]

O(h3 )
xi
xi1 f (x, y(x))dx
xi
从而把微分方程问题转化为积分方程问题
y(xi1) y(xi )
xi1 xi
f (x, y(x))dx
(6 4)
由
xi1 xi
f
(x,
y( x))dx

h[ 2
f
(xi ,
y(xi ))
f (xi1, y(xi1))]
得
y ( xi 1 )
h2
L
而
yi1 yi hf (xi , yi ) yi hy '(xi )

y(xi1) yi1
y(xi ) h2 L 2!
O(h2 )
欧拉公式的截断误差为O(h2 ).
例6.1 以 h=0.1为步长，用欧拉法求常微分方程初值问题
y xex y
得到初值问题(1)(2)的各种数值解法。
若
xi1 xi
f (x, y)dx
hf
(xi , yi )
则得到

yi1
yi y(x0 )
hf
( xi y0
,
yi
)
——欧拉公式
若
xi1 xi
f (x, y)dx
hf (xi1, yi1)
则得到

yi
1


yi hf (xi1, y(x0 ) y0
定理6.1 若单步法 yi+1 = yi+h (xi , yi , h) 的局部截断 误差为 O (h p+1) ，且增量函数 (x , y , h) 关于 y 满足李普希 兹条件，即存在常数 L>0，使对 y, ~y 成立不等式
| (x, y, h) (x, ~y, h) | L | y ~y |
yi 1 )
——后退欧拉公式
这样由(x0 , y0 ) (x1, y1) (x2, y2 )L (xn , yn ).
误差
误差是由两部分构成，每一步计算所产生的误差与误
差的积累。我们仅讨论前一种误差，即在计算 yi1 时认为前 一步是精确的，即 y(xi ) yi ，我们估计 y(xi1) y i1 ——截断误差（局部）
x x0 x1 x2 xn y y0 y1 y2 yn 列表函数
在这里我们考虑等距节点，即xi xi1 h, h为常数，则 xk x0 kh , xk为节点。
上述问题与插值问题正好相反，一个是将离散问题 连续化，一个是将连续问题离散化。
2.数值求解方法：
对区间[x0,b]作等距分割,生成节点xi x0 ih (i 0,1, , n),
(6 10)
因此，梯形公式的局部截断误差为 O ( h3 )
（4）对改进欧拉公式，有
~yi1 y(xi ) h y(xi )
yi1

h[ f 2
(xi ,
yi )
f (xi1, ~yi1)]
而由 y f (x, y) 得 y fx(x, y) yf y(x, y) ，故有

~yi
1

yi1

yi yi
h f (xi , yi )

h 2
[
f
(
xi
,
yi
)

f
( xi 1 ,
~yi1
)
(i ]

0,1,
,N
1)
这称为改进欧拉公式
例6.2 仍取步长h = 0.1，采用改进欧拉法重新计算例 6.1 的 常微分方程初值问题。
解 这时改进欧拉公式为
则其整体截断误差 y(xi)－ yi=O(hp)
截断误差的估计(基本假设： yi = y( xi ) )
设 y(x)C 3 [x0 , b] , 则
y(xi1) y(xi h) y(xi ) hy(xi )
h2 2
y(xi ) O(h3)
(6 7)
（1）对欧拉公式，有
h2 2
y(xi ) O(h3)
与式（6-7）比较得 y(xi+1) －yi+1 = O ( h3 ) 因此，改进欧拉公式的局部截断误差为 O ( h3 )
定义6.2 若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方 法的局部截断误差为 O ( hp+1 ) ，则称该方法为 p阶精度，或 称该方法为 p阶方法。

y(xi )
h[ 2
f
(xi ,
y(xi ))
f
( xi 1 ,
y( xi 1 ))]
从而导出梯形公式

yi
1

yi

h[ 2
f
(xi ,
yi )
f
( xi 1 ,
yi 1 )]
y0 y(x0 )
(6 5)
欧拉公式是显示格式，而梯形公式也是隐式公式，在求 yi1 是 要解一个函数方程（不方便）。因此我们利用将梯形公式与欧 拉公式联合使用，先用欧拉公式求得一个初步近似值 ²yi1 ，称 为预报值，然后代入梯形公式右边，得到 yi1 ——校正值。