习题 2.11．将下列命题符号化。
(1) 4不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：4。
“4不是奇数。
”符号化为：¬A(a)(2) 2是偶数且是质数。
解：设A(x)：x是偶数。
B(x)：x是质数。
a：2。
“2是偶数且是质数。
”符号化为：A(a)∧B(a)(3) 老王是山东人或河北人。
解：设A(x)：x是山东人。
B(x)：x是河北人。
a：老王。
“老王是山东人或河北人。
”符号化为：A(a)∨B(a)(4) 2与3都是偶数。
解：设A(x)：x是偶数。
a：2，b：3。
“2与3都是偶数。
”符号化为：A(a)∧A(b)(5) 5大于3。
解：设G(x,y)：x大于y。
a：5。
b：3。
“5大于3。
”符号化为：G(a,b)(6) 若m是奇数，则2m不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：m。
b：2m。
“若m是奇数，则2m不是奇数。
”符号化为：A(a)→A(b)(7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。
设D(x,y)：直线x相交于直线y。
a：直线A。
b：直线B。
“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
”符号化为：C(a,b)↔¬D(x,y)(8) 小王既聪明又用功，但身体不好。
解：设A(x)：x聪明。
B(x)：x用功。
C(x)：x身体好。
a：小王。
“小王既聪明又用功，但身体不好。
”符号化为：A(a)∧B(a)∧¬C(a)(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。
解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。
a：秦岭。
b：渭水。
c：汉水。
“秦岭隔开了渭水和汉水。
”符号化为：A(a,b,c)(10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。
解：设A(x)：x是东北人。
B(x)：x怕冷。
a：小李。
“除非小李是东北人，否则她一定怕冷。
”符号化为：B(a)→¬A(a)2．将下列命题符号化。
并讨论它们的真值。
(1) 有些实数是有理数。
解：设R(x)：x是实数。
Q(x)：x是有理数。
“有些实数是有理数。
”符号化为：(∃x)(R(x)∧Q(x))它的真值为：真。
(2) 凡是人都要休息。
解：设R(x)：x是人。
S(x)：x要休息。
“凡是人都要休息。
”符号化为：(∀x)(R(x)→S(x))它的真值为：真。
(3) 每个自然数都有比它大的自然数。
解：设N(x)：x是自然数。
G(x,y)：x比y大。
“每个自然数都有比它大的自然数。
”符号化为：(∀x)(N(x)→(∃y)(N(y)∧G(y,x)))它的真值为：真。
(4) 乌鸦都是黑的。
解：设A(x)：x是乌鸦。
B(x)：是黑的。
“乌鸦都是黑的。
”符号化为：(∀x)(A(x)→B(x))它的真值为：真。
(5) 不存在比所有火车都快的汽车。
解：设A(x)：x是汽车。
B(x)：是火车。
K(x,y)：x比y快。
“不存在比所有火车都快的汽车。
”符号化为：¬(∃x)(A(x)∧(∀y)(B(y)→K(x,y)))它的真值为：真。
(6) 有些大学生不佩服运动员。
解：设S(x)：x是大学生。
L(x)：是运动员。
B(x,y)：x佩服y。
“有些大学生不佩服运动员。
”符号化为：(∃x)(S(x)∧L(y)∧¬B(x,y))它的真值为：真。
(7) 有些女同志既是教练员又是运动员。
解：设W(x)：x是女同志。
J(x)：x是教练员。
L(x)：x是运动员。
“有些女同志既是教练员又是运动员。
”符号化为：(∃x)(W(x)∧J(x)∧L(x))它的真值为：真。
(8) 除2以外的所有质数都是奇数。
解：设A(x)：x是质数。
B(x)：x是奇数。
C(x,y)：x不等于y。
“除2以外的所有质数都是奇数。
”符号化为：(∀x)(A(x)∧C(x,2)→B(x))它的真值为：真。
3．指出一个个体域，使下列被量化谓词的真值为真，该个体域是整数集合的最大子集。
