高中数学必修4知识点第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|αββ} 4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． （2）度数与弧度数的换算：π2360o=，π=180 rad ，1 rad '185730.57)180(=≈=π注：角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为on ，弧度为α；①角度化为弧度：180180ππn n n oo o =⋅=，②弧度化为角度：oo 180180⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=παπαα （3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则： 弧长公式： ①,180（用度表示的）πn l =② （用弧度表示的）r l ||α=； 扇形面积：①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 21||212==α扇（用弧度表示的）5、三角函数:（1）定义①：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点是(),x y ，它与原点的距离是()0r OP r ==>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠ 定义②：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α=y ;u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时，x y 叫做α的正切，记作tan α, 即tan α=xy . （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。

口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值αsinxy ++__Ox y + +__ αcosOαtanxy++_ _Oαsin21 22 23 1 23 22 21 0αcos1 23 22 21 021- 22- 23- 1- αtan33 1 3 不存在 3- 1-33-α的角度 ︒210 ︒225 ︒240 ︒270 ︒300 ︒315 ︒330 ︒360 α的弧度67π 45π 34π 23π 35π 47π 611ππ2 αsin21- 22- 23- 1-23-22-21- 0αcos23-22- 21-21 22 23 1 αtan331 3 不存在 3- 1-33- 0（4）三角函数线：如下图（5）同角三角函数基本关系式（１）平方关系：1cos sin 22=+αα （２）商数关系：αααcos sin tan =6、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．()()2sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()3sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()()4sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()5sin 2sin παα-=-，()cos 2cos παα-=，()tan 2tan παα-=-．口诀：函数名称不变，正负看象限．()6sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()7sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

即将括号里面的角拆成αβπ+⋅=2k 的形式。

7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函数sin y x =cos y x = tan y x =图 象定R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭8、（1）()sin y x b ωϕ=A ++的图象与x y sin =图像的关系：图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍①振幅变换：x y sin = x A y sin =②周期变换：x y sin =x y ωsin =③相位变换：x y sin = )sin(ϕ+=x y④平移变换：)sin(ϕω+=x A y ()sin x b ωϕ=A ++注：函数x y sin =的图象怎样变换得到函数()sin y A x B ωϕ=++的图象：（两种方法） ① sin y x = 平移||ϕ个单位()sin y x ϕ=+（左加右减）纵坐标不变 )sin(ϕω+=x y横坐标变为原来的1||ω倍横坐标不变()sin y A x ωϕ=+纵坐标变为原来的A 倍 平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② sin y x = 纵坐标不变 x y ωsin =横坐标变为原来的1||ω倍)sin(ϕω+=x y 横坐标不变()sin y A x ωϕ=+纵坐标变为原来的A 倍 平移||B 个单位()sin y A x B ωϕ=++图象整体向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕ个单位图象上每个点的横坐标变为原来的ω1倍，纵坐标不变（上加下减）（2）函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA bx A y 的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 定义域：R值域：[],A b A b -++当22x k πωϕπ+=+()k ∈Z 时，max y A b =+； 当22x k πωϕπ+=-()k ∈Z 时，min y A b =-+．周期性：函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 是周期函数；周期为ωπ2=T单调性：x ωϕ+在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是增函数； x ωϕ+在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是减函数． 对称性：对称中心为(),0k k πϕω-⎛⎫∈Z⎪⎝⎭；对称轴为x ωϕ+()2k k ππ=+∈Z第二章 平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：||a e =．4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作b a //；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

6、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点： 首尾相接⑵平行四边形法则的特点： 起点相同 ⑶运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑷坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()2121,x x y y AB =--．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反； 当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．baC BAa b C C -=A -AB =B⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．9、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()b b ≠共线．10、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．12、平面向量的数量积：⑴定义：()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③ab a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos x x a b a bx θ⋅==+．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：1cos sin 22=+αα （２）商数关系：αααcos sin tan =（３）倒数关系：1cot tan =ααααα222tan 1tan sin += ； αα22tan 11cos += 注意： αααtan ,cos ,sin 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切)(βα+S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ )(βα-S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- )(βα+C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a )(βα+T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+)(βα-T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-正切和公式：)tan tan 1()tan(tan tan βαβαβα-⋅+=+ 3、辅助角公式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 222222 )sin()sin cos cos (sin 2222ϕϕϕ+⋅+=⋅+⋅+=x b a x x b a（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点),(b a ，ab =ϕtan ）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： α2S ： αααcos sin 22sin =α2C ： ααα22sin cos 2cos -=1cos 2sin 2122-=-=αα α2T ： ααα2tan 1tan 22tan -=*二倍角公式的常用变形：①、|sin |22cos 1αα=-，|cos |22cos 1αα=+；②、|sin |2cos 2121αα=-， |cos |2cos 2121αα=+ ③22sin 1cos sin 21cos sin 22244ααααα-=-=+；ααα2cos sin cos 44=-；*降次公式：ααα2sin 21cos sin =212cos 2122cos 1sin 2+-=-=ααα 212cos 2122cos 1cos 2+=+=ααα5、*半角的正弦、余弦和正切公式：2cos 12sinαα-±= ； 2cos 12cos αα+±=， αααcos 1cos 12tan+-±=ααααcos 1sin sin cos 1+=-=6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① αα22cos 1sin -=； αα2cos 1sin -±=；αα22sin 1cos -=； αα2sin 1cos -±=； ②θθθθθθθ2sin 2cos sin sin cos cot tan 22=+=+，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2tan12tan 1cos 22ααα+-=； 2tan12tan 2tan 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。