第四章 数值微分与数值积分一、基本内容提要1. 差商型数值微分公式 （1）向前差商公式h x f h x f x f )()()('-+≈（2）向后差商公式hh x f x f x f )()()('--≈（3）中心差商公式hh x f h x f x f 2)()()('--+≈2. 插值型数值微分（1）两点数值微分公式（1=n ）过节点h x x x +=010,的插值型数值微分两点公式为hx f x f x L x f )()()(')('01010-=≈hx f x f x L x f )()()(')('01111-=≈其截断误差为)(''2)('001ξf h x R -=， )(''2)('111ξf hx R -= 其中),(b a i ∈ξ)1,0(=i 。

（2）三点数值微分公式过节点)2,1,0(0=+=i ih x x i 的插值型计算导数的三点公式为)]()(4)(3[21)('2100x f x f x f h x f -+-≈)]()([21)('201x f x f h x f +-≈)](3)(4)([21)('2102x f x f x f hx f +-≈其截断误差为)('''3)('0202ξf h x R -=)('''6)('1212ξf h x R -=)('''3)('2222ξf h x R = ),(b a i ∈ξ )2,1,0(=i（3）二阶数值微分公式)]()(2)([1)('')(''21022x f x f x f hx L x f i i +-=≈ )2,1,0(=i 住：此公式是三点公式。

3. 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）公式 将积分区间],[b a n 等分，步长nab h -=，取等距节点 ),...2,1,0(n i iha x i =+=则柯特斯（Cotes ）系数dt n t k t k t t t nk n k Cn kn n k⎰---+----=-0)()()1)(1()1()!(!)1( ),,1,0(n k = 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）求积公式为∑⎰=-≈ni k n k ba x f C ab dx x f 0)()()(）（又被称为N-C 公式。

下面给出几种特殊的N-C 求积公式。

（1）梯形求积公式：当1=n 时，21)1(1)1(0==C C ，相应的求积公式)]()([2)(b f a f ab dx x f ba+-≈⎰ 称为梯形求积公式。

（2）辛普森（Simpson ）公式当2=n 时，61)2(0=C ，64)2(1=C ，61)2(2=C ，相应的求积公式为 )]()2(4)([6)(b f ab f a f a b dx x f ba+-+-≈⎰ （3）柯特斯（Cotes ）公式 当4=n 时，令4ab ka x k -+=，)4,3,2,1(=k ，求积公式 )](7)(32)(12)(32)(7[90)(43210x f x f x f x f x f ab dx x f ba++++-≈⎰ 称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）公式。

4. 求积公式的代数精度 若求积公式∑⎰=≈ni k k ba x f A dx x f 0)()( 对任意次数不高于m 次的多项式)(x f 均精确成立，而对某个1+m 次的多项式不精确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度（Algebraic Accuracy ）。

5. 复化梯形积分若将积分区间n b a ],[等分，步长na b h -=，节点)10(,n , , k kh , a x k =+=在每个小区间 ],[1+k k x x )110(-=,n , , k 上用梯形公式)]()([2)(b f a f ab dx x f ba+-≈⎰ 并求和∑⎰⎰-=+=11)()(n k x x bak kdx x f dx x f)]()([2110+-=+≈∑k k n k x f x f h])(2)()([211∑-=++≈n k k x f b f a f h得到的公式])(2)()([211∑-=++=n k k n x f b f a f hT称为复化梯形公式。

6. 复化辛普森（Simpson ）积分若将积分区间],[b a 分成m n 2=等分，步长nab h -=，节点kh a x k += )10(,n , , k =在每个小区间 ],[222k k x x -上使用Simpson 公式)]()2(4)([6)(b f ab f a f a b dx x f ba+-+-≈⎰ 则有)]()(4)([6)(21222222222k k k k k x x x f x f x f x x dx x f kk ++-≈---⎰- )]()(4)([321222k k k x f x f x f h++=-- 其中2222--=-=k k x x n a b h ，对其求和可得 =⎰badx x f )(∑⎰=-mk x x kk dx x f 1 )(222)]()(4)([3212122k k mk k x f x f x f h++≈-=-∑ ])()(4)([312112102∑∑∑==--=++=mk k m k k m k k x f x f x f h ])(2)(4)()([3112112∑∑-==-+++=m k k m k k x f x f b f a f h得到的公式])(2)(4)()([3112112∑∑-==-+++=m k k m k k n x f x f b f a f hS则称为复化Simpson 公式。

7. 龙贝格(Romberg)求积公式Romberg 积分是一种最典型的外推算法，是利用逐次分半的梯形序列{}k T 2，经Richardson 外推算法得到的求积公式。

下面对改公式进行详细的介绍：对积分⎰=ba dx x f I )(，使用复化梯形公式并记n T )(0k T =)2(1kab I -= ),1,0( =k 再根据Euler-Maclaurin 公式，可得+-+-+-=ik i k k k a b a a b a a b a T f R 24221)(0)2()2()2(),( 取其中的21=q ，由Richardson 外推公式得 34)21(1)2()21()2()2()(0)1(0212122k k k k k T T a b I a b I a b I -=----=-++ 设=-)2(2k a b I )(1k T ，则)(1k T 34)(0)1(0k k T T -=+),1,0( =k ，且有 ))2((),(4)(1kk a b O T f R -= 如此重复Richardson 公式可得14)2()2(4)2(11----=-++mkm k m m k m ab I a b I ab I 若记=-+)2(1k m a b I )(k m T ，则上式可记为 )(k mT144)(1)1(1--=-+-m k m k m m T T ,,3,2,1( =m ),2,1,0 =k此式即为龙贝格(Romberg)求积公式。

8. 高斯(Gauss)求积公式Gauss 型求积公式是指具有12+n 次代数精度的形如∑⎰=≈nk k k bax f A dx x x f 0)()()(ρ插值型求积公式，其节点n x x x x ,,,210称为Gauss 点。

下面介绍几种常用的Gauss 型求积公式： （1）高斯-勒让德（Gauss-Legendre ）求积公式∑⎰=-≈nk k k x f A dx x f 011)()( 其Gauss 点为Legendre 多项式])1[()!1(21)(121111+++++-+=n n n n n x dxd n x L ),2,1,0( =n 的零点，求积系数为212)]()[1(2k nkk x x A +'-=ω ),1,0(n k =（2）高斯-切比雪夫（Gauss - Chebyshev ）求积公式 ⎰∑-=≈-112)(1)(nk k k x f A dx xx f其Gauss 点及求积系数为1,2212cos+=++=n A n k x k k π),1,0(n k =， ),2,1,0( =n（3）高斯-拉盖尔（Gauss - Laguerre ）求积公式⎰∑∞=-≈01)()(nk k k xx f A dx x f e其Gauss 点为Laguerre 多项式)[()(111+++=n x n n xn x e dxd e x L ),2,1,0( =n 的零点，求积系数为212)]([])!1[(k nk k x L x n A +'+= ),1,0(n k = （4）高斯-埃尔米特（Gauss – Hermite ）求积公式⎰∑∞+∞-=-≈nk k k x f A dx x f ex1)()(2其Gauss 点为Hermite 多项式)[()1()(22x n n x nn e dxd ex H --= ),2,1,0( =n 的零点，求积系数为 211)]([!2k n n k x H n A ++'=π),1,0(n k =。