在以下各题中，A(x)表示：x＞0，B(x)表示：x=5，C(x,y) 表示：x＋y=0(1) (∀x)A(x)解：正整数集合Z+。
(2) (∃x)A(x)解：整数集合Z。
(3) (∀x)B(x)解：集合｛5｝。
(4) (∃x)B(x)解：整数集合Z。
(5) (∀x)(∃y)C(x,y)解：整数集合Z。
4．分别在全总个体域和实数个体域中，将下列命题符号化。
(1) 对所有的实数x，都存着实数y，使得x－y=0解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x－y=0。
在实数个体域符号化为：(∀x)(∃y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(∀x)(R(x)→(∃y)(R(y)∧B(x,y))) (2) 存在着实数x，对所有的实数y，都有x－y=0解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x－y=0。
在实数个体域符号化为：(∃x)(∀y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(∃x)(R(x)∧(∀y)(R(y)→B(x,y))) (3) 对所有的实数x和所有的实数y，都有x＋y=y＋x解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x=y。
在实数个体域符号化为：(∀x)(∀y)B(x+y,y+x)在全总个体域符号化为：(∀x)(R(x)→(∀y)(R(y)→B(x+y,y+x))) (4) 存在着实数x和存在着实数y，使得x＋y=100解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x＋y=100。
在实数个体域符号化为：(∃x)( ∃y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(∃x)(R(x)∧(∃y)(R(y)∧B(x,y)))习题 2.21. 指出下列公式中的约束变元和自由变元。
(1) (∀x)(P(x)→Q(y))解：约束变元：x，自由变元：y(2) (∀x)(P(x)∧R(x))→((∃x)P(x)∧Q(x))解：约束变元：x，自由变元：x(3) (∀x)(P(x)∧(∃x)Q(x))∨((∀x)R(x,y)∧Q(z))解：约束变元：x，自由变元：y，z(4) (∃x)(∀y) (R(x,y)∧Q(z))解：约束变元：x，y，自由变元：z(5) (∀z) (P(x)∧(∃x)R(x,z)→(∃y)Q(x,y))∨R(x,y)解：约束变元：x，y，z，自由变元：x，y2. 对下列谓词公式中的约束变元进行换名。
(1) (∃x)(∀y)(P(x,z)→Q(x,y))∧R(x,y)解：将约束变元x换成u：(∃u)(∀y)(P(u,z)→Q(u,y))∧R(x,y) 将约束变元y换成v：(∃x)(∀v)(P(x,z)→Q(x,v))∧R(x,y)(2) (∀x)(P(x)→(R(x)∨Q(x,y)))∧(∃x)R(x)→(∀z)S(x,z)解：将前面的约束变元x换成u，后面的约束变元x换成v：(∀u)(P(u)→(R(u)∨Q(u,y)))∧(∃v)R(v)→(∀z)S(x,z)将约束变元z换成w：(∀x)(P(x)→(R(x)∨Q(x,y)))∧(∃x)R(x)→(∀w)S(x,w)3. 对下列谓词公式中的自由变元进行代入。
(1) ((∃y)Q(z,y)→(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)解：将自由变元z用u代入：((∃y)Q(u,y)→(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,u)将自由变元y用v代入：((∃y)Q(z,y)→(∀x)R(x,v))∨(∃x)S(x,v,z)(2) (∀y)P(x,y)∧(∃z)Q(x,z)↔(∃x)R(x,y)解：将自由变元x用u代入：(∀y)P(u,y)∧(∃z)Q(u,z)↔(∃x)R(x,y)将自由变元y用v代入：(∀y)P(x,y)∧(∃z)Q(x,z)↔(∃x)R(x,v)4. 利用谓词公式对下列命题符号化。
