大一第二学期高等数学期中考试试卷
一、填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分,请将合适的答案填在空中;
1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，,则该球面的方程为
______________________
2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为
3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为
4、22
22222
(,)(0,0)
(1cos())sin lim
()e
x y x y x y xy x y +→-+=+
5、设二元函数y x xy z 3
2
+=,则
=∂∂∂y
x z
2_______________ 二、选择填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分;以下每道题有四个答案,其中只有一个答案是正确的,请选出合适的答案填在空中,多选无效; 1、旋转曲面1222=--z y x 是
A ．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成；
B ．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成；
C ．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成；
D ．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．
2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.
A.212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;
B.32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++;
C.32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++;
D.322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++
3、已知直线π
22122
:
-=
+=
-z
y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 A.L 在π内; B.L 与π不相交; C.L 与π正交; D.L 与π斜交. 4、下列说法正确的是
A 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ,使得b a λ=；
B 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22y
z
∂∂在区域D 内连续,则在该区域内两个
二阶混合偏导必相等；
C 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；
D 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要
条件.
5、设),2,2(y x y x f z -+=且2
C f ∈即函数具有连续的二阶连续偏导数,则=∂∂∂y
x z
2
A 122211322f f f --;
B 12221132f f f ++;
C 12221152f f f ++;
D 12221122f f f --.
三、计算题本大题共29分
1、本题13分计算下列微分方程的通解;
16分221xy y x y +++='
27分x xe y y y 223=+'-''
2、本题8分设u t uv z cos 2+=,t e u =,t v ln =,求全导数
dt
dz ; 3、本题8分求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值; 四、应用题本题8分
1、某工厂生产两种型号的机床,其产量分别为x 台和y 台,成本函数为
xy y x y x c -+=222),
( 万元,若市场调查分析,共需两种机床8台,求如何安排生产使其
总成本最少最小成本为多少 五、综合题本大题共21分
1、本题10分已知直线⎪⎩⎪⎨⎧==+011x c z b y l ：,⎪⎩⎪⎨⎧==-0
1
2y c z a x l ：,求过1l 且平行于2l 的平面方程．
2、本题11分设函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++ 在球面
22225(0,0,0)x y z R x y z ++=>>>上求一点,使函数(,,)f x y z 取到最大值．
六、证明题本题共12分
1、设函数⎪⎭
⎫
⎝⎛=x y x z
F x u k ,
,其中k 是常数,函数F 具有连续的一阶偏导数．试证明:z u z y u y x u x
∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x y x
z F kx k , 第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分 1.、 ()()()21113222=-+++-z y x
2、12
．
3、2450x y z +--=．
4、0
5、232x y +；
二、选择填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分
1A 2B 3C 4C 5A
三、计算题本大题共29分
1、1解：将原微分方程进行分离变量,得：
x x y
y
d )1(1d 2
+=+ 上式两端积分得c x x x x y y
y ++=+==+⎰⎰2)d 1(arctan 1d 2
2
即 ： c x x y ++=2
arctan 2
其中c 为任意常数． 2解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r ,22=r 于是,
该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根,故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y +=代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,2
10=b ,11-=b
于是,求得题没方程的一个特解*y .)12
1(2x e x x -= 从而,所求题设方程的通解为.)12
1(2221x x x e x x e C e C y -++= 2、解：
()
u t v u t uv u
u z sin cos 22-=+∂∂=∂∂,
()
uv u t uv v v z 2cos 2=+∂∂=∂∂,u t
z cos =∂∂ 依复合函数求导法则,全导数为
3、解：解方程组()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=0
22,01422,22
2y e y x f y y x e y x f x
y x x ,得驻点⎪⎭⎫
⎝⎛-1,21;由于()()
124,22+++==y y x e y x f A x xx ,()()142+==y e xy f B x xy ,()x yy e y x f C 22,==在点
⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处,02>=e A ,0=B ,e C 2=,2
24e B AC =-,所以函数在点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1,21处取得极小值,极小值为21,21e f -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-;
四、应用题本题8分
1、解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值 构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ
解方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ
解得 3,5,7==-=y x λ
这唯一的一组解,即为所求,当这两种型号的机床分别生产5台和3台时,总成本最小,最小成本为：2835325)3,5(22=⨯-⨯+=c 万 五、综合题本大题共21分
1、解：直线1l 与2l 的方向向量分别为
{}⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧=b c c b 1100011101，，，，，，s ,
{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a c
c a 101
0101012，，，，，，s ,
作 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧--=⨯=221111c bc ca
，，s s n ,
取直线1l 上的一点()c P ，，001,则过点1P 且以⎭⎬⎫
⎩⎨⎧--=2111c bc ca
，，n 为法向量的平面01=+--c
z
b y a x , 就是过1l 且平行于2l 的平面方程．
2、解：设球面上点为(,,)x y z ．
令 2222(,,,)ln ln 3ln (5)L x y z x y z x y z R λλ=+++++-,
由前三个式子得2
2
2
3
z x y ==,代入最后式子得,x y R z ===．由题意得(,,)f x y z 在
球面上的最大值一定存在,因此唯一的稳定点(,)R R 就是最大值点,最大值为
5(,))f R R =．
六、证明题本题共12分1、证明：
所以,z
u z y u y x u x
∂∂+∂∂+∂∂。