2
a
2
或
a
a
a
．③
a
b
a
b
．
⑶运算律：①
a
b
b
a
；②
a
b
a
b
a
b
；③
a
b
c
a
c
b
c
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a
x1,
y1
，
b
x2 ,
y2
，则
a
b
x1x2
y1
y2
．
若a
x, y ，则
a
2
x2
y2 ，或
a
x2 y2 ．
设a
高中数学必修 4 知识点
6、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 l ． r
7、弧度制与角度制的换算公式： 2
360 ，1
180
，1
180
57.3 ．
8、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，
则 l r ， C 2r l ， S 1 lr 1 r2 ． 22
x2 ,
y2
，则
a
b
x1
x2
,
y1
y2
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a
x1,
y1
，
b
x2
,
y2
，则
a
b
x1
x2
,
y1
y2
．
设 A 、 两 点 的 坐 标 分 别 为 x1, y1 ， x2 , y2 ， 则
A x1 x2 , y1 y2 ．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：
a
b
a
b
a
b
⑷
运
算
性
质
：
①
交
换
律
：
a
b
b
a
；
②
结
合
律
：
a
b
c
a
b
c
；③
a
0
0
a
a
．
⑸坐标运算：设
a
x1,
y1
，
b
C
a
b
A
a
b
AC
A
C
19、向量数乘运算：
⑴实数
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
a
．①
a
a
；
②当
0
时，
a
的方向与
a
的方向相同；当
0
时，
a
的方向与
a
的方向相反；当
0
时，
a
0
．
⑵运算律：①
a
a
；②
a
a
a
；③
a
b
a
b
．
⑶坐标运算：设
a
x,
y
，则
a
x
→横坐标伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不变），→
y
sin x
→向
左（右）平移 个单位长度→→纵坐标伸长（缩短）到原来的 A 倍（横坐标不变）→
y Asin x
函数 y A sin x A 0, 0 的性质：
①振幅： A ；②周期： 2 ；③频率： f 1 ；④相位：x ；⑤初相：
x,
y
x,
y
．
20、向量共线定理：向量 a
a
0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
，使
b
a
．
设
a
x1,
y1
，
b
x2,
y2
，
其
中
b
0
，
则
当且仅
当
x1 y2
x2
y1
0
时
，
向量
a
、
b b 0 共线．
21、平面向量基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
2
．
函数 y A sin x ，当 x x1 时，取得最小值为 ymin ；当 x x2 时，取得
最大值为
ymax
，则
A
1 2
ymax
ymin
，
1 2
ymax
ymin
，
2
x2
x1
x1
x2
．
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性 质 函 数 y sin x
y cos x
9、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 x, y ，它与原点
的距离是 r r x2 y2 0 ，则 sin y ， cos x ， tan y x 0 ．
r
r
x
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限
正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线： sin ， cos ， tan A ．
12、同角三角函数的基本关系： 1sin2 cos2 1
sin2 1 cos2 , cos2 1 sin2 ； 2 sin tan
cos
sin
tan
cos , cos
sin tan
．
y
PT v O MA x
26、 A sin cos A2 2 sin ，其中 tan ．
A
,
y1 y2 1
．
23、平面向量的数量积：
⑴
a
b
a
b cos
a
0, b
0, 0
180
．零向量与任一向量的数量积为 0 ．
⑵性质：设 a 和 b
都是非零向量，则① a
b
a
b
0
．②当
a
与
b
同向时，
a
b
a
b
；
当
a
与
b
反向时，
a
b
a
b
；
a
a
a
13、三角函数的诱导公式： 口诀：奇变偶不变，符号看象限．
14 y sin x →向左（右）平移 个单位长度→ y sin x 的图象→横坐标
伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不变）→
y
sin
x
→纵坐标伸长（缩
短）到原来的 A 倍（横坐标不变）→ y A sin x ．
y
sin
称
对
称
性 x k k
轴
k
2
,
0
k
对称轴 x k k
k 2
,
0
k
无对称轴
2
16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为 0 的向量．
单位向量：长度等于1个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
期
性
奇
奇函数
偶
性
2 偶函数
奇函数
在
2k
2
,
2k
2
在 2k , 2k k
单 调 性
k 上是增函数；在
2k
2
,
2k
3 2
上是增函数；在
2k , 2k
k 上是减函数．
在
k
2
,
k
2
k 上是增函数．
k 上是减函数．
对 称 中 心对 称 中 心 对称中心
对 k ,0k
x1,
y1 ， b
x2,
y2
，则 a
b
x1x2

y1 y2
0．
设
a、
b都
是
非
零
向
量
，
a
x1,
y1
，
b x2, y2 ，
是
a与
b的
夹
角
，
则
cos
a
b
ab
x1x2 y1 y2
．
x12 y12 x22 y22
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
内的任意向量
a
，有且只有一对实数
1
、
2
，使
a
1 e1
2
e2
．（不共线的向量
e1
、
e2
作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点 是线段 12 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是 x1, y1 ， x2 , y2 ，
当1
2
时，点
的坐标是
x1 x2 1
y tan x
图 象
定
义
R
R
域
值
1,1
域
1,1
当 x 2k k 当 x 2k k 时，
2
x
x
k
2
,k
R
时， 最
ymax 1； 当
ymax 1；当 x 2k
值 x 2k 2
k 时， ymin 1．
k 时， ymin 1．
既无最大值也无最小 值
周
2