(1) 每列火车都比某些汽车快。
解：设A(x)：x是火车。
B(x)：x是汽车。
C(x,y)：x比y快。
“每列火车都比某些汽车快。
”符号化为：(∀x)(A(x)→(∃y)(B(y)∧C(x,y)))(2) 某些汽车比所有火车慢。
解：设A(x)：x是火车。
B(x)：x是汽车。
C(x,y)：x比y快。
“某些汽车比所有火车慢。
”符号化为：(∃x)(B(x)∧(∀y)(A(y)→C(y,x)))(3) 对每一个实数x，存在一个更大的实数y。
解：设R(x)：x是实数。
G(x,y)：x比y大。
“对每一个实数x，存在一个更大的实数y。
”符号化为：(∀x)(R(x)→(∃y)(R(y)∧G(y,x)))(4) 存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。
解：设R(x)：x是实数。
G(x,y)：x比y大。
“存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。
”符号化为：(∃x)(∃y)(∃z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,xz))(5) 所有的人都不一样高。
解：设R(x)：x是人。
G(x,y)：x和y一样高。
“所有的人都不一样高。
”符号化为：(∀x)(∀y)(R(x)∧R(y)→¬G(x,y))5. 自然数一共有下述三条公理：a) 每个数都有惟一的一个数是它的后继数。
b) 没有一个数使数1是它的后继数。
c) 每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。
用两个谓词表达上述三条公理。
注：设n是不等于1的自然数，则n＋1是n的后继数，n－1是n的先驱数。
解：设A(x)：x是数。
B(x,y)：x是y后继数(根据定义，也可理解为y是x先驱数)。
a) “每个数都有惟一的一个数是它的后继数。
”符号化为：(∀x)(A(x)→(∃y)(A(y)∧B(y,x))∧((∃z)(A(z)∧B(z,x))→(z=y)))b) “没有一个数使数1是它的后继数。
”符号化为：¬(∃x)(A(x)∧B(1,x))c) “每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。
”符号化为：(∀x)(A(x)∧¬(x=1)→(∃y)(A(y)∧B(x,y))∧((∃z)(A(z)∧B(x,z))→(z=y)))6. 取个体域为实数集R，函数f在a点连续的定义是：对每个ε＞0，存在一个δ＞0，使得对所有x，若|x－a|＜δ，则|f(x)－f(a)|＜ε。
试把此定义用符号化的形式表达出来。
解：(∀ε) ((ε＞0)→(∃δ)( (δ＞0)∧(∀x) ((|x－a|＜δ)→(|f(x)－f(a)|＜ε))))7.若定义惟一性量词(∃!x)为“存在惟一的一个x”，则(∃!x)P(x)表示“存在惟一的一个x使P(x)为真”。
试用量词，谓词及逻辑运算符表示(∃!x)P(x)。
解：(∃!x)P(x)⇔(∃x)P(x)∧((∃y)P(y)→(y=x))习题 2.31. 设个体域为D=⎨1,2,3⎬，试消去下列各式的量词。
(1) (∀x)P(x)解：(∀x)P(x)⇔P(1)∧P(2)∧P(3)(2) (∀x)P(x)→(∃y)Q(y)解：(∀x)P(x)→(∃y)Q(y)⇔(P(1)∧P(2)∧P(3))→(Q(1)∨Q(2)∨Q(3))(3) (∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)解：(∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)⇔(P(1)∧P(2)∧P(3))∨(Q(1)∨Q(2)∨Q(3))(4) (∀x)(P(x)↔Q(x))解：(∀x)(P(x)↔Q(x))⇔(P(1)↔Q(1))∧(P(2)↔Q(2))∧(P(3)↔Q(3))(5) (∀x)⌝P(x)∨(∀y)Q(y)解：(∀x)¬P(x)∨(∀y)Q(y)⇔ (¬P(1)∧¬P(2)∧¬P(3))∨(Q(1)∧Q(2)∧Q(3))2. 求下列各式的真值。